3.9 : Dérivées des fonctions exponentielles et logarithmiques
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- 197743
- Déterminez la dérivée des fonctions exponentielles.
- Détermine la dérivée des fonctions logarithmiques.
- Utilisez la différenciation logarithmique pour déterminer la dérivée d'une fonction.
Jusqu'à présent, nous avons appris à différencier diverses fonctions, notamment les fonctions trigonométriques, inverses et implicites. Dans cette section, nous explorons les dérivées des fonctions exponentielles et logarithmiques. Comme nous l'avons vu dans Introduction aux fonctions et aux graphes, les fonctions exponentielles jouent un rôle important dans la modélisation de la croissance démographique et de la désintégration des matières radioactives. Les fonctions logarithmiques peuvent aider à redimensionner de grandes quantités et sont particulièrement utiles pour réécrire des expressions complexes.
Dérivée de la fonction exponentielle
Tout comme lorsque nous avons trouvé les dérivées d'autres fonctions, nous pouvons trouver les dérivées de fonctions exponentielles et logarithmiques à l'aide de formules. Au fur et à mesure que nous élaborons ces formules, nous devons faire certaines hypothèses de base. Les preuves de ces suppositions dépassent le cadre de ce cours.
Tout d'abord, nous partons de l'hypothèse que la fonction\(B(x)=b^x,\, b>0,\) est définie pour chaque nombre réel et qu'elle est continue. Dans les cours précédents, les valeurs des fonctions exponentielles pour tous les nombres rationnels étaient définies, en commençant par la définition de\(b^n\), où\(n\) est un entier positif, comme le produit du\(b\) multiplié par lui-même par le\(n\) temps. Plus tard, nous avons défini\(b^0=1,b^{−n}=\dfrac{1}{b^n}\), pour un entier positif\(n\), et\(b^{s/t}=(\sqrt[t]{b})^s\) pour des entiers positifs\(s\) et\(t\). Ces définitions laissent ouverte la question de la valeur de l'\(b^r\)endroit où\(r\) se trouve un nombre réel arbitraire. En supposant la continuité de\(B(x)=b^x,b>0\), nous pouvons interpréter\(b^r\) comme\(\displaystyle \lim_{x→r}b^x\) si les valeurs de\(x\) la limite sont rationnelles. Par exemple, nous pouvons considérer\(4^π\) comme le nombre satisfaisant
\[4^3<4^π<4^4,\quad 4^{3.1}<4^π<4^{3.2},\quad 4^{3.14}<4^π<4^{3.15}, \nonumber \]
\[4^{3.141}<4^{π}<4^{3.142},\quad 4^{3.1415}<4^{π}<4^{3.1416},\quad …. \nonumber \]
Comme on peut le voir dans le tableau suivant,\(4^π≈77.88.\)
| \(x\) | \(4^x\) | \(x\) | \(4^x\) |
|---|---|---|---|
| \ (x \) » style="text-align:center ; « >\(4^3\) | \ (4^x \) » style="text-align:center ; « >64 | \ (x \) » style="text-align:center ; « >\(4^{3.141593}\) | \ (4^x \) » style="text-align:center » ; « >77.8802710486 |
| \ (x \) » style="text-align:center ; « >\(4^{3.1}\) | \ (4^x \) » style="text-align:center » ; >73.5166947198 | \ (x \) » style="text-align:center ; « >\(4^{3.1416}\) | \ (4^x \) » style="text-align:center » ; « >77.8810268071 |
| \ (x \) » style="text-align:center ; « >\(4^{3.14}\) | \ (4^x \) » style="text-align:center » ; « >77.7084726013 | \ (x \) » style="text-align:center ; « >\(4^{3.142}\) | \ (4^x \) » style="text-align:center » ; >77.9242251944 |
| \ (x \) » style="text-align:center ; « >\(4^{3.141}\) | \ (4^x \) » style="text-align:center » ; >77.8162741237 | \ (x \) » style="text-align:center ; « >\(4^{3.15}\) | \ (4^x \) » style="text-align:center » ; « >78.7932424541 |
| \ (x \) » style="text-align:center ; « >\(4^{3.1415}\) | \ (4^x \) » style="text-align:center » ; « >77.8702309526 | \ (x \) » style="text-align:center ; « >\(4^{3.2}\) | \ (4^x \) » style="text-align:center » ; « >84.4485062895 |
| \ (x \) » style="text-align:center ; « >\(4^{3.14159}\) | \ (4^x \) » style="text-align:center » ; « >77.8799471543 | \ (x \) » style="text-align:center ; « >\(4^{4}\) | \ (4^x \) » style="text-align:center ; « >256 |
Approximation d'une valeur de\(4^π\)
Nous supposons également que pour\(B(x)=b^x,\, b>0\), la valeur\(B′(0)\) de la dérivée existe. Dans cette section, nous montrons qu'en faisant cette hypothèse supplémentaire, il est possible de prouver que la fonction\(B(x)\) est dérivable partout.
Nous faisons une dernière hypothèse : il existe une valeur unique\(b>0\) pour laquelle\(B′(0)=1\). Nous définissons e comme étant cette valeur unique, comme nous l'avons fait dans Introduction aux fonctions et aux graphes. La figure\(\PageIndex{1}\) fournit des graphiques des fonctions\(y=2^x, \,y=3^x, \,y=2.7^x,\) et\(y=2.8^x\). Une estimation visuelle des pentes des lignes tangentes à ces fonctions à 0 indique que la valeur de e se situe entre 2,7 et 2,8. La fonction\(E(x)=e^x\) est appelée fonction exponentielle naturelle. Son inverse\(L(x)=\log_e x=\ln x\) est appelé fonction logarithmique naturelle.
Pour une meilleure estimation de\(e\), nous pouvons construire un tableau d'estimations\(B′(0)\) de quatre fonctions du formulaire\(B(x)=b^x\). Avant de faire cela, rappelez-vous que
\[B′(0)=\lim_{x→0}\frac{b^x−b^0}{x−0}=\lim_{x→0}\frac{b^x−1}{x}≈\frac{b^x−1}{x} \nonumber \]
pour des valeurs\(x\) très proches de zéro. Pour nos estimations, nous choisissons\(x=0.00001\) et\(x=−0.00001\)
pour obtenir l'estimation
\[\frac{b^{−0.00001}−1}{−0.00001}<B′(0)<\frac{b^{0.00001}−1}{0.00001}. \nonumber \]
Reportez-vous au tableau suivant.
| \(b\) | \(\frac{b^{−0.00001}−1}{−0.00001}<B′(0)<\frac{b^{0.00001}−1}{0.00001}.\) | \(b\) | \(\frac{b^{−0.00001}−1}{−0.00001}<B′(0)<\frac{b^{0.00001}−1}{0.00001}.\) |
|---|---|---|---|
| \ (b \) » style="text-align:center ; « >2 | \ (\ frac {b^ {−0,00001} −1} {−0,00001} <B′ (0) < \ frac {b^ {0.00001} −1} {0.00001}. \) » style="text-align:center ; ">\(0.693145<B′(0)<0.69315\) | \ (b \) » style="text-align:center ; « >2,7183 | \ (\ frac {b^ {−0,00001} −1} {−0,00001} <B′ (0) < \ frac {b^ {0.00001} −1} {0.00001}. \) » style="text-align:center ; ">\(1.000002<B′(0)<1.000012\) |
| \ (b \) » style="text-align:center ; « >2,7 | \ (\ frac {b^ {−0,00001} −1} {−0,00001} <B′ (0) < \ frac {b^ {0.00001} −1} {0.00001}. \) » style="text-align:center ; ">\(0.993247<B′(0)<0.993257\) | \ (b \) » style="text-align:center ; « >2,719 | \ (\ frac {b^ {−0,00001} −1} {−0,00001} <B′ (0) < \ frac {b^ {0.00001} −1} {0.00001}. \) » style="text-align:center ; ">\(1.000259<B′(0)<1.000269\) |
| \ (b \) » style="text-align:center ; « >2,71 | \ (\ frac {b^ {−0,00001} −1} {−0,00001} <B′ (0) < \ frac {b^ {0.00001} −1} {0.00001}. \) » style="text-align:center ; ">\(0.996944<B′(0)<0.996954\) | \ (b \) » style="text-align:center ; « >2,72 | \ (\ frac {b^ {−0,00001} −1} {−0,00001} <B′ (0) < \ frac {b^ {0.00001} −1} {0.00001}. \) » style="text-align:center ; ">\(1.000627<B′(0)<1.000637\) |
| \ (b \) » style="text-align:center ; « >2,718 | \ (\ frac {b^ {−0,00001} −1} {−0,00001} <B′ (0) < \ frac {b^ {0.00001} −1} {0.00001}. \) » style="text-align:center ; ">\(0.999891<B′(0)<0.999901\) | \ (b \) » style="text-align:center ; « >2,8 | \ (\ frac {b^ {−0,00001} −1} {−0,00001} <B′ (0) < \ frac {b^ {0.00001} −1} {0.00001}. \) » style="text-align:center ; ">\(1.029614<B′(0)<1.029625\) |
| \ (b \) » style="text-align:center ; « >2,7182 | \ (\ frac {b^ {−0,00001} −1} {−0,00001} <B′ (0) < \ frac {b^ {0.00001} −1} {0.00001}. \) » style="text-align:center ; ">\(0.999965<B′(0)<0.999975\) | \ (b \) » style="text-align:center ; « >3 | \ (\ frac {b^ {−0,00001} −1} {−0,00001} <B′ (0) < \ frac {b^ {0.00001} −1} {0.00001}. \) » style="text-align:center ; ">\(1.098606<B′(0)<1.098618\) |
Les données du tableau indiquent que\(2.7182<e<2.7183.\)
Le graphique et\(E(x)=e^x\) la ligne\(y=x+1\) sont illustrés sur la figure\(\PageIndex{2}\). Cette droite est tangente au graphe de\(E(x)=e^x\) at\(x=0\).
Maintenant que nous avons exposé nos hypothèses de base, nous commençons notre enquête en explorant la dérivée de\(B(x)=b^x, \,b>0\). Rappelons que nous avons supposé que cela\(B′(0)\) existe. En appliquant la définition limite à la dérivée, nous concluons que
\[B′(0)=\lim_{h→0}\frac{b^{0+h}−b^0}{h}=\lim_{h→0}\frac{b^h−1}{h} \nonumber \]
En ce qui concerne\(B′(x)\), nous obtenons ce qui suit.
\ (\ displaystyle \ begin {align*} B′ (x) &= \ lim_ {h→0} \ frac {b^ {x+h} −b^x} {h} & & \ text {Appliquez la définition limite de la dérivée.} \ \ [4pt]
&= \ lim_ {h→0} \ frac {b^xb^h−b^x} {h} & \ text {Notez que} b^ {x+h} =b^xb^h. \ \ [4pt]
&= \ lim_ {h→0} \ frac {b^x (b^h−1)} {h} & & \ text {Factor out} b^x. \ \ [4pt]
&=b^x \ lim_ {h→0} \ frac {b^h−1} {h} & & & \ text {Appliquer une propriété de limites.} \ \ [4pt]
&=B^XB′ (0) & & \ text {Use} B′ (0) = \ lim_ {h→0} \ frac {b′ (0) ^ {0+h} −b^0} {h} = \ lim_ {h→0} \ frac {b^h−1} {h}. \ end {align*} \)
Nous voyons que sur la base de l'hypothèse selon laquelle il\(B(x)=b^x\) est possible de différencier l'at\(0,B(x)\) est non seulement partout, mais que sa dérivée est
\[B′(x)=b^xB′(0).\nonumber \]
Pour\(E(x)=e^x, \,E′(0)=1.\) Ainsi, nous avons\(E′(x)=e^x\). (La valeur de\(B′(0)\) pour une fonction arbitraire du formulaire\(B(x)=b^x, \,b>0,\) sera dérivée ultérieurement.)
\(E(x)=e^x\)Soit la fonction exponentielle naturelle. Alors
\[E′(x)=e^x. \nonumber \]
En général,
\[\frac{d}{dx}\Big(e^{g(x)}\Big)=e^{g(x)}g′(x) \nonumber \]
Trouvez la dérivée de\(f(x)=e^{\tan(2x)}\).
Solution :
En utilisant la formule dérivée et la règle de chaîne,
\[f′(x)=e^{\tan(2x)}\frac{d}{dx}\Big(\tan(2x)\Big)=e^{\tan(2x)}\sec^2(2x)⋅2 \nonumber \]
Trouvez la dérivée de\(y=\dfrac{e^{x^2}}{x}\).
Solution
Utilisez la dérivée de la fonction exponentielle naturelle, de la règle du quotient et de la règle des chaînes.
\ (\ begin {align*} y′&= \ dfrac {(e^ {x^2} ⋅2) x⋅x−1⋅e^ {x^2}} {x^2} & & \ text {Appliquez la règle du quotient.} \ \ [4pt]
&= \ dfrac {e^ {x^2} (2x^2−1)} {x^2} & \ texte {Simplifier.} \ end {align*} \)
Trouvez la dérivée de\(h(x)=xe^{2x}\).
- Allusion
-
N'oubliez pas d'utiliser la règle du produit.
- Réponse
-
\(h′(x)=e^{2x}+2xe^{2x}\)
Une colonie de moustiques compte une population initiale de 1 000 personnes. Après\(t\) des jours, la population est donnée par\(A(t)=1000e^{0.3t}\). Montrez que le rapport entre le taux de variation de la population et la population\(A(t)\) est constant.\(A′(t)\)
Solution
Première découverte\(A′(t)\). En utilisant la règle de la chaîne, nous avons\(A′(t)=300e^{0.3t}.\) Ainsi, le rapport entre le taux de variation de la population et la population est donné par
\[\frac{A′(t)}{A(t)}=\frac{300e^{0.3t}}{1000e^{0.3t}}=0.3. \nonumber \]
Le rapport entre le taux de variation de la population et la population est constant de 0,3.
Il\(A(t)=1000e^{0.3t}\) décrit la population de moustiques après plusieurs\(t\) jours, comme dans l'exemple précédent, quel est le taux de variation\(A(t)\) après 4 jours ?
- Allusion
-
Trouve\(A′(4)\).
- Réponse
-
\(996\)
Dérivée de la fonction logarithmique
Maintenant que nous avons la dérivée de la fonction exponentielle naturelle, nous pouvons utiliser la différenciation implicite pour trouver la dérivée de son inverse, la fonction logarithmique naturelle.
Si\(x>0\) et\(y=\ln x\), alors
\[\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}. \nonumber \]
Plus généralement,\(g(x)\) soyons une fonction dérivable. Pour toutes les valeurs\(x\) pour lesquelles\(g′(x)>0\), la dérivée de\(h(x)=\ln(g(x))\) est donnée par
\[h′(x)=\frac{1}{g(x)}g′(x). \nonumber \]
Si\(x>0\) et\(y=\ln x\), alors la\(e^y=x.\) différenciation des deux côtés de cette équation aboutit à l'équation
\[e^y\frac{dy}{dx}=1. \nonumber \]
Résoudre les problèmes\(\dfrac{dy}{dx}\) liés
\[\frac{dy}{dx}=\frac{1}{e^y}. \nonumber \]
Enfin, nous nous substituons\(x=e^y\) pour obtenir
\[\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}. \nonumber \]
Nous pouvons également obtenir ce résultat en appliquant le théorème de la fonction inverse, comme suit. Depuis\(y=g(x)=\ln x\)
est l'inverse de\(f(x)=e^x\), en appliquant le théorème de la fonction inverse que nous avons
\[\frac{dy}{dx}=\frac{1}{f′(g(x))}=\frac{1}{e^{\ln x}}=\frac{1}{x}. \nonumber \]
Utilisation de ce résultat et application de la règle de chaîne aux\(h(x)=\ln(g(x))\) rendements
\[h′(x)=\frac{1}{g(x)}g′(x). \label{lnder} \]
□
Le graphique\(y=\ln x\) et sa dérivée\(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{x}\) sont présentés dans la figure\(\PageIndex{3}\).
Trouvez la dérivée de\(f(x)=\ln(x^3+3x−4)\).
Solution
Utilisez directement l'équation \ ref {lnder}.
\ (\ begin {align*} f′ (x) &= \ dfrac {1} {x^3+3x−4} ⋅ (3x^2+3) & & \ text {Utiliser} g (x) =x^3+3x−4 \ text {in} h′ (x) = \ dfrac {1} {g (x)} g′ (x). \ \ [4] pt]
&= \ dfrac {3x^2+3} {x^3+3x−4} & \ text {Réécriture.} \ end {align*} \)
Trouvez la dérivée de\(f(x)=\ln\left(\dfrac{x^2\sin x}{2x+1}\right)\).
Solution
À première vue, la prise de ce dérivé semble assez compliquée. Cependant, en utilisant les propriétés des logarithmes avant de trouver la dérivée, nous pouvons rendre le problème beaucoup plus simple.
\ (\ begin {align*} f (x) &= \ ln \ left (\ frac {x^2 \ sin x} {2x+1} \ right) =2 \ ln x+ \ ln (\ sin x) − \ ln (2x+1) & & \ text {Appliquez les propriétés des logarithmes.} \ \ [4pt]
f′ (x) &= \ dfrac {2} {x} + cot x− \ dfrac {2} {2x+1} & & \ text {Appliquez la règle de somme et} h′ (x) = \ dfrac {1} {g (x)} g′ (x). \ end {align*} \)
Différencier :\(f(x)=\ln(3x+2)^5\).
- Allusion
-
Utilisez une propriété de logarithmes pour simplifier avant de prendre la dérivée.
- Réponse
-
\(f′(x)=\dfrac{15}{3x+2}\)
Maintenant que nous pouvons différencier la fonction logarithmique naturelle, nous pouvons utiliser ce résultat pour déterminer les dérivées de\(y=\log_b x\) et\(y=b^x\) pour\(b>0, \,b≠1\).
Soit\(b>0,b≠1,\) et\(g(x)\) soit une fonction dérivable.
i. Si\(y=\log_b x\), alors
\[\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x\ln b}. \nonumber \]
Plus généralement, si\(h(x)=\log_b(g(x))\), alors pour toutes les valeurs\(x\) pour lesquelles\(g(x)>0\),
\[h′(x)=\frac{g′(x)}{g(x)\ln b}. \label{genlogder} \]
ii. Si\(y=b^x,\) alors
\[\frac{dy}{dx}=b^x\ln b. \nonumber \]
Plus généralement,\(h(x)=b^{g(x)},\) si
\[h′(x)=b^{g(x)}g'(x)\ln b \label{genexpder} \]
\(y=\log_b x,\)Si\(b^y=x.\) c'est le cas, cela s'ensuit\(\ln(b^y)=\ln x\). Ainsi\(y\ln b=\ln x\). Nous résolvons pour\(y\), nous l'avons fait\(y=\dfrac{\ln x}{\ln b}\). En nous différenciant et en gardant à l'esprit que\(\ln b\) c'est une constante, nous constatons que
\[\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x\ln b}. \nonumber \]
La dérivée de l'équation \ ref {genlogder} découle désormais de la règle de la chaîne.
Si\(y=b^x\). Ensuite,\(\ln y=x\ln b.\) en utilisant une différenciation implicite, en gardant à l'esprit que\(\ln b\) c'est constant, il s'ensuit que\(\dfrac{1}{y}\dfrac{dy}{dx}=\ln b\). En résolvant\(\dfrac{dy}{dx}\) et en remplaçant\(y=b^x\), nous constatons que
\[\frac{dy}{dx}=y\ln b=b^x\ln b. \nonumber \]
La dérivée la plus générale (Equation \ ref {genexpder}) découle de la règle de la chaîne.
□
Trouvez la dérivée de\(h(x)=\dfrac{3^x}{3^x+2}\).
Solution
Utilisez la règle du quotient et la note.
\ (\ begin {align*} h′ (x) &= \ dfrac {3^x \ ln 3 (3^x+2) −3^x \ ln 3 (3^x)} {(3^x+2) ^2} & & \ text {Appliquez la règle du quotient.} \ \ [4pt]
&= \ dfrac {2⋅3^x \ ln 3} {(3x+2) ^2} & & \ text {Simplifier.} \ end {align*} \)
Détermine la pente de la droite tangente au graphe de\(y=\log_2 (3x+1)\) at\(x=1\).
Solution
Pour trouver la pente, il faut évaluer\(\dfrac{dy}{dx}\) à\(x=1\). En utilisant l'équation \ ref {genlogder}, nous voyons que
\[\frac{dy}{dx}=\frac{3}{(3x+1)\ln 2}. \nonumber \]
En évaluant la dérivée à\(x=1\), nous voyons que la tangente a une pente
\[\frac{dy}{dx}\bigg{|}_{x=1}=\frac{3}{4\ln 2}=\frac{3}{\ln 16}. \nonumber \]
Détermine la pente de la droite tangente\(y=3^x\) à\(x=2.\)
- Allusion
-
Évaluez la dérivée à\(x=2.\)
- Réponse
-
\(9\ln(3)\)
Différenciation logarithmique
À ce stade, nous pouvons prendre des dérivées de fonctions de la forme\(y=(g(x))^n\) pour certaines valeurs de\(n\), ainsi que des fonctions de la forme\(y=b^{g(x)}\), où\(b>0\) et\(b≠1\). Malheureusement, nous ne connaissons toujours pas les dérivées de fonctions telles que\(y=x^x\) ou\(y=x^π\). Ces fonctions nécessitent une technique appelée différenciation logarithmique, qui nous permet de différencier n'importe quelle fonction de la forme\(h(x)=g(x)^{f(x)}\). Il peut également être utilisé pour convertir un problème de différenciation très complexe en un problème plus simple, tel que la recherche de la dérivée de\(y=\dfrac{x\sqrt{2x+1}}{e^x\sin^3 x}\). Nous décrivons cette technique dans la stratégie de résolution de problèmes suivante.
- Pour différencier à\(y=h(x)\) l'aide de la différenciation logarithmique, prenez le logarithme naturel des deux côtés de l'équation pour obtenir\(\ln y=\ln(h(x)).\)
- Utilisez les propriétés des logarithmes pour\(\ln(h(x))\) les développer autant que possible.
- Différenciez les deux côtés de l'équation. Sur la gauche, nous aurons\(\dfrac{1}{y}\dfrac{dy}{dx}\).
- Multipliez les deux côtés de l'équation par\(y\) pour obtenir\(\dfrac{dy}{dx}\).
- Remplacer\(y\) par\(h(x)\).
Trouvez la dérivée de\(y=(2x^4+1)^{\tan x}\).
Solution
Utilisez la différenciation logarithmique pour trouver cette dérivée.
\ (\ begin {align*} \ ln y&= \ ln (2x^4+1) ^ {\ tan x} & & \ text {Étape 1. Prenez le logarithme naturel des deux côtés.} \ \ [4pt]
\ ln y&= \ tan x \ ln (2x^4+1) & \ text {Étape 2. Développez à l'aide des propriétés des logarithmes.} \
\ [4pt] \ dfrac {1} {y} \ dfrac {dy} {dx} &= \ sec^2 x \ ln (2x^4+1) + \ dfrac {8x^3} {2x^4+1} ⋅ \ tan x & & \ text {Étape 3. Différenciez les deux côtés. Utilisez la règle du produit sur la droite.} \ \ [4pt]
\ dfrac {dy} {dx} &=y⋅ (\ sec^2 x \ ln (2x^4+1) + \ dfrac {8x^3} {2x^4+1} ⋅ \ tan x) & & \ text {Étape 4. Multipliez par} y \ text {des deux côtés.} \ \ [4pt]
\ dfrac {dy} {dx} & =( 2x^4+1) ^ {\ tan x} (\ sec^2 x \ ln (2x^4+1) + \ dfrac {8x^3} {2x^4+1} ⋅ \ tan x) & & \ text {Étape 5. Substitut} y= (2x^4+1) ^ {\ tan x}. \ end {align*} \)
Trouvez la dérivée de\(y=\dfrac{x\sqrt{2x+1}}{e^x\sin^3 x}\).
Solution
Ce problème fait vraiment appel aux propriétés des logarithmes et aux règles de différenciation données dans ce chapitre.
| \(\ln y=\ln\dfrac{x\sqrt{2x+1}}{e^x\sin^3 x}\) | Étape 1. Prenez le logarithme naturel des deux côtés. |
| \(\ln y=\ln x+\frac{1}{2}\ln(2x+1)−x\ln e−3\ln \sin x\) | Étape 2. Développez à l'aide des propriétés des logarithmes. |
| \(\dfrac{1}{y}\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2x+1}−1−3\dfrac{\cos x}{\sin x}\) | Étape 3. Différenciez les deux côtés. |
| \(\dfrac{dy}{dx}=y\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2x+1}−1−3\cot x\right)\) | Étape 4. Multipliez par\(y\) des deux côtés. |
| \(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x\sqrt{2x+1}}{e^x\sin^3 x}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2x+1}−1−3\cot x\right)\) | Étape 5. substitut\(y=\dfrac{x\sqrt{2x+1}}{e^x\sin^3 x}.\) |
Utilisez la différenciation logarithmique pour trouver la dérivée de\(y=x^x\).
- Allusion
-
Suivez la stratégie de résolution des problèmes.
- Réponse
-
Solution :\(\dfrac{dy}{dx}=x^x(1+\ln x)\)
Trouvez la dérivée de\(y=(\tan x)^π\).
- Allusion
-
Utilisez la règle de puissance (puisque l'exposant\(\pi\) est une constante) et la règle de la chaîne.
- Réponse
-
\(y′=π(\tan x)^{π−1}\sec^2 x\)
Concepts clés
- Sur la base de l'hypothèse que la fonction exponentielle\(y=b^x, \,b>0\) est continue partout et dérivable à\(0\), cette fonction est dérivable partout et il existe une formule pour sa dérivée.
- Nous pouvons utiliser une formule pour trouver la dérivée de\(y=\ln x\), et la relation nous\(\log_b x=\dfrac{\ln x}{\ln b}\) permet d'étendre nos formules de différenciation pour inclure des logarithmes avec des bases arbitraires.
- La différenciation logarithmique permet de différencier des fonctions de forme\(y=g(x)^{f(x)}\) ou des fonctions très complexes en prenant le logarithme naturel des deux côtés et en exploitant les propriétés des logarithmes avant de les différencier.
Équations clés
- Dérivée de la fonction exponentielle naturelle
\(\dfrac{d}{dx}\Big(e^{g(x)}\Big)=e^{g(x)}g′(x)\)
- Dérivée de la fonction logarithmique naturelle
\(\dfrac{d}{dx}\Big(\ln g(x)\Big)=\dfrac{1}{g(x)}g′(x)\)
- Dérivée de la fonction exponentielle générale
\(\dfrac{d}{dx}\Big(b^{g(x)}\Big)=b^{g(x)}g′(x)\ln b\)
- Dérivée de la fonction logarithmique générale
\(\dfrac{d}{dx}\Big(\log_b g(x)\Big)=\dfrac{g′(x)}{g(x)\ln b}\)
Lexique
- différenciation logarithmique
- est une technique qui nous permet de différencier une fonction en prenant d'abord le logarithme naturel des deux côtés d'une équation, en appliquant les propriétés des logarithmes pour simplifier l'équation et en différenciant implicitement