4 : Applications des dérivés
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Un lancement de fusée implique deux quantités connexes qui changent au fil du temps. Être capable de résoudre ce type de problème n'est qu'une des applications des dérivés présentées dans ce chapitre. Nous examinons également comment les dérivées sont utilisées pour déterminer les valeurs maximales et minimales des fonctions. Ainsi, nous serons en mesure de résoudre les problèmes d'optimisation appliquée, tels que la maximisation des revenus et la minimisation de la surface. En outre, nous examinons comment les dérivées sont utilisées pour évaluer des limites complexes, pour approximer les racines des fonctions et pour fournir des graphiques précis des fonctions.
- 4.0 : Prélude aux applications des dérivés
- Un lancement de fusée implique deux quantités connexes qui changent au fil du temps. Être capable de résoudre ce type de problème n'est qu'une des applications des dérivés présentées dans ce chapitre. Nous examinons également comment les dérivées sont utilisées pour déterminer les valeurs maximales et minimales des fonctions. Ainsi, nous serons en mesure de résoudre les problèmes d'optimisation appliquée, tels que la maximisation des revenus et la minimisation de la surface. De plus, nous examinons comment les dérivés sont utilisés pour évaluer des limites complexes, pour approximer les racines de f
- 4.1 : Tarifs connexes
- Si deux quantités connexes changent au fil du temps, les taux auxquels les quantités changent sont liés. Par exemple, si un ballon est rempli d'air, le rayon du ballon et le volume du ballon augmentent. Dans cette section, nous examinons plusieurs problèmes dans lesquels deux ou plusieurs quantités apparentées changent et nous étudions comment déterminer la relation entre les taux de variation de ces quantités.
- 4.2 : Approximations et différentiels linéaires
- Dans cette section, nous examinons une autre application des dérivées : la capacité d'approximer des fonctions localement par des fonctions linéaires. Les fonctions linéaires sont les plus faciles à utiliser. Elles constituent donc un outil utile pour approximer les valeurs des fonctions. De plus, les idées présentées dans cette section sont généralisées plus loin dans le texte lorsque nous étudions comment approximer des fonctions par des polynômes de degré supérieur Introduction aux séries et fonctions de puissance.
- 4.3 : Maxima et minima
- Trouver les valeurs maximale et minimale d'une fonction a une importance pratique, car nous pouvons utiliser cette méthode pour résoudre des problèmes d'optimisation, tels que la maximisation des profits, la minimisation de la quantité de matériau utilisée dans la fabrication d'une boîte en aluminium ou la détermination de la hauteur maximale qu'une fusée peut atteindre. Dans cette section, nous allons voir comment utiliser les dérivées pour déterminer les valeurs les plus grandes et les plus petites d'une fonction.
- 4.4 : Le théorème de la valeur moyenne
- Le théorème de la valeur moyenne est l'un des plus importants théorèmes du calcul. Nous examinons certaines de ses implications à la fin de cette section. Commençons par un cas particulier du théorème de la valeur moyenne, appelé théorème de Rolle.
- 4.5 : Les dérivées et la forme d'un graphe
- À l'aide des résultats de la section précédente, nous sommes maintenant en mesure de déterminer si un point critique d'une fonction correspond réellement à une valeur extrême locale. Dans cette section, nous verrons également comment la dérivée seconde fournit des informations sur la forme d'un graphe en décrivant si le graphe d'une fonction est incurvé vers le haut ou vers le bas.
- 4.6 : Limites à l'infini et asymptotes
- Nous avons montré comment utiliser les dérivées première et seconde d'une fonction pour décrire la forme d'un graphe. Pour représenter graphiquement une fonction f définie sur un domaine illimité, nous devons également connaître le comportement de f sous la forme x→±∞. Dans cette section, nous définissons des limites à l'infini et montrons comment ces limites affectent le graphe d'une fonction. À la fin de cette section, nous décrivons une stratégie pour représenter graphiquement une fonction arbitraire f.
- 4.7 : Problèmes d'optimisation appliquée
- Une application courante du calcul consiste à calculer la valeur minimale ou maximale d'une fonction. Par exemple, les entreprises souhaitent souvent minimiser leurs coûts de production ou maximiser leurs revenus. Lors de la fabrication, il est souvent souhaitable de minimiser la quantité de matériau utilisée pour emballer un produit d'un certain volume. Dans cette section, nous montrons comment configurer ces types de problèmes de minimisation et de maximisation et les résoudre à l'aide des outils développés dans ce chapitre.
- 4.8 : La règle de L'Hôpital
- Dans cette section, nous examinons un puissant outil d'évaluation des limites. Cet outil, connu sous le nom de règle de L'Hôpital, utilise des dérivés pour calculer les limites. Avec cette règle, nous serons en mesure d'évaluer de nombreuses limites que nous n'avons pas encore pu déterminer. Au lieu de nous appuyer sur des preuves numériques pour supposer qu'une limite existe, nous serons en mesure de démontrer définitivement qu'une limite existe et de déterminer sa valeur exacte.
- 4.9 : Méthode de Newton
- Dans de nombreux domaines des mathématiques pures et appliquées, nous cherchons à trouver des solutions à une équation de la forme f (x) =0. Toutefois, pour la plupart des fonctions, il est difficile, voire impossible, de calculer leurs zéros de manière explicite. Dans cette section, nous examinons une technique qui fournit un moyen très efficace d'approximer les zéros des fonctions. Cette technique utilise des approximations de lignes tangentes et est à l'origine de la méthode souvent utilisée par les calculateurs et les ordinateurs pour trouver des zéros.
- 4.10 : Antidérivés
- À ce stade, nous avons vu comment calculer les dérivées de nombreuses fonctions et avons découvert diverses de leurs applications. Nous posons maintenant une question qui permet de renverser ce processus : étant donné une fonction f, comment trouver une fonction avec la dérivée f et pourquoi nous intéresserions-nous à une telle fonction ?