3 : Produits dérivés
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Le calcul de la vitesse et les variations de vitesse sont des utilisations importantes du calcul, mais elles sont bien plus répandues que cela. Le calcul est important dans toutes les branches des mathématiques, des sciences et de l'ingénierie, et il est également essentiel à l'analyse dans les domaines des affaires et de la santé. Dans ce chapitre, nous explorons l'un des principaux outils du calcul, la dérivée, et montrons des moyens pratiques de calculer des dérivées. Nous appliquons ces règles à diverses fonctions dans ce chapitre afin de pouvoir ensuite explorer les applications de ces techniques.
- 3.0 : Prélude aux dérivés
- Le calcul de la vitesse et les variations de vitesse sont des utilisations importantes du calcul, mais elles sont bien plus répandues que cela. Le calcul est important dans toutes les branches des mathématiques, des sciences et de l'ingénierie, et il est également essentiel à l'analyse dans les domaines des affaires et de la santé. Dans ce chapitre, nous explorons l'un des principaux outils du calcul, la dérivée, et montrons des moyens pratiques de calculer des dérivées. Nous appliquons ces règles à diverses fonctions dans ce chapitre afin de pouvoir ensuite explorer les applications de
- 3.1 : Définition de la dérivée
- La pente de la tangente à une courbe mesure le taux de variation instantané d'une courbe. On peut le calculer en déterminant la limite du quotient de différence ou le quotient de différence avec incrément h. La dérivée d'une fonction f (x) à une valeur a est déterminée en utilisant l'une ou l'autre des définitions de la pente de la tangente. La vitesse est le taux de changement de position. Ainsi, la vitesse v (t) à l'instant t est la dérivée de la position s (t) à l'instant t.
- 3.3 : Règles de différenciation
- La dérivée d'une fonction constante est zéro. La dérivée d'une fonction de puissance est une fonction dans laquelle la puissance sur x devient le coefficient du terme et la puissance sur x dans la dérivée diminue de 1. La dérivée d'une constante c multipliée par une fonction f est identique à la constante multipliée par la dérivée. La dérivée de la somme d'une fonction f et d'une fonction g est identique à la somme de la dérivée de f et de la dérivée de g.
- 3.4 : Les produits dérivés en tant que taux de variation
- Dans cette section, nous examinons certaines applications de la dérivée en nous concentrant sur l'interprétation de la dérivée comme étant le taux de variation d'une fonction. Ces applications incluent l'accélération et la vitesse en physique, les taux de croissance démographique en biologie et les fonctions marginales en économie.
- 3.5 : Dérivées des fonctions trigonométriques
- Nous pouvons trouver les dérivées de sin x et de cos x en utilisant la définition de la dérivée et les formules limites trouvées précédemment. Avec ces deux formules, nous pouvons déterminer les dérivées des six fonctions trigonométriques de base.
- 3.6 : La règle de la chaîne
- Concepts clés La règle de la chaîne nous permet de différencier les compositions de deux fonctions ou plus. Il indique que\(h(x)=f(g(x)),\)\(h′(x)=f′(g(x))g′(x).\) nous pouvons utiliser la règle de la chaîne avec d'autres règles que nous avons apprises, et nous pouvons dériver des formules pour certaines d'entre elles. La règle de chaîne se combine à la règle de puissance pour former une nouvelle règle : Si\(h(x)=(g(x))^n\), alors\(h′(x)=n(g(x))^{n−1}g′(x)\).
- 3.7 : Dérivées de fonctions inverses
- Le théorème de la fonction inverse nous permet de calculer les dérivées des fonctions inverses sans utiliser la définition limite de la dérivée. Nous pouvons utiliser le théorème de la fonction inverse pour développer des formules de différenciation pour les fonctions trigonométriques inverses.
- 3.8 : Différenciation implicite
- Nous utilisons la différenciation implicite pour trouver des dérivées de fonctions implicitement définies (fonctions définies par des équations). En utilisant la différenciation implicite, nous pouvons trouver l'équation d'une droite tangente au graphe d'une courbe.
- 3.9 : Dérivées des fonctions exponentielles et logarithmiques
- Dans cette section, nous explorons les dérivées des fonctions exponentielles et logarithmiques. Comme nous l'avons vu dans Introduction aux fonctions et aux graphes, les fonctions exponentielles jouent un rôle important dans la modélisation de la croissance démographique et de la désintégration des matières radioactives. Les fonctions logarithmiques peuvent aider à redimensionner de grandes quantités et sont particulièrement utiles pour réécrire des expressions complexes.
Miniature : Dérivés (CC BY ; OpenStax)