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4.2 : Approximations et différentiels linéaires

  • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
  • OpenStax

Objectifs d'apprentissage
  • Décrivez l'approximation linéaire d'une fonction en un point.
  • Ecrivez la linéarisation d'une fonction donnée.
  • Dessinez un graphique qui illustre l'utilisation de différentiels pour approximer la variation d'une quantité.
  • Calculez l'erreur relative et l'erreur en pourcentage à l'aide d'une approximation différentielle.

Nous venons de voir comment les dérivés nous permettent de comparer des quantités apparentées qui évoluent dans le temps. Dans cette section, nous examinons une autre application des dérivées : la capacité d'approximer des fonctions localement par des fonctions linéaires. Les fonctions linéaires sont les plus faciles à utiliser. Elles constituent donc un outil utile pour approximer les valeurs des fonctions. De plus, les idées présentées dans cette section sont généralisées plus loin dans le texte lorsque nous étudions comment approximer des fonctions par des polynômes de degré supérieur Introduction aux séries et fonctions de puissance.

Approximation linéaire d'une fonction en un point

Prenons l'exemple d'une fonctionf qui est dérivable à un point donnéx=a. Rappelons que la tangente au graphe def ata est donnée par l'équation

y=f(a)+f(a)(xa).

Par exemple, considérez la fonctionf(x)=1x àa=2. Puisquef est différenciable àx=2 etf(x)=1x2, nous le voyonsf(2)=14. Par conséquent, la tangente au graphe def ata=2 est donnée par l'équation

y=1214(x2).

La figure4.2.1a montre un graphiquef(x)=1x avec la tangente àf atx=2. Notez que pour la2 valeurx proche, le graphique de la tangente est proche du graphe def. Par conséquent, nous pouvons utiliser l'équation de la tangentef(x) pour obtenir une approximation de la valeurx proche2. Par exemplex=2.1, si lay valeur du point correspondant sur la tangente est

y=1214(2.12)=0.475.

La valeur réelle def(2.1) est donnée par

f(2.1)=12.10.47619.

Par conséquent, la droite tangente nous donne une assez bonne approximation def(2.1) (Figure4.2.1b). Cependant, notez que pour des valeurs dex loin2, l'équation de la tangente ne nous donne pas une bonne approximation. Par exemplex=10, si lay valeur -du point correspondant sur la tangente est

y=1214(102)=122=1.5,

alors que la valeur de la fonction atx=10 estf(10)=0.1.

Cette figure comporte deux parties a et b. Sur la figure a, la droite f (x) = 1/x est représentée avec sa tangente à x = 2. Dans la figure b, la zone proche du point de tangente est agrandie pour montrer la qualité approximative de la tangente près de x = 2.
Figure4.2.1 : (a) La tangente àf(x)=1/x atx=2 fournit une bonne approximation de ouf dex proximité2. (b) Atx=2.1, la valeur dey sur la tangente àf(x)=1/x est0.475. La valeur réelle def(2.1) est1/2.1, qui est d'environ0.47619.

En général, pour une fonction dérivablef, l'équation de la tangente àf atx=a peut être utiliséef(x) pour approximer la valeurx prochea. Par conséquent, nous pouvons écrire

f(x)f(a)+f(a)(xa)pourx près dea.

Nous appelons la fonction linéaire

L(x)=f(a)+f(a)(xa)

l'approximation linéaire, ou approximation de la ligne tangente, def atx=a. Cette fonctionL est également connue sous le nom de linéarisation def atx=a.

Pour montrer l'utilité de l'approximation linéaire, nous allons voir comment trouver l'approximation linéaire pourf(x)=xx=9.

Exemple4.2.1: Linear Approximation of x

Trouvez l'approximation linéaire def(x)=x atx=9 et utilisez-la pour effectuer une estimation9.1.

Solution

Puisque nous recherchons l'approximation linéaire à l'x=9,aide de l'équation \ ref {linearapprox}, nous savons que l'approximation linéaire est donnée par

L(x)=f(9)+f(9)(x9).

Nous devons trouverf(9) etf(9).

f(x)=xf(9)=9=3

f(x)=12xf(9)=129=16

Par conséquent, l'approximation linéaire est donnée par la figure4.2.2.

L(x)=3+16(x9)

En utilisant l'approximation linéaire, nous pouvons estimer9.1 en écrivant

9.1=f(9.1)L(9.1)=3+16(9.19)3.0167.

La fonction f (x) = la racine carrée de x est représentée avec sa tangente à (9, 3). La tangente semble être une très bonne approximation de x = 6 à x = 12.
Figure4.2.2 : L'approximation linéaire locale def(x)=x atx=9 fournit une approximation def forx near9.

Analyse

À l'aide d'une calculatrice, la valeur comprise9.1 entre 1 et 4 décimales est de3.0166. La valeur donnée par l'approximation linéaire,3.0167, est très proche de la valeur obtenue avec un calculateur. Il semble donc que l'utilisation de cette approximation linéaire soit une bonne méthode d'estimationx, au moins pour x near9. En même temps, il peut sembler étrange d'utiliser une approximation linéaire lorsqu'il suffit d'appuyer sur quelques boutons d'une calculatrice pour évaluer9.1. Cependant, comment évalue-t-on le calculateur9.1 ? Le calculateur utilise une approximation ! En fait, les calculateurs et les ordinateurs utilisent des approximations en permanence pour évaluer des expressions mathématiques ; ils n'utilisent que des approximations de plus haut degré.

Exercice4.2.1

Trouvez l'approximation linéaire locale def(x)=3x atx=8. Utilisez-le pour obtenir une valeur approximative38.1 de cinq décimales.

Allusion

L(x)=f(a)+f(a)(xa)

Réponse

L(x)=2+112(x8);2.00833

Exemple4.2.2: Linear Approximation of sinx

Trouvez l'approximation linéaire def(x)=sinx atx=π3 et utilisez-la pour obtenir une approximation\sin(62°).

Solution

Nous notons d'abord que puisque\frac{π}{3} rad est équivalent à60°, l'utilisation de l'approximation linéaire atx=π/3 semble raisonnable. L'approximation linéaire est donnée par

L(x)=f(\frac{π}{3})+f'(\frac{π}{3})(x−\frac{π}{3}).

Nous voyons que

f(x)=\sin x ⇒f(\frac{π}{3})=\sin(\frac{π}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}

f'(x)=\cos x ⇒f'(\frac{π}{3})=\cos(\frac{π}{3})=\frac{1}{2}

Par conséquent, l'approximation linéaire def atx=π/3 est donnée par la figure\PageIndex{3}.

L(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}(x−\frac{π}{3})

Pour effectuer une estimation à\sin(62°) l'aide deL, nous devons d'abord les62° convertir en radians. Nous avons62°=\frac{62π}{180} des radians, donc l'estimation pour\sin(62°) est donnée par

\sin(62°)=f(\frac{62π}{180})≈L(\frac{62π}{180})=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}(\frac{62π}{180}−\frac{π}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}(\frac{2π}{180})=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{π}{180}≈0.88348.

La fonction f (x) = sin x est représentée avec sa tangente à (π/3, racine carrée de 3/2). La tangente semble être une très bonne approximation pour x proche de π/3.
Figure\PageIndex{3} : L'approximation linéaire def(x)=\sin x atx=π/3 fournit une approximationx de\sin x π/3.
Exercice\PageIndex{2}

Trouvez l'approximation linéaire pourf(x)=\cos x atx=\frac{π}{2}.

Allusion

L(x)=f(a)+f'(a)(x−a)

Réponse

L(x)=−x+\frac{π}{2}

Des approximations linéaires peuvent être utilisées pour estimer les racines et les puissances. Dans l'exemple suivant, nous trouvons l'approximation linéaire def(x)=(1+x)^n atx=0, qui peut être utilisée pour estimer les racines et les puissances de nombres réels proches de1. La même idée peut être étendue à une fonction de la formef(x)=(m+x)^n pour estimer les racines et les puissances à proximité d'un nombre différentm.

Exemple\PageIndex{3}: Approximating Roots and Powers

Détermine l'approximation linéaire def(x)=(1+x)^n atx=0. Utilisez cette approximation pour estimer(1.01)^3.

Solution

L'approximation linéaire atx=0 est donnée par

L(x)=f(0)+f'(0)(x−0).

Parce que

f(x)=(1+x)^n⇒f(0)=1

f'(x)=n(1+x)^{n−1}⇒f'(0)=n,

l'approximation linéaire est donnée par la figure\PageIndex{4a}.

L(x)=1+n(x−0)=1+nx

Nous pouvons faire des(1.01)^3 approximations en évaluantL(0.01) quandn=3. Nous concluons que

(1.01)^3=f(1.01)≈L(1.01)=1+3(0.01)=1.03.

Cette figure comporte deux parties a et b. Sur la figure a, la droite f (x) = (1 + x) 3 est représentée avec sa tangente à (0, 1). Dans la figure b, la zone proche du point de tangente est agrandie pour montrer la qualité approximative de la tangente proche (0, 1).
Figure\PageIndex{4} : (a) L'approximation linéaire def(x) atx=0 estL(x) (b) La valeur réelle de1.01^3 est1.030301. L'approximation linéaire desx=0 estimationsf(x)1.01^3 à être1.03.
Exercice\PageIndex{3}

Trouvez l'approximation linéaire def(x)=(1+x)^4 atx=0 sans utiliser le résultat de l'exemple précédent.

Allusion

f'(x)=4(1+x)^3

Réponse

L(x)=1+4x

Différentiels

Nous avons vu que des approximations linéaires peuvent être utilisées pour estimer les valeurs des fonctions. Ils peuvent également être utilisés pour estimer l'ampleur de la modification d'une valeur de fonction à la suite d'une légère modification de l'entrée. Pour en discuter plus formellement, nous définissons un concept connexe : les différentiels. Les différentiels nous permettent d'estimer l'ampleur de la modification d'une fonction à la suite d'une légère modification des valeurs d'entrée.

Lorsque nous avons examiné les dérivées pour la première fois, nous avons utilisé la notation de Leibnizdy/dx pour représenter lay dérivée de par rapport àx. Bien que nous ayons utilisé les expressionsdy etdx dans cette notation, elles n'avaient pas de sens en elles-mêmes. Nous voyons ici le sens des expressionsdy etdx. Supposons quey=f(x) c'est une fonction dérivable. dxSoit une variable indépendante à laquelle on peut attribuer n'importe quel nombre réel différent de zéro, et définissez la variable dépendantedy par

dy=f'(x)\,dx. \label{diffeq}

Il est important de noter que celady dépend à la fois dex etdx. Les expressionsdy etdx sont appelées différentiels. Nous pouvons diviser les deux côtés de l'équation \ ref {diffeq} pardx, laquelle les rendements

\frac{dy}{dx}=f'(x). \label{inteq}

C'est l'expression familière que nous avons utilisée pour désigner un dérivé. L'équation \ ref {inteq} est connue sous le nom de forme différentielle de l'équation \ ref {diffeq}.

Exemple\PageIndex{4}: Computing Differentials

Pour chacune des fonctions suivantes, trouvezdy et évaluez quandx=3 etdx=0.1.

  1. y=x^2+2x
  2. y=\cos x

Solution

L'étape clé consiste à calculer la dérivée. Lorsque nous l'avons, nous pouvons l'obtenirdy directement.

a. Puisquef(x)=x^2+2x, nous savonsf'(x)=2x+2, et donc

dy=(2x+2)\,dx.

Quandx=3 etdx=0.1,

dy=(2⋅3+2)(0.1)=0.8.

b. Puisquef(x)=\cos x , f'(x)=−\sin(x). cela nous donne

dy=−\sin x \,dx.

Quandx=3 etdx=0.1,

dy=−\sin(3)(0.1)=−0.1\sin(3).

Exercice\PageIndex{4}

Poury=e^{x^2}, trouvezdy.

Allusion

dy=f'(x)\,dx

Réponse

dy=2xe^{x^2}dx

Nous connectons maintenant les différentiels à des approximations linéaires. Les différentiels peuvent être utilisés pour estimer la variation de la valeur d'une fonction résultant d'une légère modification des valeurs d'entrée. Considérez une fonctionf qui est dérivable à un pointa. Supposons que l'entréex change légèrement. Nous nous intéressons à l'ampleur de lay variation de la sortie. Si lex changement passe dea àa+dx, alors le changement dansx estdx (également indiquéΔx), et le changement dansy est donné par

Δy=f(a+dx)−f(a). \nonumber

Cependanty, au lieu de calculer la variation exacte de, il est souvent plus facile d'approximer la variation eny utilisant une approximation linéaire. Carx neara, f(x) peut être approximé par l'approximation linéaire (Equation \ ref {linearapprox})

L(x)=f(a)+f'(a)(x−a). \nonumber

Par conséquent, s'dxil est petit,

f(a+dx)≈L(a+dx)=f(a)+f'(a)(a+dx−a). \nonumber

C'est-à-dire

f(a+dx)−f(a)≈L(a+dx)−f(a)=f'(a)\,dx. \nonumber

En d'autres termes, la variation réelle de la fonctionf si ellex augmente dea àa+dx est approximativement la différence entreL(a+dx) etf(a), oùL(x) est l'approximation linéaire def ata. Par définition deL(x), cette différence est égale àf'(a)\,dx. En résumé,

Δy=f(a+dx)−f(a)≈L(a+dx)−f(a)=f'(a)\,dx=dy. \nonumber

Par conséquent, nous pouvons utiliser le différentieldy=f'(a)\,dx pour approximer la variation dey si ellex augmente dex=a àx=a+dx. Nous pouvons le voir dans le graphique suivant.

Une fonction y = f (x) est représentée avec sa tangente à (a, f (a)). La tangente est notée L (x). L'axe x est marqué par a et a + dx, avec une ligne pointillée indiquant la distance entre a et a + dx. Les points (a + dx, f (a + dx)) et (a + dx, L (a + dx)) sont marqués sur les courbes pour y = f (x) et y = L (x), respectivement. La distance entre f (a) et L (a + dx) est marquée par dy = f' (a) dx, et la distance entre f (a) et f (a + dx) est marquée par Δy = f (a + dx) — f (a).
Figure\PageIndex{5} : Le différentieldy=f'(a)\,dx est utilisé pour approximer la variation réelley si ellex augmente dea àa+dx.

Nous allons maintenant voir comment utiliser les différentiels pour approximer la variation de la valeur de la fonction qui résulte d'une légère modification de la valeur de l'entrée. Notez que le calcul avec des différentiels est beaucoup plus simple que le calcul des valeurs réelles des fonctions et que le résultat est très proche de ce que nous obtiendrions avec un calcul plus précis.

Exemple\PageIndex{5}: Approximating Change with Differentials

ΔyLety=x^2+2x. Compute etdy àx=3 ifdx=0.1.

Solution

La variation réelle eny cas dex passage dex=3 àx=3.1 est donnée par

Δy=f(3.1)−f(3)=[(3.1)^2+2(3.1)]−[3^2+2(3)]=0.81.

La variation approximativey est donnée pardy=f'(3)\,dx. Puisquef'(x)=2x+2, nous avons

dy=f'(3)\,dx=(2(3)+2)(0.1)=0.8.

Exercice\PageIndex{5}

Poury=x^2+2x, trouverΔy etdy àx=3 sidx=0.2.

Allusion

dy=f'(3)\,dx, \;Δy=f(3.2)−f(3)

Réponse

dy=1.6, \; Δy=1.64

Calcul du montant de l'erreur

Tout type de mesure est sujet à un certain nombre d'erreurs. Dans de nombreuses applications, certaines quantités sont calculées sur la base de mesures. Par exemple, l'aire d'un cercle est calculée en mesurant le rayon du cercle. Une erreur dans la mesure du rayon entraîne une erreur dans la valeur calculée de la surface. Nous examinons ici ce type d'erreur et étudions comment les différentiels peuvent être utilisés pour estimer l'erreur.

Prenons l'exemplef d'une fonction dont l'entrée est une quantité mesurée. Supposons que la valeur exacte de la quantité mesurée soita, mais que la valeur mesurée l'esta+dx. Nous disons que l'erreur de mesure estdx (ouΔx). Par conséquent, une erreur se produit dans la quantité calculéef(x). Ce type d'erreur est connu sous le nom d'erreur propagée et est donné par

Δy=f(a+dx)−f(a). \nonumber

Comme toutes les mesures sont sujettes à un certain degré d'erreur, nous ne connaissons pas la valeur exacte d'une quantité mesurée et nous ne pouvons donc pas calculer exactement l'erreur propagée. Cependant, étant donné une estimation de la précision d'une mesure, nous pouvons utiliser des différentiels pour approximer l'erreur propagée.Δy. Plus précisément, s'il s'fagit d'une fonction dérivable àa, l'erreur propagée est

Δy≈dy=f'(a)\,dx. \nonumber

Malheureusement, nous ne connaissons pas la valeur exacte,a. mais nous pouvons utiliser la valeur mesuréea+dx, et l'estimer

Δy≈dy≈f'(a+dx)\,dx. \nonumber

Dans l'exemple suivant, nous verrons comment les différentiels peuvent être utilisés pour estimer l'erreur lors du calcul du volume d'une boîte si nous supposons que la mesure de la longueur des côtés est effectuée avec une certaine précision.

Exemple\PageIndex{6}: Volume of a Cube

Supposons que la longueur du côté d'un cube soit mesurée en5 cm avec une précision de0.1 cm.

  1. Utilisez des différentiels pour estimer l'erreur dans le volume calculé du cube.
  2. Calculez le volume du cube si la longueur du côté est de (i)4.9 cm et (ii)5.1 cm pour comparer l'erreur estimée à l'erreur potentielle réelle.

Solution

a. La mesure de la longueur des côtés est précise au±0.1 centimètre près. Par conséquent,

−0.1≤dx≤0.1.

Le volume d'un cube est donné parV=x^3, ce qui conduit à

dV=3x^2dx.

En utilisant la longueur de côté mesurée en5 cm, nous pouvons estimer que

−3(5)^2(0.1)≤dV≤3(5)^2(0.1).

Par conséquent,

−7.5≤dV≤7.5.

b. Si la longueur du côté est réellement en4.9 cm, le volume du cube est

V(4.9)=(4.9)^3=117.649\text{cm}^3.

Si la longueur du côté est réellement en5.1 cm, le volume du cube est

V(5.1)=(5.1)^3=132.651\text{cm}^3.

Par conséquent, le volume réel du cube se situe entre117.649 et132.651. Puisque la longueur du côté est mesurée à 5 cm, le volume calculé estV(5)=5^3=125. donc, l'erreur dans le volume calculé est

117.649−125≤ΔV≤132.651−125.

C'est-à-dire

−7.351≤ΔV≤7.651.

Nous constatons que l'erreur estiméedV est relativement proche de l'erreur potentielle réelle dans le volume calculé.

Exercice\PageIndex{6}

Estimez l'erreur dans le volume calculé d'un cube si la longueur du côté est mesurée en6 cm avec une précision de0.2 cm.

Allusion

dV=3x^2dx

Réponse

La mesure du volume est précise à l'intérieur21.6\,\text{cm}^3.

L'erreur de mesuredx\ (=Δx) et l'erreur propagéeΔy sont des erreurs absolues. Nous nous intéressons généralement à la taille d'une erreur par rapport à la taille de la quantité mesurée ou calculée. Étant donné une erreur absolueΔq pour une quantité donnée, nous définissons l'erreur relative comme\frac{Δq}{q} suit : oùq est la valeur réelle de la quantité. L'erreur en pourcentage est l'erreur relative exprimée en pourcentage. Par exemple, si nous mesurons la hauteur d'une échelle lorsque la hauteur réelle est62 dedans, l'erreur absolue est de 1 pouce mais l'erreur relative est de\frac{1}{62}=0.016, ou1.6\%.63 En comparaison, si nous mesurons la largeur d'un morceau de carton8.25 dedans, lorsque la largeur réelle est8 dedans, notre erreur absolue est\frac{1}{4} dedans, alors que l'erreur relative est\frac{0.25}{8}=\frac{1}{32}, ou3.1\%. Par conséquent, l'erreur en pourcentage dans la mesure du carton est plus grande, même bien que0.25 dans. soit moins que1 dedans.

Exemple\PageIndex{7}: Relative and Percentage Error

Un astronaute utilisant une caméra mesure le rayon de la Terre en4000 mi avec une erreur de±80 mi. Utilisons des différentiels pour estimer l'erreur relative et en pourcentage liée à l'utilisation de cette mesure du rayon pour calculer le volume de la Terre, en supposant que la planète est une sphère parfaite.

Solution : Si la mesure du rayon est précise à l'intérieur,±80, nous avons

−80≤dr≤80.

Puisque le volume d'une sphère estV=(\frac{4}{3})πr^3, donné par

dV=4πr^2dr.

En utilisant le rayon mesuré de4000 mi, nous pouvons estimer

−4π(4000)^2(80)≤dV≤4π(4000)^2(80).

Pour estimer l'erreur relative, considérez\dfrac{dV}{V}. Comme nous ne connaissons pas la valeur exacte du volumeV, utilisez le rayon mesurér=4000 mi pour l'estimerV. Nous obtenonsV≈(\frac{4}{3})π(4000)^3. Par conséquent, l'erreur relative satisfait

\frac{−4π(4000)^2(80)}{4π(4000)^3/3}≤\dfrac{dV}{V}≤\frac{4π(4000)^2(80)}{4π(4000)^3/3},

ce qui simplifie

−0.06≤\dfrac{dV}{V}≤0.06.

L'erreur relative est0.06 et le pourcentage d'erreur est6\%.

Exercice\PageIndex{7}

Déterminez le pourcentage d'erreur si le rayon de la Terre est mesuré à3950 mi avec une erreur de±100 mi.

Allusion

Utilisez le fait quedV=4πr^2dr pour trouverdV/V.

Réponse

7.6\%

Concepts clés

  • Une fonction dérivabley=f(x) peut être approximéea par la fonction linéaire

L(x)=f(a)+f'(a)(x−a).

  • Pour une fonctiony=f(x), si ellex passe dea àa+dx, alors

dy=f'(x)\,dx

est une approximation de la variation dey. Le changement réely est

Δy=f(a+dx)−f(a).

  • Une erreur de mesuredx peut entraîner une erreur dans une quantité calculéef(x). L'erreur dans la quantité calculée est connue sous le nom d'erreur propagée. L'erreur propagée peut être estimée par

dy≈f'(x)\,dx.

  • Pour estimer l'erreur relative d'une quantité donnéeq, nous estimons\frac{Δq}{q}.

Équations clés

  • Approximation linéaire

L(x)=f(a)+f'(a)(x−a)

  • Un différentiel

dy=f'(x)\,dx

Lexique

différentiel
le différentieldx est une variable indépendante à laquelle on peut attribuer n'importe quel nombre réel non nul ; le différentieldy est défini commedy=f'(x)\,dx
forme différentielle
étant donné une fonction dérivable,y=f'(x), l'équationdy=f'(x)\,dx est la forme différentielle de lay dérivée de par rapport àx
approximation linéaire
la fonction linéaireL(x)=f(a)+f'(a)(x−a) est l'approximation linéaire def atx=a
erreur en pourcentage
l'erreur relative exprimée en pourcentage
erreur propagée
l'erreur qui se traduit par une quantité calculéef(x) résultant d'une erreur de mesuredx
erreur relative
étant donné une erreur absolueΔq pour une quantité donnée,\frac{Δq}{q} est l'erreur relative.
approximation de la ligne tangente (linéarisation)
étant donné que l'approximation linéaire def atx=a est définie à l'aide de l'équation de la tangente, l'approximation linéaire def atx=a est également connue sous le nom d'approximation de la droite tangente àf atx=a