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4.3 : Maxima et minima

  • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
  • OpenStax

Objectifs d'apprentissage
  • Définissez les extrêmes absolus.
  • Définissez les extrêmes locaux.
  • Expliquez comment déterminer les points critiques d'une fonction sur un intervalle fermé.
  • Décrire comment utiliser les points critiques pour localiser les extrêmes absolus sur un intervalle fermé.

Étant donné une fonction particulière, nous cherchons souvent à déterminer les valeurs les plus grandes et les plus petites de la fonction. Ces informations sont importantes pour créer des graphiques précis. Trouver les valeurs maximale et minimale d'une fonction a également une importance pratique, car nous pouvons utiliser cette méthode pour résoudre des problèmes d'optimisation, tels que la maximisation des profits, la minimisation de la quantité de matériau utilisée dans la fabrication d'une boîte en aluminium ou la détermination de la hauteur maximale qu'une fusée peut atteindre. Dans cette section, nous allons voir comment utiliser les dérivées pour déterminer les valeurs les plus grandes et les plus petites d'une fonction.

Extrema absolu

Considérez la fonctionf(x)=x2+1 sur l'intervalle(,). Commex±,f(x). Par conséquent, la fonction n'a pas de plus grande valeur. Cependant, puisquex2+11 pour tous les nombres réelsx etx2+1=1 quandx=0, la fonction a la plus petite valeur1, quandx=0. Nous disons que1 c'est le minimum absoluf(x)=x2+1 et que cela se produit àx=0. Nous disons quef(x)=x2+1 cela n'a pas de maximum absolu (Figure4.3.1).

La fonction f (x) = x^2 + 1 est représentée graphiquement, et son minimum de 1 est considéré comme étant à x = 0.
Figure4.3.1 : La fonction donnée a un minimum absolu de1 atx=0. La fonction n'a pas de maximum absolu.
Définition : Absolute Extrema

fSoit une fonction définie sur un intervalleI et laissezcI. Nous disons qu'fil a un maximum absoluI sur «c iff(c)f(x) for all »xI. Nous disons qu'fil y a un minimum absoluI sur «c iff(c)f(x) for all »xI. S'ilf a un maximum absolu surI atc ou un minimum absolu surI atc, nous disons qu'fil a un extremum absolu surI atc.

Avant de poursuivre, notons deux points importants concernant cette définition. Tout d'abord, le terme absolu ici ne fait pas référence à la valeur absolue. Un extremum absolu peut être positif, négatif ou nul. Deuxièmement, si une fonctionf possède un extremum absolu sur un intervalleI atc, l'extremum absolu estf(c). Le nombre réelc est un point du domaine où se trouve l'extremum absolu. Par exemple, considérez la fonctionf(x)=1/(x2+1) sur l'intervalle(,). Depuis

f(0)=11x2+1=f(x)

pour tous les nombres réelsx, nous disons qu'fil a un maximum absolu supérieur(,) àx=0. Le maximum absolu est def(0)=1. Il se produit àx=0, comme le montre la figure4.3.2 (b).

Une fonction peut avoir à la fois un maximum absolu et un minimum absolu, un seul extremum, ou aucun des deux. La figure4.3.2 montre plusieurs fonctions et certaines des différentes possibilités concernant les extrêmes absolus. Cependant, le théorème suivant, appelé théorème des valeurs extrêmes, garantit qu'une fonction continuef sur un intervalle fermé et borné[a,b] possède à la fois un maximum absolu et un minimum absolu.

Cette figure comporte six parties a, b, c, d, e et f. Sur la figure a, la ligne f (x) = x^3 est représentée, et il est noté qu'elle n'a ni minimum ni maximum absolu. Sur la figure b, la droite f (x) = 1/ (x^2 + 1) est représentée, qui est proche de 0 sur la majeure partie de sa longueur et monte jusqu'à une bosse à (0, 1) ; elle n'a pas de minimum absolu, mais elle a un maximum absolu de 1 à x = 0. Dans la figure c, la ligne f (x) = cos x est représentée, avec des minimums absolus de −1 à ±π, ± 3π,... et des maximums absolus de 1 à 0, ±2π, ±4π,... Dans la figure d, la fonction fragmentaire f (x) = 2 — x^2 pour 0 ≤ x < 2 et x — 3 pour 2 ≤ x ≤ 4 est illustrée, avec un maximum absolu de 2 à x = 0 et aucun minimum absolu. Dans la figure e, la fonction f (x) = (x — 2) 2 est illustrée sur [1, 4], qui a un maximum absolu de 4 à x = 4 et un minimum absolu de 0 à x = 2. Dans la figure f, la fonction f (x) = x/ (2 − x) est représentée sur [0, 2), avec un minimum absolu de 0 à x = 0 et aucun maximum absolu.
Figure4.3.2 : Les graphes (a), (b) et (c) montrent plusieurs possibilités d'extrêmes absolus pour les fonctions ayant un domaine de(,). graphes (d), (e) et (f) montrent plusieurs possibilités d'extrêmes absolus pour les fonctions dont le domaine est un intervalle borné.
Théorème4.3.1: Extreme Value Theorem

S'il s'fagit d'une fonction continue sur l'intervalle fermé et borné[a,b], alors il yf a un point où le maximum absolu est dépassé[a,b] et il y a un point où il yf a un minimum absolu au-dessus[a,b].[a,b][a,b]

La preuve du théorème des valeurs extrêmes dépasse le cadre de ce texte. En général, cela est prouvé dans un cours sur l'analyse réelle. Il y a quelques points clés à noter à propos de l'énoncé de ce théorème. Pour que le théorème des valeurs extrêmes s'applique, la fonction doit être continue sur un intervalle fermé et borné. Si l'intervalleI est ouvert ou si la fonction présente ne serait-ce qu'un seul point de discontinuité, la fonction peut ne pas avoir de maximum ou de minimum absoluI. Par exemple, considérez les fonctions illustrées dans les figures4.3.2 (d), (e) et (f). Ces trois fonctions sont définies sur des intervalles bornés. Cependant, la fonction du graphe (e) est la seule qui possède à la fois un maximum absolu et un minimum absolu sur son domaine. Le théorème des valeurs extrêmes ne peut pas être appliqué aux fonctions des graphes (d) et (f) car aucune de ces fonctions n'est continue sur un intervalle fermé et borné. Bien que la fonction du graphe (d) soit définie sur l'intervalle fermé[0,4], elle est discontinue àx=2. La fonction possède un maximum absolu[0,4] mais n'a pas de minimum absolu. La fonction du graphe (f) est continue sur l'intervalle semi-ouvert[0,2), mais n'est pas définie àx=2 et n'est donc pas continue sur un intervalle fermé et borné. La fonction possède un maximum absolu[0,2), mais pas un maximum absolu[0,2). Ces deux graphiques illustrent pourquoi une fonction sur un intervalle borné peut ne pas avoir de maximum absolu et/ou de minimum absolu.

Avant de voir comment déterminer les extrêmes absolus, examinons le concept connexe d'extrema local. Cette idée est utile pour déterminer où se situent les extrêmes absolus.

Points critiques et extrêmes locaux

Considérez la fonctionf illustrée dans la figure4.3.3. Le graphique peut être décrit comme deux montagnes avec une vallée au milieu. La valeur maximale absolue de la fonction se produit au pic le plus élevé, àx=2. Cependant,x=0 c'est aussi un point d'intérêt. Bien quef(0) ce ne soit pas la plus grande valeur def, la valeurf(0) est supérieure à celle de toutesf(x) les valeursx proches de 0. Nous disons qu'fil a un maximum local àx=0. De même, la fonctionf n'a pas de minimum absolu, mais elle a un minimum localx=1 car ilf(1) est inférieur à celuif(x) d'xenviron 1.

La fonction f (x) est représentée, qui se courbe vers le haut à partir du quadrant III, ralentit dans le quadrant II, atteint un maximum local sur l'axe y, diminue pour atteindre un minimum local dans le quadrant I à x = 1, augmente jusqu'à un maximum local à x = 2 qui est supérieur à l'autre maximum local, puis diminue rapidement quadrant IV.
Figure4.3.3 : Cette fonctionf possède deux maxima locaux et un minimum local. Le maximum local àx=2 est également le maximum absolu.
Définition : Local Extrema

Une fonctionf a un maximum local àc s'il existe un intervalle ouvertI contenant unc tel intervalle quiI est contenu dans le domaine def etf(c)f(x) pour tousxI. Une fonctionf a un minimum localc s'il existe un intervalle ouvertI contenant unc tel intervalle quiI est contenu dans le domaine def etf(c)f(x) pour tousxI. Une fonctionf a un extremum local àc sif elle a un maximum local àc ouf un minimum local àc.

Notez que s'ilf a un extremum absolu àc et qu'fil est défini sur un intervalle contenantc, ilf(c) est également considéré comme un extremum local. Si un extremum absolu pour une fonctionf se produit à un point final, nous ne le considérons pas comme un extremum local, mais nous l'appelons un extremum de point final.

À partir du graphe d'une fonctionf, il est parfois facile de voir où se situe un maximum ou un minimum local. Cependant, cela n'est pas toujours facile à voir, car les caractéristiques intéressantes du graphique d'une fonction peuvent ne pas être visibles car elles apparaissent à très petite échelle. De plus, il se peut que nous n'ayons pas de graphique de la fonction. Dans ces cas, comment pouvons-nous utiliser une formule pour une fonction afin de déterminer où se produisent ces extrêmes ?

Pour répondre à cette question, examinons à4.3.3 nouveau la figure. Les extrêmes locaux se produisent àx=0,x=1, etx=2. remarquez qu'àx=0 etx=1, la dérivéef(x)=0. Àx=2, la dérivéef(x) n'existe pas, car la fonction yf a un angle. En fait, sif elle possède un extremum local en un pointx=c, la dérivéef(c) doit satisfaire à l'une des conditions suivantes :f(c)=0 soit elle n'f(c)est pas définie. Une telle valeurc est connue comme un point critique et elle est importante pour trouver des valeurs extrêmes pour les fonctions.

Définition : points critiques

cSoyons un point intérieur dans le domaine def. Nous disons quec c'est un point critique pour savoirf sif(c)=0 ou n'f(c)est pas défini.

Comme mentionné précédemment, s'il yf a un extremum local en un pointx=c, alorsc il doit s'agir d'un point critique def. Ce fait est connu sous le nom de théorème de Fermat.

Théorème4.3.2: Fermat’s Theorem

S'ilf a un extremum local àc etf est différenciable àc, alorsf(c)=0.

Une preuve

Supposons qu'fil possède un extremum local àc etf qu'il est différenciable àc. Nous devons le montrerf(c)=0. Pour ce faire, nous allons montrer quef(c)0 etf(c)0 doncf(c)=0. Puisquef a un extremum local àc,f a un maximum local ou un minimum local àc. Supposonsf que le maximum local soit égal àc. Le cas dans lequelf a un minimum local àc peut être traité de la même manière. Il existe alors un intervalle ouvert I tel quef(c)f(x) pour tousxI. Commef il est différenciable àc partir de la définition de la dérivée, nous savons que

f(c)=limxcf(x)f(c)xc.

Puisque cette limite existe, les deux limites unilatérales existent également et sont égalesf(c). Par conséquent,

f(c)=limxc+f(x)f(c)xc,

et

f(c)=limxcf(x)f(c)xc.

Commef(c) c'est un maximum local, on le voitf(x)f(c)0 dex prèsc. Donc, pourx presquec, maisx>c, nous l'avons faitf(x)f(c)xc0. À partir de l'équation \ ref {FerMateQn2}, nous concluons quef(c)0. De même, il peut être démontré que,f(c)0. par conséquent,f(c)=0.

À partir du théorème de Fermat, nous concluons que s'ilf a un extremum local àc, alors l'unf(c)=0 ou l'autre n'f(c)est pas défini. En d'autres termes, les extrêmes locaux ne peuvent se produire qu'aux points critiques.

Notez que ce théorème ne prétend pas qu'une fonctionf doit avoir un extremum local à un point critique. Il indique plutôt que les points critiques peuvent être considérés comme des extrêmes locaux. Par exemple, considérez la fonctionf(x)=x3. Nous avonsf(x)=3x2=0 quandx=0. C'x=0est donc un point critique. Cependant,f(x)=x3 il augmente(,) et n'fa donc pas d'extremum local àx=0. Dans la figure4.3.4, nous voyons plusieurs possibilités différentes pour les points critiques. Dans certains de ces cas, les fonctions présentent des extrêmes locaux aux points critiques, alors que dans d'autres cas, elles n'en ont pas. Notez que ces graphiques ne montrent pas toutes les possibilités de comportement d'une fonction à un point critique.

Cette figure comporte cinq parties a, b, c, d et e. Sur la figure a, une parabole est représentée face vers le bas dans le quadrant I ; il y a une tangente horizontale au maximum local marqué f' (c) = 0. Dans la figure b, il y a une fonction dessinée avec une asymptote en c, ce qui signifie que la fonction augmente vers l'infini des deux côtés de c ; il est noté que f' (c) n'est pas défini. La figure c montre une version du graphique des valeurs absolues qui a été décalée de telle sorte que son minimum se trouve dans le quadrant I avec x = c. Il est noté que f' (c) n'est pas défini. La figure d montre une version de la fonction f (x) = x^3 qui a été déplacée de telle sorte que son point d'inflexion se trouve dans le quadrant I avec x = c. Son point d'inflexion à (c, f (c)) est traversé par une ligne horizontale, et il est noté que f' (c) = 0. La figure e montre une version de la fonction f (x) = x1/3 qui a été déplacée de telle sorte que son point d'inflexion se trouve dans le quadrant I avec x = c. Son point d'inflexion à (c, f (c)) est traversé par une ligne verticale, et il est noté que f' (c) n'est pas défini.
Figure4.3.4 : (a—e) Une fonctionf a un point critique si elle n'est pas définief(c)=0 ouc si elle n'f(c)est pas définie. Une fonction peut avoir ou non un extremum local à un point critique.

Plus loin dans ce chapitre, nous examinerons les méthodes analytiques permettant de déterminer si une fonction possède réellement un extremum local à un point critique. Pour l'instant, concentrons-nous sur la recherche de points critiques. Nous utiliserons des observations graphiques pour déterminer si un point critique est associé à un extremum local.

Exemple4.3.1: Locating Critical Points

Pour chacune des fonctions suivantes, trouvez tous les points critiques. Utilisez un utilitaire de création graphique pour déterminer si la fonction possède un extremum local à chacun des points critiques.

  1. f(x)=13x352x2+4x
  2. f(x)=(x21)3
  3. f(x)=4x1+x2

Solution

a. La dérivéef(x)=x25x+4 est définie pour tous les nombres réelsx. Par conséquent, il suffit de trouver les valeurs pourxf(x)=0. Puisquef(x)=x25x+4=(x4)(x1), les points critiques sontx=1 etx=4. À partir du graphique def la figure4.3.5, nous voyons qu'il yf a un maximum local àx=1 et un minimum local àx=4.

La fonction f (x) = (1/3) x^3 — (5/2) x^2 + 4x est représentée graphiquement. La fonction a un maximum local à x = 1 et un minimum local à x = 4.
Figure4.3.5 : Cette fonction possède un maximum local et un minimum local.

b. En utilisant la règle de la chaîne, nous voyons que la dérivée est

f(x)=3(x21)2(2x)=6x(x21)2.

Par conséquent,f a des points critiques quandx=0 et quandx21=0. Nous concluons que les points critiques sontx=0,±1. Sur le graphique def la Figure4.3.6, nous voyons qu'ilf a un minimum local (et absolu) àx=0, mais qu'il n'a pas d'extremum local àx=1 oux=1.

La fonction f (x) = (x^2 − 1) 3 est représentée graphiquement. La fonction a un minimum local à x = 0 et des points d'inflexion à x = ±1.
Figure4.3.6 : Cette fonction comporte trois points critiques :x=0,x=1, etx=1. La fonction a un minimum local (et absolu) àx=0, mais n'a pas d'extrema aux deux autres points critiques.

c. Selon la règle du quotient, nous voyons que la dérivée est

f(x)=4(1+x2)4x(2x)(1+x2)2=44x2(1+x2)2.

La dérivée est définie partout. Par conséquent, il suffit de trouver des valeurs pourxf(x)=0. Résoudref(x)=0, nous voyons ce44x2=0, que cela impliquex=±1. Par conséquent, les points critiques sontx=±1. Sur le graphique def la figure4.3.7, nous voyons que f a un maximum absolu àx=1 et un minimum absolu à.x=1. Par conséquent,f a un maximum local àx=1 et un minimum local àx=1. (Notez que s'ilf possède un extremum absolu sur un intervalleI à un pointc qui n'est pas un point final deI, alorsf a un extremum local àc.)

La fonction f (x) = 4x/ (1 + x^2) est représentée graphiquement. La fonction a un maximum local/absolu à x = 1 et un minimum local/absolu à x = −1.
Figure4.3.7 : Cette fonction possède un maximum absolu et un minimum absolu.
Exercice4.3.1

Trouvez tous les points critiques pourf(x)=x312x22x+1.

Allusion

Calculerf(x).

Réponse

x=23,x=1

Trouver Absolute Extrema

Le théorème des valeurs extrêmes indique qu'une fonction continue sur un intervalle fermé et borné a un maximum absolu et un minimum absolu. Comme le montre la figure4.3.2, l'un de ces extrêmes absolus ou les deux peuvent se produire à un point final. Toutefois, si aucun extremum absolu ne se produit à une extrémité, il doit apparaître à un point intérieur, auquel cas l'extremum absolu est un extremum local. Par conséquent, selon le théorème de Fermat, le pointc où se produit l'extremum local doit être un point critique. Nous résumons ce résultat dans le théorème suivant.

Théorème4.3.3: Location of Absolute Extrema

fSoit une fonction continue sur un intervalle fermé et limitéI. Le maximum absolu def dépassementI et le minimum absolu def dépassementI doivent se produire aux extrémitésI ou aux points critiques def l'entréeI.

Avec cette idée en tête, examinons une procédure permettant de localiser les extrêmes absolus.

Stratégie de résolution de problèmes : localiser les extrêmes absolus sur un intervalle fermé

Considérez une fonction continuef définie sur l'intervalle fermé[a,b].

  1. Évaluezf aux points de terminaisonx=a etx=b.
  2. Trouvez tous les points critiques def cet intervalle(a,b) et évaluez-les enf fonction de ces points critiques.
  3. Comparez toutes les valeurs trouvées dans (1) et (2). À partir de « Localisation des extrêmes absolus », les extrêmes absolus doivent se produire aux extrémités ou aux points critiques. Par conséquent, la plus grande de ces valeurs est le maximum absolu def. La plus petite de ces valeurs est le minimum absolu def.

Voyons maintenant comment utiliser cette stratégie pour déterminer les valeurs maximales et minimales absolues pour les fonctions continues.

Exemple4.3.2: Locating Absolute Extrema

Pour chacune des fonctions suivantes, déterminez le maximum absolu et le minimum absolu sur l'intervalle spécifié et indiquez où ces valeurs se situent.

  1. f(x)=x2+3x2terminé[1,3].
  2. f(x)=x23x2/3terminé[0,2].

Solution

a. Étape 1. Évaluezf aux points de terminaisonx=1 etx=3.

f(1)=0etf(3)=2

Étape 2. Puisquef(x)=2x+3,f est défini pour tous les nombres réels Il n'y ax. donc aucun point critique où la dérivée n'est pas définie. Reste à savoir oùf(x)=0. Puisquef(x)=2x+3=0 atx=32 et32 est dans l'intervalle[1,3],f(32) est candidat à un extremum absolu def plus[1,3]. Nous évaluonsf(32) et trouvons

f(32)=14.

Étape 3. Nous avons créé le tableau suivant pour comparer les valeurs trouvées aux étapes 1 et 2.

x f(x) Conclusion
1 0  
32 14 Maximum absolu
3 2 Minimum absolu

À partir du tableau, nous trouvons que le maximum absolu def sur l'intervalle [1, 3] est14 et qu'il se produit àx=32. Le minimum absolu de l'fintervalle[1,3] est2, et il se produitx=3 comme indiqué sur la figure4.3.8.

La fonction f (x) = — x^2 + 3x — 2 est représentée graphiquement de (1, 0) à (3, −2), son maximum étant marqué à (3/2, 1/4).
Figure4.3.8 : Cette fonction possède à la fois un maximum absolu et un minimum absolu.

b. Étape 1. Évaluezf aux points de terminaisonx=0 etx=2.

f(0)=0etf(2)=43(2)2/30.762

Étape 2. La dérivée def est donnée par

f(x)=2x2x1/3=2x4/32x1/3

pourx0. La dérivée est nulle quand2x4/32=0, ce qui impliquex=±1. La dérivée n'est pas définie àx=0. Par conséquent, les points critiques def sontx=0,1,1. Le pointx=0 étant un point final, nous l'avons déjà évaluéf(0) à l'étape 1. Le point n'x=1est pas dans l'intervalle d'intérêt, il suffit donc d'évaluerf(1). Nous constatons que

f(1)=2.

Étape 3. Nous comparons les valeurs trouvées aux étapes 1 et 2, dans le tableau suivant.

x f(x) Conclusion
0 0 Maximum absolu
1 2 Minimum absolu
2 0.762  

Nous concluons que le maximum absolu de l'fintervalle[0,2] est nul et qu'il se produit àx=0. Le minimum absolu est2, et il se produitx=1 comme indiqué sur la figure4.3.9.

La fonction f (x) = x^2 — 3x^ (2/3) est représentée graphiquement de (0, 0) à (2, −0,762), son minimum étant marqué à (1, −2).
Figure4.3.9 : Cette fonction possède un maximum absolu à une extrémité de l'intervalle.
Exercice4.3.2

Détermine le maximum absolu et le minimum absolu de l'f(x)=x24x+3intervalle[1,4].

Allusion

Recherchez les points critiques. Évaluezf à tous les points critiques et aux points de terminaison.

Réponse

Le maximum absolu est3 et se produit àx=4. Le minimum absolu est1 et se produit àx=2.

À ce stade, nous savons comment localiser les extrêmes absolus pour des fonctions continues sur des intervalles fermés. Nous avons également défini des extrêmes locaux et déterminé que si une fonctionf possède un extremum local en un pointc, ilc doit s'agir d'un point critique def. Cependant, lec fait d'être un point critique n'est pas une condition suffisantef pour avoir un extremum local àc. Plus loin dans ce chapitre, nous montrons comment déterminer si une fonction possède réellement un extremum local à un point critique. Cependant, nous devons d'abord introduire le théorème de la valeur moyenne, qui nous aidera à analyser le comportement du graphe d'une fonction.

Concepts clés

  • Une fonction peut avoir à la fois un maximum absolu et un minimum absolu, n'avoir qu'un seul extremum absolu ou ne pas avoir de maximum absolu ou de minimum absolu.
  • Si une fonction possède un extremum local, le point auquel il se produit doit être un point critique. Cependant, une fonction n'a pas besoin d'avoir un extremum local à un point critique.
  • Une fonction continue sur un intervalle fermé et borné possède un maximum absolu et un minimum absolu. Chaque extremum se produit à un point critique ou à un point final.

Lexique

extreum absolu
s'ilf a un maximum absolu ou un minimum absolu àc, nous disons qu'fil a un extremum absolu àc
maximum absolu
sif(c)f(x) pour tous,x dans le domaine def, disons,f a un maximum absolu àc
minimum absolu
sif(c)f(x) pour tousx dans le domaine def, disons,f a un minimum absolu àc
point critique
sif(c)=0 ou n'f(c)est pas défini, nous disons que c est un point critique def
théorème des valeurs extrêmes
sif est une fonction continue sur un intervalle fini et fermé, alorsf a un maximum absolu et un minimum absolu
Théorème de Fermat
s'ilf a un extremum local àc, alorsc est un point critique def
extremum local
s'ilf a un maximum local ou un minimum local àc, nous disons qu'fil a un extremum local àc
maximum local
s'il existe un intervalleI tel quef(c)f(x) pour tousxI, on dit qu'fil a un maximum local àc
minimum local
s'il existe un intervalleI tel que,f(c)f(x) pour tousxI, on dit qu'fil a un minimum local àc