4.1E : Exercices pour la section 4.1

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Dans les exercices 1 à 3, trouvez les quantités pour l'équation donnée.

1) Trouvez$\frac{dy}{dt}$ à$x=1$ et$y=x^2+3$ si$\frac{dx}{dt}=4.$

Réponse: $\dfrac{dy}{dt} = 8$

2) Trouvez$\frac{dx}{dt}$ à$x=−2$ et$y=2x^2+1$ si$\frac{dy}{dt}=−1.$

3) Trouvez$\frac{dz}{dt}$ à$(x,y)=(1,3)$ et$z^2=x^2+y^2$ si$\frac{dx}{dt}=4$ et$\frac{dy}{dt}=3$.

Réponse: $\dfrac{dz}{dt} = \frac{13}{\sqrt{10}}$

Dans les exercices 4 à 15, esquissez la situation si nécessaire et utilisez les taux correspondants pour résoudre les quantités.

4) [T] Si deux résistances électriques sont connectées en parallèle, la résistance totale (mesurée en ohms, désignée par la lettre majuscule grecque oméga$Ω$) est donnée par l'équation$\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}.$ If$R_1$ augmente à une vitesse de$0.5Ω/\text{min}$ et$R_2$ diminue à une vitesse de$1.1Ω/\text{min}$, à quelle vitesse la résistance totale change-t-elle quand$R_1=20Ω$ et$R_2=50Ω/\text{min}$ ?

5) Une échelle de$10$ 2 pieds est appuyée contre un mur. Si le haut de l'échelle glisse le long du mur à une vitesse de pieds par$2$ seconde, à quelle vitesse le bas se déplace-t-il le long du sol lorsque le bas de l'échelle se trouve à$5$ pieds du mur ?

$Un triangle droit est formé par une échelle adossée à un mur de briques. L'échelle forme l'hypoténuse et mesure 10 pieds de long.$

Réponse: $2\sqrt{3}$pieds/seconde

6) Une échelle de$25$ 2 pieds est appuyée contre un mur. Si nous poussons l'échelle vers le mur à une vitesse de$20$ pieds par$1$ seconde et que le bas de l'échelle se trouve initialement à un mètre du mur, à quelle vitesse l'échelle remonte-t-elle le mur une$5$ seconde après avoir commencé à pousser ?

7) Deux avions volent dans les airs à la même hauteur : l'avion A vole vers l'est à$250$ mi/h et l'avion B vole vers le nord à$300$ mi/h. S'ils se dirigent tous les deux vers le même aéroport, situé à des$30$ miles à l'est de l'avion A et à des$40$ miles au nord de l'avion B, à quelle vitesse la distance entre les avions change ?

$Un triangle droit est formé par deux avions A et B se déplaçant perpendiculairement l'un à l'autre. L'hypoténuse est la distance entre les plans A et B. Les autres côtés sont des prolongements de la trajectoire de chaque plan jusqu'à leur rencontre.$

Réponse: La distance diminue à$390$ mi/h.

8) Vous et un ami vous rendez à vélo à un restaurant que vous pensez être à l'est ; votre ami pense que le restaurant se trouve au nord. Vous partez tous les deux du même point, avec vous à vélo à$16$ mph est et votre ami à$12$ mph au nord. Après avoir parcouru$4$ des kilomètres, à quel rythme la distance entre vous change-t-elle ?

9) Deux bus circulent sur des autoroutes parallèles distantes de$5$ 8 km, l'un se dirigeant vers l'est et l'autre vers l'ouest. En supposant que chaque bus roule à une$55$ vitesse constante en mi/h, déterminez la vitesse à laquelle la distance entre les bus change lorsqu'ils se trouvent$13$ à des kilomètres l'un de l'autre (à vol d'oiseau), en se dirigeant l'un vers l'autre.

Réponse: La distance entre eux diminue à un rythme de$\frac{1320}{13}≈101.5$ mph.

10) Une personne$6$ d'un mètre de haut s'éloigne$10$ d'un lampadaire à une vitesse constante de pieds$3$ par seconde. À quelle vitesse la pointe de l'ombre s'éloigne-t-elle du pôle lorsque la personne se trouve$10$ à quelques mètres du pôle ?

$Un lampadaire de 10 pieds de haut est montré. À sa droite, il y a une personne qui mesure 6 pieds. Une ligne part du haut du lampadaire et touche le haut de la tête de la personne, puis continue jusqu'au sol. La longueur entre la fin de cette ligne et l'endroit où le lampadaire touche le sol est de 10 + x. La distance entre le lampadaire et la personne au sol est de 10, et la distance entre la personne et le bout de la ligne est x.$

11) En utilisant le problème précédent, à quelle vitesse la pointe de l'ombre s'éloigne-t-elle de la personne lorsque celle-ci se trouve à$10$ quelques pas du pôle ?

Réponse: $\frac{9}{2}$pieds/seconde

12) Une personne$5$ d'un mètre de haut marche vers un mur à une vitesse de pieds$2$ par seconde. Un projecteur est situé au sol, à$40$ quelques pas du mur. À quelle vitesse la hauteur de l'ombre de la personne sur le mur change-t-elle lorsque la personne se trouve$10$ à quelques pas du mur ?

13) En utilisant le problème précédent, à quelle vitesse l'ombre change-t-elle lorsque la personne se trouve à$10$ pieds du mur, si elle s'éloigne du mur à une vitesse de pieds$2$ par seconde ?

Réponse: Il croît à un rythme de$\frac{4}{9}$ pieds par seconde

14) Un hélicoptère partant du sol s'élève directement dans les airs à une vitesse de$25$ pieds par seconde. Vous courez au sol en commençant directement sous l'hélicoptère à une vitesse de$10$ pieds par seconde. Déterminez le taux de variation de la distance entre l'hélicoptère et vous-même après une$5$ seconde.

15) En utilisant le problème précédent, en supposant que l'hélicoptère remonte à nouveau à une vitesse de pieds par$25$ seconde et que vous courez au sol en commençant directement sous l'hélicoptère à une vitesse de$10$ pieds par seconde, quelle est la vitesse à laquelle la distance entre vous et l'hélicoptère change lorsque l'hélicoptère change s'est élevé à une hauteur de$60$ pieds dans les airs, en supposant qu'au départ, il se trouvait à un$30$ pied au-dessus de vous ?

Réponse: La distance augmente à$\frac{135\sqrt{26}}{26}$ pieds par seconde

Dans les exercices 16 à 24, dessinez et étiquetez des diagrammes pour aider à résoudre les problèmes de taux connexes.

16) Le côté d'un cube augmente à une vitesse de$\frac{1}{2}$ m/sec. Détermine la vitesse à laquelle le volume du cube augmente lorsque le côté du cube est$4$ m.

17) Le volume d'un cube diminue à un taux de$10 \text{ m}^3$ /sec. Détermine la vitesse à laquelle le côté du cube change lorsque le côté du cube est$2$ m.

Réponse: $−\frac{5}{6}$m/sec

18) Le rayon d'un cercle augmente à une vitesse de$2$ m/sec. Détermine la vitesse à laquelle l'aire du cercle augmente lorsque le rayon est$5$ m.

19) Le rayon d'une sphère diminue à une vitesse de$3$ m/sec. Détermine la vitesse à laquelle la surface diminue lorsque le rayon est$10$ m.

Réponse: $240π \,\text{m}^2\text{/sec}$

20) Le rayon d'une sphère augmente à une vitesse de$1$ m/sec. Détermine la vitesse à laquelle le volume augmente lorsque le rayon est$20$ m.

21) Le rayon d'une sphère augmente à une vitesse de$9$ cm/sec. Déterminez le rayon de la sphère lorsque le volume et le rayon de la sphère augmentent au même rythme numérique.

Réponse: $\frac{1}{2\sqrt{π}}$cm

22) La base d'un triangle se rétrécit à une vitesse de$1$ cm/min et la hauteur du triangle augmente à une vitesse de$5$ cm/min. Déterminez la vitesse à laquelle l'aire du triangle change lorsque la hauteur est en$22$ cm et la base en$10$ cm.

23) Un triangle possède deux côtés constants de longueur$3$ ft et$5$ ft. L'angle entre ces deux côtés augmente à une vitesse de$0.1$ rad/sec. Détermine la vitesse à laquelle l'aire du triangle change lorsque l'angle entre les deux côtés est$π/6.$

Réponse: La superficie augmente à un rythme soutenu$\frac{3\sqrt{3}}{8}\,\text{ft}^2\text{/sec}$.

24) Un triangle a une hauteur qui augmente à un rythme de$2$ cm/sec et sa surface augmente à un rythme de$4 \,\text{cm}^2\text{/sec}$. Déterminez la vitesse à laquelle la base du triangle change lorsque la hauteur du triangle est de$4$ cm et que la surface est de$20 \,\text{cm}^2$.

Dans les exercices 25 à 27, considérez un cône droit inversé qui fuit de l'eau. (Inversé signifie que la pointe du cône est orientée vers le bas, comme un entonnoir.) Les dimensions du réservoir conique sont une hauteur de 16 pieds et un rayon de 5 pieds.

25) À quelle vitesse la profondeur de l'eau change-t-elle lorsque l'eau atteint une hauteur de$10$ pieds si le cône fuit de l'eau à un débit de$10 \,\text{ft}^3\text{/min}$ ?

Réponse: La profondeur de l'eau diminue à$\frac{128}{125π}$ pi/min.

26) Déterminez la vitesse à laquelle la surface de l'eau change lorsque l'eau atteint une hauteur de$10$ pieds si le cône fuit de l'eau à un taux de$10 \,\text{ft}^3\text{/min}$.

27) Si le niveau de l'eau diminue à une vitesse de$3$ in/min lorsque la profondeur de l'eau est de$8$ pieds, déterminez la vitesse à laquelle l'eau s'échappe du cône.

Réponse: Le volume diminue à un rythme de$\frac{25π}{16}\,\text{ft}^3\text{/min}$.

28) Un cylindre vertical fuit de l'eau à un débit de$1 \,\text{ft}^3\text{/sec}$. Si le cylindre a une hauteur de$10$ pieds et un rayon de$1$ pieds, à quelle vitesse la hauteur de l'eau change-t-elle lorsque la hauteur est de$6$ pieds ?

29) Une bouteille fuit de l'eau, mais vous ne pouvez pas déterminer à quel taux. Le cylindre a une hauteur de$2$ m et un rayon de$2$ m. Déterminez la vitesse à laquelle l'eau s'écoule hors du cylindre si la vitesse à laquelle la hauteur diminue est en$10$ cm/min lorsque la hauteur est$1$ m.

Réponse: L'eau s'écoule à un rythme soutenu$\frac{2π}{5}\,\text{m}^3\text{/min}$.

30) Un creux a des extrémités en forme de triangles isocèles, de largeur$3$ m et de hauteur$4$ m, et le creux mesure$10$ m de long. L'eau est pompée dans le bac à un débit de$5\,\text{m}^3\text{/min}$. À quelle vitesse la hauteur de l'eau change-t-elle lorsque l'eau atteint une profondeur de$1$ m ?

$Un creux est représenté avec des extrémités en forme de triangles isocèles. Ces triangles ont une largeur 3 et une hauteur de 4. La cuvette est constituée de rectangles de longueur 10. Il y a de l'eau dans l'abreuvoir.$

31) Un réservoir a la forme d'une pyramide carrée renversée, avec une base de$4$ m par$4$ m et une hauteur de$12$ m (voir la figure suivante). À quelle vitesse la hauteur augmente-t-elle lorsque l'eau atteint une profondeur de$2$ m si l'eau est pompée à un débit de$\frac{2}{3} \text{ m}^3$ /sec ?

$Une pyramide carrée renversée est représentée avec des côtés carrés de 4 longueurs et une hauteur de 12. Il y a une quantité d'eau non spécifiée à l'intérieur de la forme.$

Réponse: $\frac{3}{2}$m/sec

Pour les exercices 32 à 34, considérez une piscine ayant la forme de la moitié inférieure d'une sphère, qui se remplit à une vitesse de$25 \,\text{ft}^3$ /min. Le rayon de la piscine est de$10$ pieds.

32) Déterminez la vitesse à laquelle la profondeur de l'eau change lorsque l'eau a une profondeur de$5$ pieds.

33) Déterminez la vitesse à laquelle la profondeur de l'eau change lorsque l'eau a une profondeur de$1$ pieds.

Réponse: $\frac{25}{19π}$pieds/min

34) Si la hauteur augmente à un rythme de$1$ pouces/seconde lorsque la profondeur de l'eau est de$2$ pieds, déterminez le débit auquel l'eau est pompée.

35) Du gravier est déchargé d'un camion et tombe dans un tas en forme de cône à une vitesse de$10 \,\text{ft}^3/\text{min}$. Le rayon de la base du cône est trois fois la hauteur du cône. Déterminez la vitesse à laquelle la hauteur du gravier change lorsque le tas a une hauteur de$5$ pieds.

Réponse: $\frac{2}{45π}$pieds/min

36) En utilisant une configuration similaire à celle du problème précédent, déterminez la vitesse à laquelle le gravier est déchargé si le tas$5$ mesure un pied de haut et que la hauteur augmente à un rythme de$4$ in/min.

Dans les exercices 37 à 41, dessinez les situations et résolvez les problèmes de taux connexes.

37) Vous êtes immobile au sol et vous observez un oiseau voler horizontalement à une vitesse de$10$ m/sec. L'oiseau est situé à$40$ m au-dessus de votre tête. À quelle vitesse l'angle d'élévation change-t-il lorsque la distance horizontale entre vous et l'oiseau est de$9$ m ?

Réponse: L'angle diminue à$\frac{400}{1681}$ rad/sec.

38) Vous vous tenez à quelques mètres d'une fusée bouteille au sol et vous la regardez décoller verticalement dans les airs à une vitesse de$40$ pieds$20$ par seconde. Déterminez la vitesse à laquelle l'angle d'élévation change lorsque la fusée est à$30$ pieds dans les airs.

39) Un phare se$4$ trouve sur une île à quelques kilomètres du point le plus proche$P$, sur la plage (voir l'image suivante).$L$ Si le phare tourne dans le sens des aiguilles d'une montre à une vitesse constante de$10$ tours/min, à quelle vitesse le faisceau lumineux se déplace-t-il sur la plage$2$ à un kilomètre du point le plus proche de la plage ?

$Un triangle droit est formé par un phare L, un point P sur le rivage perpendiculaire à la ligne allant du phare à la rive, et un point situé à 2 milles à droite du point P. La distance entre P et L est de 4 miles.$

Réponse: $100π$mi/min

40) En utilisant la même configuration que pour le problème précédent, déterminez à quelle vitesse le faisceau de lumière se déplace sur la plage$1$ à un kilomètre du point le plus proche de la plage.

41) Vous marchez jusqu'à un arrêt de bus situé à angle droit. Vous vous déplacez vers le nord à une vitesse de$2$ m/sec et vous vous trouvez à$20$ m au sud de l'intersection. Le bus se déplace vers l'ouest à une vitesse de$10$ m/sec loin de l'intersection : vous avez raté le bus ! À quelle vitesse l'angle entre vous et le bus change-t-il lorsque vous êtes à$20$ m au sud de l'intersection et que le bus se trouve à$10$ m à l'ouest de l'intersection ?

Réponse: L'angle change à une vitesse de$\frac{11}{25}$ rad/sec.

Dans les exercices 42 à 45, reportez-vous à la figure d'un terrain de baseball, dont les côtés mesurent 90 pieds.

$Un terrain de baseball est illustré, avec les bases étiquetées Home, 1st, 2nd et 3rd formant un carré avec des côtés de 90 pieds de long.$

42) [T] Un frappeur frappe une balle vers le troisième but à$75$ pieds par seconde et court vers le premier but à une vitesse de$24$ pieds par seconde. À quelle vitesse la distance entre le ballon et le frappeur change-t-elle lorsque les$2$ secondes se sont écoulées ?

43) [T] Un frappeur frappe une balle vers le deuxième but à$80$ pieds par seconde et court vers le premier but à une vitesse de$30$ pieds par seconde. À quel rythme la distance entre le ballon et le frappeur change-t-elle lorsque le joueur a parcouru un tiers de la distance jusqu'au premier but ? (Conseil : rappelez la loi des cosinus.)

Réponse: La distance augmente à un rythme de$62.50$ pieds par seconde.

44) [T] Un frappeur frappe la balle et court vers le premier but à une vitesse de$22$ pieds/seconde. À quelle vitesse la distance entre le coureur et la deuxième base change-t-elle lorsque le coureur a couru$30$ pieds ?

45) [T] Les coureurs commencent au premier et au deuxième but. Lorsque la balle de baseball est touchée, le coureur au premier but court à une vitesse de$18$ pieds/sec vers le deuxième but et le coureur au deuxième but court à une vitesse de$20$ pieds/sec vers le troisième but. À quelle vitesse la distance entre les coureurs change-t-elle 1 seconde après que la balle a été touchée ?

Réponse: La distance diminue à un rythme de$11.99$ pieds par seconde.