4.4E : Exercices pour la section 4.4
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1) Pourquoi avez-vous besoin de continuité pour appliquer le théorème de la valeur moyenne ? Construisez un contre-exemple.
2) Pourquoi avez-vous besoin de différentiabilité pour appliquer le théorème de la valeur moyenne ? Trouvez un contre-exemple.
- Réponse
- Un exemple est\(f(x)=|x|+3,−2≤x≤2\)
3) Quand le théorème de Rolle et le théorème de la valeur moyenne sont-ils équivalents ?
4) Si vous avez une fonction avec une discontinuité, est-il toujours possible d'avoir\(f′(c)(b−a)=f(b)−f(a)?\) Draw un tel exemple ou de prouver pourquoi pas ?
- Réponse
- Oui, mais le théorème de la valeur moyenne ne s'applique toujours pas
Dans les exercices 5 à 9, déterminez à quels intervalles (le cas échéant) le théorème de la valeur moyenne s'applique. Justifiez votre réponse.
5)\(y=\sin(πx)\)
6)\(y=\dfrac{1}{x^3}\)
- Réponse
- \((−∞,0),(0,∞)\)
7)\(y=\sqrt{4−x^2}\)
8)\(y=\sqrt{x^2−4}\)
- Réponse
- \((−∞,−2),(2,∞)\)
9)\(y=\ln(3x−5)\)
Dans les exercices 10 à 13, tracez graphiquement les fonctions sur une calculatrice et tracez la ligne sécante qui relie les extrémités. Estimez le nombre de points de\(c\) telle sorte que\(f′(c)(b−a)=f(b)−f(a).\)
10) [T]\(y=3x^3+2x+1\) plus\([−1,1]\)
- Réponse
- 2 points
11) [T]\(y=\tan\left(\frac{π}{4}x\right)\) over\(\left[−\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right]\)
12) [T]\(y=x^2\cos(πx)\) plus\([−2,2]\)
- Réponse
- 5 points
13) [T]\(y=x^6−\frac{3}{4}x^5−\frac{9}{8}x^4+\frac{15}{16}x^3+\frac{3}{32}x^2+\frac{3}{16}x+\frac{1}{32}\) over\([−1,1]\)
Dans les exercices 14 à 19, utilisez le théorème de la valeur moyenne et trouvez tous les points de\(0<c<2\) telle sorte que\(f(2)−f(0)=f′(c)(2−0)\).
(14)\(f(x)=x^3\)
- Réponse
- \(c=\frac{2\sqrt{3}}{3}\)
(15)\(f(x)=\sin(πx)\)
16)\(f(x)=\cos(2πx)\)
- Réponse
- \(c=\frac{1}{2},1,\frac{3}{2}\)
17)\(f(x)=1+x+x^2\)
18)\(f(x)=(x−1)^{10}\)
- Réponse
- \(c=1\)
19)\(f(x)=(x−1)^9\)
Dans les exercices 20 à 23, montrez que cela n'\(c\)existe pas\(f(1)−f(−1)=f′(c)(2)\). Expliquer pourquoi le théorème de la valeur moyenne ne s'applique pas à l'intervalle\([−1,1].\)
(20)\(f(x)=\left|x−\frac{1}{2} \right|\)
- Réponse
- Non différenciable
(21)\(f(x)=\dfrac{1}{x^2}\)
(22)\(f(x)=\sqrt{|x|}\)
- Réponse
- Non différenciable
23)\(f(x)=\lfloor x \rfloor\) (Conseil : C'est ce que l'on appelle la fonction floor et elle est définie de telle sorte qu'il\(f(x)\) s'agisse du plus grand entier inférieur ou égal à\(x\).)
Dans les exercices 24 à 34, déterminez si le théorème de la valeur moyenne s'applique aux fonctions sur l'intervalle donné\([a,b]\). Justifiez votre réponse.
24)\(y=e^x\) plus\([0,1]\)
- Réponse
- Oui
25)\(y=\ln(2x+3)\) plus\([−\frac{3}{2},0]\)
26)\(f(x)=\tan(2πx)\) plus\([0,2]\)
- Réponse
- Le théorème de la valeur moyenne ne s'applique pas puisque la fonction est discontinue à\(x=\frac{1}{4},\frac{3}{4},\frac{5}{4},\frac{7}{4}.\)
27)\(y=\sqrt{9−x^2}\) plus\([−3,3]\)
28)\(y=\dfrac{1}{|x+1|}\) plus\([0,3]\)
- Réponse
- Oui
29)\(y=x^3+2x+1\) plus\([0,6]\)
30)\(y=\dfrac{x^2+3x+2}{x}\) plus\([−1,1]\)
- Réponse
- Le théorème de la valeur moyenne ne s'applique pas ; discontinu à\(x=0.\)
31)\(y=\dfrac{x}{\sin(πx)+1}\) plus\([0,1]\)
32)\(y=\ln(x+1)\) plus\([0,e−1]\)
- Réponse
- Oui
33)\(y=x\sin(πx)\) plus\([0,2]\)
34)\(y=5+|x|\) plus\([−1,1]\)
- Réponse
- Le théorème de la valeur moyenne ne s'applique pas ; il n'est pas dérivable à\(x=0\).
Pour les exercices 35 à 37, considérez les racines de chaque équation.
35) Montrez que l'équation\(y=x^3+3x^2+16\) a exactement une racine réelle. Qu'est-ce que c'est ?
36) Trouvez les conditions pour exactement une racine (racine double) pour l'équation\(y=x^2+bx+c\)
- Réponse
- \(b=±2\sqrt{c}\)
37) Trouvez les conditions pour\(y=e^x−b\) avoir une seule racine. Est-il possible d'avoir plus d'une racine ?
Dans les exercices 38 à 42, utilisez une calculatrice pour représenter graphiquement la fonction sur l'intervalle\([a,b]\) et tracez la droite sécante de\(a\) à\(b\). Utilisez le calculateur pour estimer toutes les valeurs garanties par le théorème des valeurs moyennes.\(c\) Ensuite, trouvez la valeur exacte de\(c\), si possible, ou écrivez l'équation finale et utilisez une calculatrice pour obtenir une estimation à quatre chiffres.
38) [T]\(y=\tan(πx)\) plus\(\left[−\frac{1}{4},\frac{1}{4}\right]\)
- Réponse
- \(c \approx ±0.1533\)
\(c=±\frac{1}{π}\cos^{−1}(\frac{\sqrt{π}}{2})\)
39) [T]\(y=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}}\) plus\([0,3]\)
40) [T]\(y=|x^2+2x−4|\) plus\([−4,0]\)
- Réponse
- Le théorème de la valeur moyenne ne s'applique pas.
41) [T]\(y=x+\dfrac{1}{x}\) plus\(\left[\frac{1}{2},4\right]\)
42) [T]\(y=\sqrt{x+1}+\dfrac{1}{x^2}\) over\([3,8]\)
- Réponse
- \(\dfrac{1}{2\sqrt{c+1}}−\dfrac{2}{c^3}=\dfrac{521}{2880}\)
\(c \approx 3.133, 5.867\)
43) À 10 h 17, vous passez devant une voiture de police à 55 mi/h qui est arrêtée sur l'autoroute. Vous passez devant une deuxième voiture de police à 55 mi/h à 10 h 53, située à 63 miles de la première voiture de police. Si la limite de vitesse est de 60 mi/h, la police peut-elle vous citer pour excès de vitesse ?
44) Deux voitures circulent d'un feu rouge à l'autre, partant en même temps et arrivant en même temps. Y a-t-il un moment où ils roulent à la même vitesse ? Prouvez ou réfutez.
- Réponse
- Oui
45) Montrez cela\(y=\sec^2x\) et\(y=\tan^2x\) utilisez la même dérivée. Que peux-tu dire à propos de\(y=\sec^2x−\tan^2x\) ça ?
46) Montrez cela\(y=\csc^2x\) et\(y=\cot^2x\) ayez la même dérivée. Que peux-tu dire à propos de\(y=\csc^2x−\cot^2x\) ça ?
- Réponse
- C'est constant.