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4.10 : Antidérivés

  • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
  • OpenStax

Objectifs d'apprentissage
  • Détermine l'antidérivée générale d'une fonction donnée.
  • Expliquez les termes et la notation utilisés pour une intégrale indéfinie.
  • Définissez la règle de puissance pour les intégrales.
  • Utilisez l'antidifférenciation pour résoudre des problèmes de valeur initiale simples.

À ce stade, nous avons vu comment calculer les dérivées de nombreuses fonctions et avons découvert diverses de leurs applications. Nous posons maintenant une question qui permet de renverser ce processus : étant donné une fonctionf, comment trouver une fonction avec la dérivéef et pourquoi nous intéresserions-nous à une telle fonction ?

Nous répondons à la première partie de cette question en définissant les antidérivés. L'antidérivée d'une fonctionf est une fonction avec une dérivéef. Pourquoi nous intéressons-nous aux antidérivés ? Le besoin d'antidérivés se fait sentir dans de nombreuses situations, et nous examinerons divers exemples dans le reste du texte. Nous examinons ici un exemple spécifique impliquant un mouvement rectiligne. Dans notre examen dans Dérivées du mouvement rectiligne, nous avons montré que, étant donnés(t) la fonction de position d'un objet, sa fonction de vitessev(t) est la dérivée des(t) — c'est-à-dire,v(t)=s(t). De plus, l'accélérationa(t) est la dérivée de la vitesse,v(t) c'est-à-direa(t)=v(t)=s(t). Supposons maintenant qu'on nous donne une fonction d'accélérationa, mais pas la fonction de vitessev ou la fonction de positions. Puisquea(t)=v(t), pour déterminer la fonction de vitesse, nous devons trouver une antidérivée de la fonction d'accélération. Ensuite, puisque lav(t)=s(t), détermination de la fonction de position nous oblige à trouver une antidérivée de la fonction de vitesse. Le mouvement rectiligne n'est qu'un des cas dans lesquels le besoin d'antidérivés se fait sentir. Nous verrons de nombreux autres exemples dans la suite du texte. Pour l'instant, examinons la terminologie et la notation des antidérivés, et déterminons les antidérivés pour plusieurs types de fonctions. Nous examinerons diverses techniques permettant de trouver des antidérivés de fonctions plus complexes plus loin dans le texte (Introduction aux techniques d'intégration).

L'inverse de la différenciation

À ce stade, nous savons comment trouver les dérivées de diverses fonctions. Nous posons maintenant la question inverse. Étant donné une fonctionf, comment pouvons-nous trouver une fonction avec une dérivéef ? Si nous pouvons trouver une fonctionF avec une dérivée,f, nous appelonsF une antidérivée def.

Définition : Antidérivé

Une fonctionF est une antidérivée de la fonctionf si

F(x)=f(x)

pour tousx dans le domaine def.

Réfléchissez à la fonctionf(x)=2x. Connaissant la règle de pouvoir de la différenciation, nous concluons queF(x)=x2 c'est un antidérivé duf sinceF(x)=2x.

Existe-t-il d'autres antidérivés def ?

Oui ; puisque la dérivée de toute constanteC est zéro, ellex2+C est également une antidérivée de2x. Par conséquent,x2+5 etx22 sont également des antidérivés.

Y en a-t-il d'autres qui ne sont pas toujours de la formex2+CC ?

La réponse est non. À partir du corollaire 2 du théorème de la valeur moyenne, nous savons que siF etG sont des fonctions dérivablesF(x)=G(x), telles queF(x)G(x)=C pour une constanteC. Ce fait conduit au théorème important suivant.

Théorème4.10.1: General Form of an Antiderivative

FSoit un antidérivé def plus d'un intervalleI. Ensuite,

  1. pour chaque constanteC, la fonctionF(x)+C est également une antidérivée def plusI ;
  2. siG est une antidérivée def overI, il existe une constanteC pour laquelleG(x)=F(x)+C overI.

En d'autres termes, la forme la plus générale de l'antidérivé def plusI estF(x)+C.

Nous utilisons ce fait et notre connaissance des dérivés pour trouver tous les antidérivés ayant plusieurs fonctions.

Exemple4.10.1: Finding Antiderivatives

Pour chacune des fonctions suivantes, trouvez tous les antidérivés.

  1. f(x)=3x2
  2. f(x)=1x
  3. f(x)=cosx
  4. f(x)=ex

Solution :

a. Parce que

ddx(x3)=3x2

F(x)=x3est alors un antidérivé de3x2. Par conséquent, chaque antidérivé de3x2 est de la formex3+C d'une constanteC, et chaque fonction de la formex3+C est une antidérivée de3x2.

b. Laissezf(x)=ln|x|.

Pourx>0,f(x)=ln|x|=ln(x) et

ddx(lnx)=1x.

Pourx<0,f(x)=ln|x|=ln(x) et

ddx(ln(x))=1x=1x.

Par conséquent,

ddx(ln|x|)=1x.

Ainsi,F(x)=ln|x| est un antidérivé de1x. Par conséquent, chaque antidérivé de1x est de la formeln|x|+C d'une constanteC et chaque fonction de la formeln|x|+C est une antidérivée de1x.

c. Nous avons

ddx(sinx)=cosx,

F(x)=sinxest donc un antidérivé decosx. Par conséquent, chaque antidérivé decosx est de la formesinx+C d'une constanteC et chaque fonction de la formesinx+C est une antidérivée decosx.

d. Depuis

ddx(ex)=ex,

F(x)=exest alors un antidérivé deex. Par conséquent, chaque antidérivé deex est de la formeex+C d'une constanteC et chaque fonction de la formeex+C est une antidérivée deex.

Exercice4.10.1

Retrouvez tous les antidérivés def(x)=sinx.

Allusion

De quelle fonction est dérivéesinx ?

Réponse

F(x)=cosx+C

Intégrales indéfinies

Nous examinons maintenant la notation formelle utilisée pour représenter les antidérivés et examinons certaines de leurs propriétés. Ces propriétés nous permettent de trouver des antidérivés aux fonctions plus complexes. Pour une fonction donnéef, nous utilisons la notationf(x) oudfdx pour désigner la dérivée def. Nous introduisons ici la notation pour les antidérivés. SiF est un antidérivé def, nous disons que c'F(x)+Cest l'antidérivé le plus général def et écrivons

f(x)dx=F(x)+C.

Le symbole est appelé signe intégral etf(x)dx est appelé intégrale indéfinie def.

Définition : Intégrales indéfinies

Étant donné une fonctionf, l'intégrale indéfinie def, désignée

f(x)dx,

est l'antidérivé le plus général def. SiF est un antidérivé def, alors

f(x)dx=F(x)+C.

L'expressionf(x) est appelée integrand et la variablex est la variable d'intégration.

Compte tenu de la terminologie introduite dans cette définition, le fait de trouver les antidérivés d'une fonctionf est généralement appelé intégrationf.

Pour une fonctionf et un antidérivéF, les fonctionsF(x)+C, oùC est un nombre réel quelconque, sont souvent appelées la famille des antidérivés def. Par exemple, puisquex2 est un antidérivé de2x et tout antidérivé de2x est de la formex2+C, que nous écrivons

2xdx=x2+C.

La collection de toutes les fonctions de la formex2+C, où seC trouve un nombre réel, est connue sous le nom de famille des antidérivés de2x. La figure4.10.1 montre un graphique de cette famille d'antidérivés.

Les graphiques pour y = x2 + 2, y = x2 + 1, y = x2, y = x2 − 1 et y = x2 − 2 sont présentés.
Figure4.10.1 : La famille des antidérivés de2x comprend toutes les fonctions de la formex2+C, où seC trouve un nombre réel.

Pour certaines fonctions, l'évaluation d'intégrales indéfinies découle directement des propriétés des dérivées. Par exemple, pourn1,

xndx=xn+1n+1+C,

qui provient directement de

ddx(xn+1n+1)=(n+1)xnn+1=xn.

Ce fait est connu sous le nom de règle de puissance pour les intégrales.

Règle de puissance pour les intégrales

Pourn1,

xndx=xn+1n+1+C.

L'évaluation d'intégrales indéfinies pour certaines autres fonctions est également un calcul simple. Le tableau suivant répertorie les intégrales indéfinies pour plusieurs fonctions courantes. Une liste plus complète figure à l'annexe B.

Tableau4.10.1 : Formules d'intégration
Formule de différenciation Intégrale indéfinie
ddx(k)=0 kdx=kx0dx=kx+C
ddx(xn)=nxn1 xndx=xn+1n+1+Cpourn1
ddx(ln|x|)=1x 1xdx=ln|x|+C
ddx(ex)=ex exdx=ex+C
ddx(sinx)=cosx cosxdx=sinx+C
ddx(cosx)=sinx sinxdx=cosx+C
ddx(tanx)=sec2x sec2xdx=tanx+C
ddx(cscx)=cscxcotx cscxcotxdx=cscx+C
ddx(secx)=secxtanx secxtanxdx=secx+C
ddx(cotx)=csc2x csc2xdx=cotx+C
ddx(sin1x)=11x2 11x2=sin1x+C
ddx(tan1x)=11+x2 11+x2dx=tan1x+C
ddx(sec1|x|)=1xx21 1xx21dx=sec1|x|+C

À partir de la définition de l'intégrale indéfinie def, nous savons

f(x)dx=F(x)+C

si et seulement siF est un antidérivé def.

Par conséquent, lorsque vous affirmez que

f(x)dx=F(x)+C

il est important de vérifier si cette déclaration est correcte en vérifiant queF(x)=f(x).

Exemple4.10.2: Verifying an Indefinite Integral

Chacune des déclarations suivantes est de la formef(x)dx=F(x)+C. Vérifiez que chaque déclaration est correcte en montrant queF(x)=f(x).

  1. (x+ex)dx=x22+ex+C
  2. xexdx=xexex+C

Solution :

a. Depuis

ddx(x22+ex+C)=x+ex,

la déclaration

(x+ex)dx=x22+ex+C

est correct.

Notez que nous sommes en train de vérifier une intégrale indéfinie pour une somme. De plus,x22 etex sont des antidérivés dex etex, respectivement, et la somme des antidérivés est une antidérivée de la somme. Nous reviendrons sur ce fait plus loin dans cette section.

b. En utilisant la règle du produit, nous constatons que

ddx(xexex+C)=ex+xexex=xex.

Par conséquent, la déclaration

xexdx=xexex+C

est correct.

Notez que nous sommes en train de vérifier une intégrale indéfinie pour un produit. L'antidérivé n'xexexest pas un produit des antidérivés. De plus, le produit d'antidérivés n'x2ex/2est pas un antidérivé dexex puisque

ddx(x2ex2)=xex+x2ex2xex.

En général, le produit des antidérivés n'est pas un antidérivé d'un produit.

Exercice4.10.2

Vérifiez quexcosxdx=xsinx+cosx+C.

Allusion

Calculerddx(xsinx+cosx+C).

Réponse

ddx(xsinx+cosx+C)=sinx+xcosxsinx=xcosx

Dans le tableau4.10.1, nous avons répertorié les intégrales indéfinies pour de nombreuses fonctions élémentaires. Passons maintenant à l'évaluation d'intégrales indéfinies pour des fonctions plus complexes. Par exemple, pensez à trouver l'antidérivée d'une sommef+g. Dans l'exemple,4.10.2a nous avons montré qu'une antidérivée de la sommex+ex est donnée par la somme, c'x22+exest-à-dire qu'une antidérivée d'une somme est donnée par une somme d'antidérivés. Ce résultat n'était pas spécifique à cet exemple. En général, siF etG sont des antidérivés de n'importe quelle fonctionf etg, respectivement, alors

ddx(F(x)+G(x))=F(x)+G(x)=f(x)+g(x).

Par conséquent,F(x)+G(x) est un antidérivé def(x)+g(x) et nous avons

(f(x)+g(x))dx=F(x)+G(x)+C.

De même,

(f(x)g(x))dx=F(x)G(x)+C.

En outre, considérez la tâche de trouver une antidérivée de l'kf(x),endroit oùk se trouve un nombre réel. Depuis

ddx(kF(x))=kddx(F(x))=kF(x)

pour tout nombre réelk, nous concluons que

kf(x)dx=kF(x)+C.

Ces propriétés sont résumées ci-dessous.

Propriétés des intégrales indéfinies

GSoitF des antidérivés def etg, respectivement, etk soit n'importe quel nombre réel.

Sommes et différences

(f(x)±g(x))dx=F(x)±G(x)+C

Multiples constants

kf(x)dx=kF(x)+C

À partir de ce théorème, nous pouvons évaluer toute intégrale impliquant une somme, une différence ou un multiple constant de fonctions avec des antidérivées connues. L'évaluation d'intégrales impliquant des produits, des quotients ou des compositions est plus complexe. (Voir Exemple4.10.2b pour un exemple impliquant un antidérivé d'un produit.) Nous examinons et abordons les intégrales impliquant ces fonctions plus complexes dans Introduction à l'intégration. Dans l'exemple suivant, nous examinons comment utiliser ce théorème pour calculer les intégrales indéfinies de plusieurs fonctions.

Exemple4.10.3: Evaluating Indefinite Integrals

Évaluez chacune des intégrales indéfinies suivantes :

  1. (5x37x2+3x+4)dx
  2. x2+43xxdx
  3. 41+x2dx
  4. tanxcosxdx

Solution :

a. À l'aide des propriétés des intégrales indéfinies, nous pouvons intégrer séparément chacun des quatre termes de l'integrand. Nous obtenons

(5x37x2+3x+4)dx=5x3dx7x2dx+3xdx+4dx.

À partir de la deuxième partie de Propriétés des intégrales indéfinies, chaque coefficient peut être écrit devant le signe intégral, ce qui donne

5x3dx7x2dx+3xdx+4dx=5x3dx7x2dx+3xdx+41dx.

En utilisant la règle de puissance pour les intégrales, nous concluons que

(5x37x2+3x+4)dx=54x473x3+32x2+4x+C.

b. Réécrivez l'integrand comme

x2+43xx=x2x+43xx.

Ensuite, pour évaluer l'intégrale, intégrez chacun de ces termes séparément. En utilisant la règle du pouvoir, nous avons

\ [\ begin {align*} \ int \ left (x+ \ dfrac {4} {x^ {2/3}} \ right) \, dx&= \ int x \, dx+4 \ int x^ {−2/3} \, dx \ \ [4 points]
&= \ dfrac {1} {2} x^2+4 \ dfrac {1} {\ left (\ tfrac {−2} {3} \ right) +1} x^ {(−2/3) +1} +C \ \ [4 points]
&= \ dfrac {1} {2} x^2+12x^ {1/3} +C. \ end {align*} \]

c. En utilisant les propriétés des intégrales indéfinies, écrivez l'intégrale comme

411+x2dx.

Ensuite, utilisez le fait qu'iltan1(x) s'agit d'un antidérivé de11+x2 pour conclure que

41+x2dx=4tan1(x)+C.

d. Réécrivez l'integrand comme suit :

tanxcosx=sinxcosxcosx=sinx.

Par conséquent,

tanxcosxdx=sinxdx=cosx+C.

Exercice4.10.3

Évaluer(4x35x2+x7)dx.

Allusion

Intégrez chaque terme séparément dans l'integrand, en utilisant la règle de puissance.

Réponse

(4x35x2+x7)dx=x453x3+12x27x+C

Problèmes liés à la valeur initiale

Nous examinons les techniques permettant d'intégrer une grande variété de fonctions impliquant des produits, des quotients et des compositions plus loin dans le texte. Nous passons ici à une utilisation courante des antidérivés qui est souvent utilisée dans de nombreuses applications : la résolution d'équations différentielles.

Une équation différentielle est une équation qui met en relation une fonction inconnue et une ou plusieurs de ses dérivées. L'équation

dydx=f(x)

est un exemple simple d'équation différentielle. Pour résoudre cette équation, il faut trouver une fonctiony avec une dérivéef. Par conséquent, les solutions de l'équation \ ref {diffeq1} sont les antidérivées def. SiF est une antidérivée def, chaque fonction de la formey=F(x)+C est une solution de cette équation différentielle. Par exemple, les solutions de

dydx=6x2

sont donnés par

y=6x2dx=2x3+C.

Parfois, nous cherchons à déterminer si une courbe de solution particulière passe par un certain point,(x0,y0) c'est-à-direy(x0)=y0. Le problème de la recherche d'une fonctiony qui satisfait une équation différentielle

dydx=f(x)

avec la condition supplémentaire

y(x0)=y0

est un exemple de problème de valeur initiale. La conditiony(x0)=y0 est connue sous le nom de condition initiale. Par exemple, rechercher une fonctiony qui satisfait à l'équation différentielle

dydx=6x2

et la condition initiale

y(1)=5

est un exemple de problème de valeur initiale. Puisque les solutions de l'équation différentielle consistenty=2x3+C, à trouver une fonctiony qui satisfait également la condition initiale, nous devons trouver uneC telle fonctiony(1)=2(1)3+C=5. À partir de cette équation, nous voyons celaC=3 et nous concluons quey=2x3+3 c'est la solution à ce problème de valeur initiale, comme le montre le graphique suivant.

Les graphiques pour y = 2x3 + 6, y = 2x3 + 3, y = 2x3 et y = 2x3 − 3 sont présentés.
Figure4.10.2 : Certaines courbes de solution de l'équation différentielledydx=6x2 sont affichées. La fonctiony=2x3+3 satisfait l'équation différentielle et la condition initialey(1)=5.
Exemple4.10.4: Solving an Initial-Value Problem

Résolvez le problème de la valeur initiale

dydx=sinx,y(0)=5.

Solution

Nous devons d'abord résoudre l'équation différentielle. Sidydx=sinx, alors

y=sin(x)dx=cosx+C.

Ensuite, nous devons rechercher une solutiony qui réponde à la condition initiale. La condition initialey(0)=5 signifie que nous avons besoin d'une constanteC telle que,cosx+C=5. par conséquent,

C=5+cos(0)=6.

La solution au problème de la valeur initiale esty=cosx+6.

Exercice4.10.4

Résolvez le problème de valeur initialedydx=3x2,y(1)=2.

Allusion

Retrouvez tous les antidérivés def(x)=3x2.

Réponse

y=3x+5

Des problèmes de valeur initiale se posent dans de nombreuses applications. Nous examinons ensuite un problème dans lequel un conducteur freine une voiture. Nous voulons savoir combien de temps il faut à la voiture pour s'arrêter. Rappelons que la fonction de vitessev(t) est la dérivée d'une fonction de positions(t), et que l'accélérationa(t) est la dérivée de la fonction de vitesse. Dans les exemples précédents du texte, nous pouvions calculer la vitesse à partir de la position, puis calculer l'accélération à partir de la vitesse. Dans l'exemple suivant, nous travaillons dans l'autre sens. À partir d'une fonction d'accélération, nous calculons la fonction de vitesse. Nous utilisons ensuite la fonction de vitesse pour déterminer la fonction de position.

Exemple4.10.5:

Une voiture roule à la vitesse de88 pi/sec (60mi/h) lorsque les freins sont serrés. La voiture commence à décélérer à une vitesse constante de15 pieds/sec 2.

  1. Combien de secondes s'écoulent avant que la voiture ne s'arrête ?
  2. Quelle est la distance parcourue par la voiture pendant cette période ?

Solution

a. Nous introduisons d'abord des variables pour ce problème. tSoit le temps (en secondes) qui s'écoule après la première application des freins. a(t)Soit l'accélération de la voiture (en pieds par seconde au carré) à la foist. v(t)Soit la vitesse de la voiture (en pieds par seconde) à la foist. s(t)Soit la position de la voiture (en pieds) au-delà du point où les freins sont actionnés à un moment donnét.

La voiture roule à un rythme de88 pieds par seconde. Par conséquent, la vitesse initiale est env(0)=88 pieds par seconde. Comme la voiture décélère, l'accélération est

a(t)=15ft/sec2.

L'accélération est la dérivée de la vitesse,

v(t)=15.

Nous avons donc un problème de valeur initiale à résoudre :

v(t)=15,v(0)=88.

En intégrant, nous constatons que

v(t)=15t+C.

Puisquev(0)=88,C=88. Ainsi, la fonction de vitesse est

v(t)=15t+88.

Pour savoir combien de temps il faut à la voiture pour s'arrêter, nous devons trouver le tempst tel que la vitesse soit nulle. En résolvant,15t+88=0, nous obtenonst=8815 sec.

b. Pour déterminer la distance parcourue par la voiture pendant cette période, nous devons trouver la position de la voiture après une8815 seconde. Nous savons que la vitessev(t) est la dérivée de la positions(t). Considérez la position initiale comme étants(0)=0. Par conséquent, nous devons résoudre le problème de la valeur initiale

s(t)=15t+88,s(0)=0.

En nous intégrant, nous avons

s(t)=152t2+88t+C.

Depuiss(0)=0, la constante estC=0. Par conséquent, la fonction de position est

s(t)=152t2+88t.

Après unet=8815 seconde, la position est des(8815)258.133 pieds.

Exercice4.10.5

Supposons que la voiture se déplace à une vitesse de44 pieds par seconde. Combien de temps faut-il pour que la voiture s'arrête ? Quelle distance parcourra la voiture ?

Allusion

v(t)=15t+44.

Réponse

2.93sec,64.5 pieds

Concepts clés

  • SiF est un antidérivé def, alors chaque antidérivé def est de la formeF(x)+C pour une constanteC.
  • dydx=f(x),y(x0)=y0Pour résoudre le problème de la valeur initiale, nous devons d'abord trouver l'ensemble des antidérivés de,f puis rechercher l'antidérivé particulier qui satisfait également à la condition initiale.

Lexique

antidérivé
une fonctionF telle que,F(x)=f(x) pour tous,x dans le domaine def est une antidérivée def
intégrale indéfinie
l'antidérivée la plus générale def(x) est l'intégrale indéfinie def ; nous utilisons la notationf(x)dx pour désigner l'intégrale indéfinie def
problème de valeur initiale
un problème qui nécessite de trouver une fonctiony qui satisfait à l'équation différentielledydx=f(x) ainsi qu'à la condition initialey(x0)=y0