3.7 : Dérivées de fonctions inverses
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- Calculez la dérivée d'une fonction inverse.
- Reconnaître les dérivées des fonctions trigonométriques inverses standard.
Dans cette section, nous explorons la relation entre la dérivée d'une fonction et la dérivée de son inverse. Pour les fonctions dont nous connaissons déjà les dérivées, nous pouvons utiliser cette relation pour trouver des dérivées d'inverses sans avoir à utiliser la définition limite de la dérivée. En particulier, nous appliquerons la formule des dérivées de fonctions inverses aux fonctions trigonométriques. Cette formule peut également être utilisée pour étendre la règle de puissance aux exposants rationnels.
La dérivée d'une fonction inverse
Nous commençons par considérer une fonction et son inverse. Si elle\(f(x)\) est à la fois inversible et dérivable, il semble raisonnable que l'inverse de\(f(x)\) soit également dérivable. La figure\(\PageIndex{1}\) montre la relation entre une fonction\(f(x)\) et son inverse\(f^{−1}(x)\). Regardez le point\(\left(a,\,f^{−1}(a)\right)\) sur le graphique où\(f^{−1}(x)\) se trouve une tangente avec une pente de
\[\big(f^{−1}\big)′(a)=\dfrac{p}{q}. \nonumber \]
Ce point correspond à un point\(\left(f^{−1}(a),\,a\right)\) du graphe\(f(x)\) ayant une tangente avec une pente de
\[f′\big(f^{−1}(a)\big)=\dfrac{q}{p}. \nonumber \]
Ainsi, s'il\(f^{−1}(x)\) est différenciable à\(a\), alors il doit être vrai que
\(\big(f^{−1}\big)′(a)=\dfrac{1}{f′\big(f^{−1}(a)\big)}\).
Nous pouvons également obtenir la formule de la dérivée de l'inverse en rappelant d'abord cela\(x=f\big(f^{−1}(x)\big)\). Ensuite, en différenciant les deux côtés de cette équation (en utilisant la règle de chaîne sur la droite), nous obtenons
\(1=f′\big(f^{−1}(x)\big)\big(f^{−1}\big)′(x))\).
En résolvant pour\(\big(f^{−1}\big)′(x)\), nous obtenons
\(\big(f^{−1}\big)′(x)=\dfrac{1}{f′\big(f^{−1}(x)\big)}\).
Nous résumons ce résultat dans le théorème suivant.
\(f(x)\)Soyons une fonction à la fois inversible et dérivable. \(y=f^{−1}(x)\)Soyons l'inverse de\(f(x)\). Pour tous ceux qui sont\(x\) satisfaits\(f′\big(f^{−1}(x)\big)≠0\),
\[\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{d}{dx}\big(f^{−1}(x)\big)=\big(f^{−1}\big)′(x)=\dfrac{1}{f′\big(f^{−1}(x)\big)}.\label{inverse1} \]
Sinon, si\(y=g(x)\) est l'inverse de\(f(x)\), alors
\[g'(x)=\dfrac{1}{f′\big(g(x)\big)}. \label{inverse2} \]
Utilisez le théorème de la fonction inverse pour trouver la dérivée de\(g(x)=\dfrac{x+2}{x}\). Comparez la dérivée résultante à celle obtenue en différenciant directement la fonction.
Solution
L'inverse de\(g(x)=\dfrac{x+2}{x}\) est\(f(x)=\dfrac{2}{x−1}\).
Nous allons utiliser l'équation \ ref {inverse2} et commencer par trouver\(f′(x)\). Ainsi,
\[f′(x)=\dfrac{−2}{(x−1)^2} \nonumber \]
et
\[f′\big(g(x)\big)=\dfrac{−2}{(g(x)−1)^2}=\dfrac{−2}{\left(\dfrac{x+2}{x}−1\right)^2}=−\dfrac{x^2}{2}. \nonumber \]
Enfin,
\[g′(x)=\dfrac{1}{f′\big(g(x)\big)}=−\dfrac{2}{x^2}. \nonumber \]
Nous pouvons vérifier qu'il s'agit de la dérivée correcte en appliquant la règle du quotient\(g(x)\) à pour obtenir
\[g′(x)=−\dfrac{2}{x^2}. \nonumber \]
Utilisez le théorème de la fonction inverse pour trouver la dérivée de\(g(x)=\dfrac{1}{x+2}\). Comparez le résultat obtenu en différenciant\(g(x)\) directement.
- Allusion
-
Utilisez l'exemple précédent comme guide.
- Réponse
-
\(g′(x)=−\dfrac{1}{(x+2)^2}\)
Utilisez le théorème de la fonction inverse pour trouver la dérivée de\(g(x)=\sqrt[3]{x}\).
Solution
La fonction\(g(x)=\sqrt[3]{x}\) est l'inverse de la fonction\(f(x)=x^3\). Depuis\(g′(x)=\dfrac{1}{f′\big(g(x)\big)}\), commencez par trouver\(f′(x)\). Ainsi,
\[f′(x)=3x^2\nonumber \]
et
\[f′\big(g(x)\big)=3\big(\sqrt[3]{x}\big)^2=3x^{2/3}\nonumber \]
Enfin,
\[g′(x)=\dfrac{1}{3x^{2/3}}.\nonumber \]
Si nous devions différencier\(g(x)\) directement, en utilisant la règle du pouvoir, nous réécririons d'abord\(g(x)=\sqrt[3]{x}\) comme une puissance de\(x\) pour obtenir,
\[g(x) = x^{1/3}\nonumber \]
Ensuite, nous ferions la différence en utilisant la règle de puissance pour obtenir
\[g'(x) =\tfrac{1}{3}x^{−2/3} = \dfrac{1}{3x^{2/3}}.\nonumber \]
Déterminez la dérivée de\(g(x)=\sqrt[5]{x}\) en appliquant le théorème de la fonction inverse.
- Allusion
-
\(g(x)\)est l'inverse de\(f(x)=x^5\).
- Réponse
-
\(g(x)=\frac{1}{5}x^{−4/5}\)
Dans l'exemple précédent, nous voyons que nous pouvons utiliser le théorème de la fonction inverse pour étendre la règle de puissance aux exposants de la forme\(\dfrac{1}{n}\), où\(n\) est un entier positif. Cette extension nous permettra finalement de différencier\(x^q\), où se\(q\) trouve n'importe quel nombre rationnel.
La règle de puissance peut être étendue aux exposants rationnels. C'est-à-dire que si\(n\) c'est un entier positif, alors
\[\dfrac{d}{dx}\big(x^{1/n}\big)=\dfrac{1}{n} x^{(1/n)−1}. \nonumber \]
De plus, si\(n\) est un entier positif et\(m\) un entier arbitraire, alors
\[\dfrac{d}{dx}\big(x^{m/n}\big)=\dfrac{m}{n}x^{(m/n)−1}. \nonumber \]
La fonction\(g(x)=x^{1/n}\) est l'inverse de la fonction\(f(x)=x^n\). Depuis\(g′(x)=\dfrac{1}{f′\big(g(x)\big)}\), commencez par trouver\(f′(x)\). Ainsi,
\(f′(x)=nx^{n−1}\)et\(f′\big(g(x)\big)=n\big(x^{1/n}\big)^{n−1}=nx^{(n−1)/n}\).
Enfin,
\(g′(x)=\dfrac{1}{nx^{(n−1)/n}}=\dfrac{1}{n}x^{(1−n)/n}=\dfrac{1}{n}x^{(1/n)−1}\).
Pour le différencier,\(x^{m/n}\) nous devons le réécrire\((x^{1/n})^m\) et appliquer la règle de la chaîne. Ainsi,
\[\dfrac{d}{dx}\big(x^{m/n}\big)=\dfrac{d}{dx}\big((x^{1/n}\big)^m)=m\big(x^{1/n}\big)^{m−1}⋅\dfrac{1}{n}x^{(1/n)−1}=\dfrac{m}{n}x^{(m/n)−1}. \nonumber \]
□
Détermine l'équation de la droite tangente au graphe de\(y=x^{2/3}\) at\(x=8\).
Solution
Trouvez-le\(\dfrac{dy}{dx}\) et évaluez-le d'abord sur\(x=8\). Depuis
\[\dfrac{dy}{dx}=\frac{2}{3}x^{−1/3} \nonumber \]
et
\[\dfrac{dy}{dx}\Bigg|_{x=8}=\frac{1}{3}\nonumber \]
la pente de la tangente au graphe à\(x=8\) est\(\frac{1}{3}\).
En remplaçant\(x=8\) la fonction d'origine, nous obtenons\(y=4\). Ainsi, la tangente passe par le point\((8,4)\). En remplaçant une droite par la formule de pente ponctuelle, nous obtenons la tangente
\[y=\tfrac{1}{3}x+\tfrac{4}{3}. \nonumber \]
Trouvez la dérivée de\(s(t)=\sqrt{2t+1}\).
- Allusion
-
Utilisez la règle de la chaîne.
- Réponse
-
\(s′(t)=(2t+1)^{−1/2}\)
Dérivés de fonctions trigonométriques inverses
Nous nous intéressons maintenant à la recherche de dérivées de fonctions trigonométriques inverses. Ces dérivés s'avéreront d'une valeur inestimable pour l'étude de l'intégration plus loin dans ce texte. Les dérivées des fonctions trigonométriques inverses sont assez surprenantes dans la mesure où leurs dérivées sont en fait des fonctions algébriques. Auparavant, les dérivés de fonctions algébriques se sont révélés être des fonctions algébriques et les dérivés de fonctions trigonométriques se sont révélés être des fonctions trigonométriques. Ici, pour la première fois, nous voyons que la dérivée d'une fonction n'a pas besoin d'être du même type que la fonction d'origine.
Utilisez le théorème de la fonction inverse pour trouver la dérivée de\(g(x)=\sin^{−1}x\).
Solution
Puisque\(x\) dans l'intervalle\(\left[−\frac{π}{2},\frac{π}{2}\right],f(x)=\sin x\) est l'inverse de\(g(x)=\sin^{−1}x\), commencez par trouver\(f′(x)\). Depuis
\[f′(x)=\cos x \nonumber \]
et
\[f′\big(g(x)\big)=\cos \big( \sin^{−1}x\big)=\sqrt{1−x^2} \nonumber \]
nous voyons que
\[g′(x)=\dfrac{d}{dx}\big(\sin^{−1}x\big)=\dfrac{1}{f′\big(g(x)\big)}=\dfrac{1}{\sqrt{1−x^2}} \nonumber \]
Analyse
Pour le constater\(\cos(\sin^{−1}x)=\sqrt{1−x^2}\), considérez l'argument suivant. Set\(\sin^{−1}x=θ\). Dans ce cas,\(\sin θ=x\) où\(−\frac{π}{2}≤θ≤\frac{π}{2}\). Nous commençons par examiner le cas où\(0<θ<\frac{π}{2}\). Comme\(θ\) il s'agit d'un angle aigu, nous pouvons construire un triangle droit ayant un angle aigu\(θ\), une hypoténuse de longueur\(1\) et l'angle opposé du côté\(θ\) ayant une longueur\(x\). D'après le théorème de Pythagore, le côté adjacent à l'angle\(θ\) a une longueur\(\sqrt{1−x^2}\). Ce triangle est illustré dans la figure.\(\PageIndex{2}\) En utilisant le triangle, nous le voyons\(\cos(\sin^{−1}x)=\cos θ=\sqrt{1−x^2}\).
Dans le cas où\(−\frac{π}{2}<θ<0\), nous faisons le constat que\(0<−θ<\frac{π}{2}\) et donc
\(\cos\big(\sin^{−1}x\big)=\cos θ=\cos(−θ)=\sqrt{1−x^2}\).
Maintenant, si\(θ=\frac{π}{2}\) ou\(θ=−\frac{π}{2},x=1\) ou\(x=−1\), et puisque dans les deux cas\(\cosθ=0\) et\(\sqrt{1−x^2}=0\), nous avons
\(\cos\big(\sin^{−1}x\big)=\cosθ=\sqrt{1−x^2}\).
Par conséquent, dans tous les cas,
\[\cos\big(\sin^{−1}x\big)=\sqrt{1−x^2}.\nonumber \]
Appliquez la règle de chaîne à la formule dérivée dans l'exemple\(\PageIndex{4A}\) pour trouver la dérivée de\(h(x)=\sin^{−1}\big(g(x)\big)\) et utilisez ce résultat pour trouver la dérivée de\(h(x)=\sin^{−1}(2x^3).\)
Solution
En appliquant la règle de la chaîne à\(h(x)=\sin^{−1}\big(g(x)\big)\), nous avons
\(h′(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1−\big(g(x)\big)^2}}g′(x)\).
Maintenant,\(g(x)=2x^3,\) laisse-le faire\(g′(x)=6x^2\). En remplaçant le résultat précédent, nous obtenons
\(\begin{align*} h′(x)&=\dfrac{1}{\sqrt{1−4x^6}}⋅6x^2\\[4pt]&=\dfrac{6x^2}{\sqrt{1−4x^6}}\end{align*}\)
Utilisez le théorème de la fonction inverse pour trouver la dérivée de\(g(x)=\tan^{−1}x\).
- Allusion
-
L'inverse de\(g(x)\) est\(f(x)=\tan x\). Utilisez Example\(\PageIndex{4A}\) comme guide.
- Réponse
-
\(g′(x)=\dfrac{1}{1+x^2}\)
Les dérivées des fonctions trigonométriques inverses restantes peuvent également être trouvées en utilisant le théorème de la fonction inverse. Ces formules sont fournies dans le théorème suivant.
\[\begin{align} \dfrac{d}{dx}\big(\sin^{−1}x\big) &=\dfrac{1}{\sqrt{1−x^2}} \label{trig1} \\[4pt] \dfrac{d}{dx}\big(\cos^{−1}x\big) &=\dfrac{−1}{\sqrt{1−x^2}} \label{trig2} \\[4pt] \dfrac{d}{dx}\big(\tan^{−1}x\big) &=\dfrac{1}{1+x^2} \label{trig3} \\[4pt] \dfrac{d}{dx}\big(\cot^{−1}x\big) &=\dfrac{−1}{1+x^2} \label{trig4} \\[4pt] \dfrac{d}{dx}\big(\sec^{−1}x\big) &=\dfrac{1}{|x|\sqrt{x^2−1}} \label{trig5} \\[4pt] \dfrac{d}{dx}\big(\csc^{−1}x\big) &=\dfrac{−1}{|x|\sqrt{x^2−1}} \label{trig6} \end{align} \]
Trouvez le dérivé de\(f(x)=\tan^{−1}(x^2).\)
Solution
Laisse\(g(x)=x^2\) donc\(g′(x)=2x\). En substituant dans l'équation \ ref {trig3}, nous obtenons
\(f′(x)=\dfrac{1}{1+(x^2)^2}⋅(2x).\)
En simplifiant, nous avons
\(f′(x)=\dfrac{2x}{1+x^4}\).
Trouvez le dérivé de\(h(x)=x^2 \sin^{−1}x.\)
Solution
En appliquant la règle du produit, nous avons
\(h′(x)=2x\sin^{−1}x+\dfrac{1}{\sqrt{1−x^2}}⋅x^2\)
Trouvez le dérivé de\(h(x)=\cos^{−1}(3x−1).\)
- Allusion
-
Utilisez l'équation \ ref {trig2}. avec\(g(x)=3x−1\)
- Réponse
-
\(h′(x)=\dfrac{−3}{\sqrt{6x−9x^2}}\)
La position d'une particule dans le temps\(t\) est donnée par\(s(t)=\tan^{−1}\left(\frac{1}{t}\right)\) for\(t≥ \ce{1/2}\). Détermine la vitesse de la particule à un moment donné\( t=1\).
Solution
Commencez par différencier\(s(t)\) afin de trouver\(v(t)\). Ainsi,
\(v(t)=s′(t)=\dfrac{1}{1+\left(\frac{1}{t}\right)^2}⋅\dfrac{−1}{t^2}\).
En simplifiant, nous avons
\(v(t)=−\dfrac{1}{t^2+1}\).
Ainsi,\(v(1)=−\dfrac{1}{2}.\)
Trouve l'équation de la droite tangente au graphe de\(f(x)=\sin^{−1}x\) at\(x=0.\)
- Allusion
-
\(f′(0)\)est la pente de la tangente.
- Réponse
-
\(y=x\)
Concepts clés
- Le théorème de la fonction inverse nous permet de calculer les dérivées des fonctions inverses sans utiliser la définition limite de la dérivée.
- Nous pouvons utiliser le théorème de la fonction inverse pour développer des formules de différenciation pour les fonctions trigonométriques inverses.
Équations clés
- Théorème de la fonction inverse
\((f^{−1})′(x)=\dfrac{1}{f′\big(f^{−1}(x)\big)}\)chaque fois\(f′\big(f^{−1}(x)\big)≠0\) et\(f(x)\) est différenciable.
- Règle de puissance avec des exposants rationnels
\(\dfrac{d}{dx}\big(x^{m/n}\big)=\dfrac{m}{n}x^{(m/n)−1}.\)
- Dérivée de la fonction sinus inverse
\(\dfrac{d}{dx}\big(\sin^{−1}x\big)=\dfrac{1}{\sqrt{1−x^2}}\)
- Dérivée de la fonction cosinus inverse
\(\dfrac{d}{dx}\big(\cos^{−1}x\big)=\dfrac{−1}{\sqrt{1−x^2}}\)
Dérivée de la fonction tangente inverse
\(\dfrac{d}{dx}\big(\tan^{−1}x\big)=\dfrac{1}{1+x^2}\)
Dérivée de la fonction cotangente inverse
\(\dfrac{d}{dx}\big(\cot^{−1}x\big)=\dfrac{−1}{1+x^2}\)
Dérivé de la fonction sécante inverse
\(\dfrac{d}{dx}\big(\sec^{−1}x\big)=\dfrac{1}{|x|\sqrt{x^2−1}}\)
Dérivé de la fonction cosécante inverse
\(\dfrac{d}{dx}\big(\csc^{−1}x\big)=\dfrac{−1}{|x|\sqrt{x^2−1}}\)
Contributeurs et attributions
- Template:ContribOpenStaxCalc
- Paul Seeburger (Monroe Community College) added the second half of Example \(\PageIndex{2}\).