3.10 : Chapitre 3 : Exercices de révision

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Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
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Exercices de révision des

Vrai ou faux ? Justifiez la réponse par une preuve ou un contre-exemple.

1) Chaque fonction possède une dérivée.

Réponse: Faux

2) Une fonction continue possède une dérivée continue.

3) Une fonction continue possède une dérivée.

Réponse: Faux

4) Si une fonction est dérivable, elle est continue.

Dans les exercices 5 et 6, utilisez la définition limite de la dérivée pour évaluer exactement la dérivée.

5)$f(x)=\sqrt{x+4}$

Réponse: $f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x+4}}$

6)$f(x)=\dfrac{3}{x}$

Dans les exercices 7 à 15, trouvez les dérivées des fonctions données.

7)$f(x)=3x^3−\dfrac{4}{x^2}$

Réponse: $f'(x) = 9x^2+\frac{8}{x^3}$

9)$f(x)=(4−x^2)^3$

10)$f(x)=e^{\sin x}$

Réponse: $f'(x) = e^{\sin x}\cos x$

11)$f(x)=\ln(x+2)$

(12)$f(x)=x^2\cos x+x\tan x$

Réponse: $f'(x) = x\sec^2 x+2x\cos x+\tan x−x^2\sin x $

13)$f(x)=\sqrt{3x^2+2}$

(14)$f(x)=\dfrac{x}{4}\sin^{−1}(x)$

Réponse: $f'(x) = \frac{1}{4}\left(\frac{x}{\sqrt{1−x^2}}+\sin^{−1} x\right)$

15)$x^2y=(y+2)+xy\sin x$

Dans les exercices 16 à 18, trouvez les dérivées indiquées des différents ordres.

16) Premier dérivé de$y=x(\ln x)\cos x$

Réponse: $\dfrac{dy}{dx} = \cos x⋅(\ln x+1)−x(\ln x)\sin x$

17) Troisième dérivé de$y=(3x+2)^2$

18) Deuxième dérivée de$y=4^x+x^2\sin x$

Réponse: $\dfrac{d^2y}{dx^2} = 4^x(\ln 4)^2+2\sin x+4x\cos x−x^2\sin x$

Dans les exercices 19 et 20, trouvez l'équation de la droite tangente aux équations suivantes au point spécifié.

19)$y=\cos^{−1}(x)+x$ à$x=0$

20)$y=x+e^x−\dfrac{1}{x}$ à$x=1$

Réponse: $y = (2+e)x−2$

Dans les exercices 21 et 22, dessinez la dérivée des fonctions à l'aide des graphes donnés.

(21)

$La fonction commence à (−3, 0,5) et diminue jusqu'à un minimum local à (−2,3, −2). Ensuite, la fonction augmente jusqu'à (−1,5, 0) et ralentit son augmentation jusqu'à (0, 2). Il augmente ensuite lentement jusqu'à un maximum local à (2,3, 6) avant de diminuer jusqu'à (3, 3).$

(22)

$La fonction diminue linéairement de (−1, 4) à l'origine, puis augmente sous la forme de x^2, en passant par (1, 1) et (2, 4).$

Réponse: $La fonction est la droite y = −4 jusqu'à x = 0, point auquel elle devient une ligne droite commençant à l'origine par la pente 2. Aucune valeur n'est affectée à cette fonction à x = 0.$

Les questions 22 et 23 concernent le niveau de l'eau à Ocean City, dans le New Jersey, en janvier, qui peut être estimé par l'$w(t)=1.9+2.9\cos(\frac{π}{6}t),$endroit où il$t$ est mesuré en heures après minuit, et la hauteur est mesurée en pieds.

22) Trouvez et tracez la dérivée. Quelle est la signification physique ?

23) Découvrez$w′(3).$ Quelle est la signification physique de cette valeur ?

Réponse: $w′(3)=−\frac{2.9π}{6}$. À 3 heures du matin, la marée descend à un rythme de 1.514 pieds/heure.

Les questions 24 et 25 portent sur la vitesse du vent de l'ouragan Katrina, qui a touché la Nouvelle-Orléans, en Louisiane, en août 2005. Les données sont affichées dans un tableau.

Quelques heures après minuit, le 26 août	Vitesse du vent (mi/h)
1	45
5	75
11	100
29	115
49	145
58	175
73	155
81	125
85	95
107	35

Vitesse du vent de l'ouragan KatrinaSource : news.nationalgeographic.com/n... _timeline.html.

24) À l'aide du tableau, estimez la dérivée de la vitesse du vent à l'heure 39. Quelle est la signification physique ?

25) Estimez la dérivée de la vitesse du vent à l'heure 83. Quelle est la signification physique ?

Réponse: $−7.5.$La vitesse du vent diminue à un rythme de 7,5 mph par heure