4.2E : Exercices pour la section 4.2

Last updated
Save as PDF

Page ID: 197660

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

1) Quelle est l'approximation linéaire d'une fonction linéaire générique\(y=mx+b\) ?

2) Déterminez les conditions nécessaires pour que la fonction d'approximation linéaire soit constante. Utilisez un graphique pour prouver votre résultat.

Réponse: \(f'(a) = 0\)

3) Expliquez pourquoi l'approximation linéaire devient moins précise à mesure que vous augmentez la distance entre\(x\) et\(a\). Utilisez un graphique pour prouver votre argument.

4) Quand l'approximation linéaire est-elle exacte ?

Réponse: L'approximation linéaire exacte quand\(y=f(x)\) est linéaire ou constante.

Dans les exercices 5 à 10, trouvez l'approximation linéaire la plus\(L(x)\) \(y=f(x)\)proche\(x=a\) de la fonction.

5) [T]\(f(x)=x+x^4, \quad a=0\)

6) [T]\(f(x)=\dfrac{1}{x}, \quad a=2\)

Réponse: \(L(x)=\frac{1}{2}−\frac{1}{4}(x−2)\)

7) [T]\(f(x)=\tan x, \quad a=\frac{π}{4}\)

8) [T]\(f(x)=\sin x, \quad a=\frac{π}{2}\)

Réponse: \(L(x)=1\)

9) [T]\(f(x)=x\sin x,\quad a=2π\)

10) [T]\(f(x)=\sin^2x,\quad a=0\)

Réponse: \(L(x)=0\)

Dans les exercices 11 à 16, calculez les valeurs données à l'intérieur\(0.01\) en choisissant celle qui convient\(f(x)\) et\(a\) en évaluant\(L(x)=f(a)+f′(a)(x−a).\) Vérifiez votre réponse à l'aide d'une calculatrice.

11) [T]\((2.001)^6\)

12) [T]\(\sin(0.02)\)

Réponse: \(\sin(0.02)\approx 0.02\)

13) [T]\(\cos(0.03)\)

14) [T]\((15.99)^{1/4}\)

Réponse: \((15.99)^{1/4}\approx 1.9996875\)

15) [T]\(\dfrac{1}{0.98}\)

16) [T]\(\sin(3.14)\)

Réponse: \(\sin(3.14)\approx 0.001593\)

Dans les exercices 17 à 22, déterminez la valeur appropriée\(f(x)\) et\(a\), puis évaluez\(L(x)=f(a)+f′(a)(x−a).\) Calculer l'erreur numérique dans les approximations linéaires qui suivent.

17)\((1.01)^3\)

18)\(\cos(0.01)\)

Réponse: \(\cos(0.01) \approx L(0.01) = f(0) + f'(0)(0-0.01) = 1;\)erreur,\(~0.00005\)

19)\((\sin(0.01))^2\)

(20)\((1.01)^{−3}\)

Réponse: \((1.01)^{−3}\approx L(1.01) = f(1) + f'(1)(1.01 - 1) = 0.97;\)erreur,\(~0.0006\)

(21)\(\left(1+\frac{1}{10}\right)^{10}\)

(22)\(\sqrt{8.99}\)

Réponse: \(\sqrt{8.99} \approx L(8.99) = f(9) + f'(9)(8.99 - 9)= 3−\frac{1}{600};\)erreur,\(~4.632×10^{−7}\)

Dans les exercices 23 à 26, trouvez le différentiel de la fonction.

23)\(y=3x^4+x^2−2x+1\)

(24)\(y=x\cos x\)

Réponse: \(dy=(\cos x−x\sin x)\,dx\)

25)\(y=\sqrt{1+x}\)

(26)\(y=\dfrac{x^2+2}{x−1}\)

Réponse: \(dy=(\dfrac{x^2−2x−2}{(x−1)^2})dx\)

Dans les exercices 27 à 32, trouvez le différentiel et évaluez pour le\(x\) et\(dx\).

(27)\(y=3x^2−x+6, \;x=2, \;dx=0.1\)

(28)\(y=\dfrac{1}{x+1}, \;x=1, \;dx=0.25\)

Réponse: \(dy=−\dfrac{1}{(x+1)^2}dx, \quad dy =−\frac{1}{16}\)

(29)\(y=\tan x, \;x=0, \;dx=\frac{π}{10}\)

(30)\(y=\dfrac{3x^2+2}{\sqrt{x+1}}, \;x=0, \;dx=0.1\)

Réponse: \(dy=\dfrac{9x^2+12x−2}{2(x+1)^{3/2}}dx,\quad dy = −0.1\)

31)\(y=\dfrac{\sin(2x)}{x}, \;x=π, \;dx=0.25\)

32)\(y=x^3+2x+\dfrac{1}{x}, \;x=1, \;dx=0.05\)

Réponse: \(dy=\left(3x^2+2−\dfrac{1}{x^2}\right)dx, \quad dy = 0.2\)

Dans les exercices 33 à 38, trouvez le changement de volume\(dV\) ou de surface\(dA.\)

33)\(dV\) si les côtés d'un cube passent de 10 à 10.1.

34)\(dA\) si les côtés d'un cube passent de\(x\) à\(x+dx\).

Réponse: \(dA = 12x\,dx\)

35)\(dA\) si le rayon d'une sphère change\(r\) de\(dr.\)

36)\(dV\) si le rayon d'une sphère change\(r\) de\(dr\).

Réponse: \(dV=4πr^2dr\)

37)\(dV\) si un cylindre circulaire\(r=2\) change de hauteur de\(3\) cm à\(3.05cm.\)

38)\(dV\) si un cylindre circulaire de hauteur 3 passe de\(r=2\) à\(r=1.9\) cm.

Réponse: \(dV = −1.2π\,\text{cm}^3\)

Dans les exercices 39 à 41, utilisez des différentiels pour estimer l'erreur maximale et relative lors du calcul de la surface ou du volume.

39) Une balle de golf sphérique est mesurée pour avoir un rayon de\(5\) mm, avec une erreur de mesure possible de\(0.1\) mm. Quel est le changement de volume possible ?

40) Une piscine a une base rectangulaire de 10 pieds sur 20 pieds et une profondeur de 6 pieds. Quel est le changement de volume si vous ne le remplissez que jusqu'à 5,5 pieds ?

Réponse: \(−100 \,\text{ft}^3\)

41) Un cornet de crème glacée a une hauteur de 4 pouces et un rayon de 1 pouce. Si le cône a une épaisseur de 0,1 pouce, quelle est la différence entre le volume du cône, coque comprise, et le volume de crème glacée que vous pouvez mettre à l'intérieur de la coque ?

Dans les exercices 42 à 44, confirmez les approximations en utilisant l'approximation linéaire à\(x=0.\)

(42)\(\sqrt{1−x}≈1−\frac{1}{2}x\)

43)\(\dfrac{1}{\sqrt{1−x^2}}≈1\)

44)\(\sqrt{c^2+x^2}≈c\)