4.9E : Exercices pour la section 4.9

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Dans les exercices 1 à 5, écrivez la formule de Newton comme$x_{n+1}=F(x_n)$ méthode de résolution$f(x)=0$.

1)$f(x)=x^2+1$

2)$f(x)=x^3+2x+1$

Réponse: $F(x_n)=x_n−\dfrac{x_n^3+2x_n+1}{3x_n^2+2}$

3)$f(x)=\sin x$

4)$f(x)=e^x$

Réponse: $F(x_n)=x_n−\dfrac{e^{x_n}}{e^{x_n}}$

5)$f(x)=x^3+3xe^x$

Dans les exercices 6 à 8, résolvez$f(x)=0$ en utilisant l'itération$x_{n+1}=x_{n−c}f(x_n)$, qui diffère légèrement de la méthode de Newton. Trouvez un$c$ qui fonctionne et un$c$ qui ne parvient pas à converger, à l'exception de$c=0.$

6)$f(x)=x^2−4,$ avec$x_0=0$

Réponse: $|c|>0.5$échoue,$|c|≤0.5$ fonctionne

7)$f(x)=x^2−4x+3,$ avec$x_0=2$

8) Quelle est la valeur de$“c”$ la méthode de Newton ?

Réponse: $c=\dfrac{1}{f′(x_n)}$

Dans les exercices 9 à 16, calculez$x_1$ et$x_2$ utilisez la méthode itérative spécifiée.

Commencez à

a.$x_0=0.6$ et

b.$x_0=2.$

9)$x_{n+1}=x_n^2−\frac{1}{2}$

10)$x_{n+1}=2x_n\left(1−x_n\right)$

Réponse: a.$ x_1=\frac{12}{25}, \; x_2=\frac{312}{625};$
b.$x_1=−4, \; x_2=−40$

11)$x_{n+1}=\sqrt{x_n}$

(12)$x_{n+1}=\frac{1}{\sqrt{x_n}}$

Réponse: a.$x_1=1.291, \; x_2=0.8801;$
b.$x_1=0.7071, \; x_2=1.189$

13)$x_{n+1}=3x_n(1−x_n)$

(14)$x_{n+1}=x_n^2+x_{n−2}$

Réponse: a.$x_1=−\frac{26}{25}, \; x_2=−\frac{1224}{625};$
b.$x_1=4, \;x_2=18$

15)$x_{n+1}=\frac{1}{2}x_n−1$

16)$x_{n+1}=|x_n|$

Réponse: a.$x_1=\frac{6}{10},\; x_2=\frac{6}{10};$
b.$x_1=2, \; x_2=2$

Dans les exercices 17 à 26, résolvez à quatre décimales à l'aide de la méthode de Newton et d'un ordinateur ou d'une calculatrice. Choisissez n'importe quelle estimation initiale$x_0$ qui ne correspond pas à la racine exacte.

17)$x^2−10=0$

18)$x^4−100=0$

Réponse: $3.1623$ou$−3.1623$

19)$x^2−x=0$

(20)$x^3−x=0$

Réponse: $0,$$−1$ou$1$

(21)$x+5\cos x=0$

22)$x+\tan x =0,$ choisissez$x_0∈\left(−\frac{π}{2},\frac{π}{2}\right)$

Réponse: $0$

23)$\dfrac{1}{1−x}=2$

(24)$1+x+x^2+x^3+x^4=2$

Réponse: $0.5188$ou$−1.2906$

25)$x^3+(x+1)^3=10^3$

(26)$x=\sin^2(x)$

Réponse: $0$

Dans les exercices 27 à 30, utilisez la méthode de Newton pour trouver les points fixes de la fonction où$f(x)=x$ ; arrondissez à trois décimales.

(27)$\sin x$

28)$\tan x$ sur$x=\left(\frac{π}{2},\frac{3π}{2}\right)$

Réponse: $4.493$

(29)$e^x−2$

(30)$\ln(x)+2$

Réponse: $0.159,\; 3.146$

La méthode de Newton peut être utilisée pour déterminer les maxima et les minima de fonctions en plus des racines. Dans ce cas, appliquez la méthode de Newton à la fonction dérivée$f′(x)$ pour trouver ses racines, au lieu de la fonction d'origine. Dans les exercices 31 à 32, considérez la formulation de la méthode.

31) Pour trouver des candidats pour les maxima et les minima, nous devons trouver les points critiques$f′(x)=0.$ Montrer que pour résoudre les points critiques d'une fonction$f(x)$, la méthode de Newton est donnée par$x_{n+1}=x_n−\dfrac{f′(x_n)}{f''(x_n)}$.

32) Quelles restrictions supplémentaires sont nécessaires concernant la fonction$f$ ?

Réponse: Nous devons$f$ être deux fois différenciables en continu.

Dans les exercices 33 à 40, utilisez la méthode de Newton pour trouver l'emplacement des minima et/ou des maxima locaux des fonctions suivantes ; arrondissez à trois décimales.

33) Minimum de$f(x)=x^2+2x+4$

34) Minimum de$f(x)=3x^3+2x^2−16$

Réponse: $x=0$

35) Minimum de$f(x)=x^2e^x$

36) Maximum de$f(x)=x+\dfrac{1}{x}$

Réponse: $x=−1$

37) Maximum de$f(x)=x^3+10x^2+15x−2$

38) Maximum de$f(x)=\dfrac{\sqrt{x}−\sqrt[3]{x}}{x}$

Réponse: $x=5.619$

39) Minimum du minimum non nul le$f(x)=x^2\sin x,$ plus proche de$x=0$

40) Minimum de$f(x)=x^4+x^3+3x^2+12x+6$

Réponse: $x=−1.326$

Dans les exercices 41 à 44, utilisez la méthode spécifiée pour résoudre l'équation. Si cela ne fonctionne pas, expliquez pourquoi cela ne fonctionne pas.

41) La méthode de Newton,$x^2+2=0$

42) La méthode de Newton,$0=e^x$

Réponse: Il n'y a pas de solution à cette équation.

43) La méthode de Newton, à$0=1+x^2$ partir de$x_0=0$

44) Résoudre$x_{n+1}=−x_n^3$ à partir de$x_0=−1$

Réponse: Elle entre dans un cycle.

Dans les exercices 45 à 48, utilisez la méthode sécante, une méthode itérative alternative à la méthode de Newton. La formule est donnée par

$x_n=x_{n−1}−f(x_{n−1})\dfrac{x_{n−1}−x_{n−2}}{f(x_{n−1})−f(x_{n−2})}.$

45) une racine trop$0=x^2−x−3$ précise à trois décimales.

46) Trouvez une racine trop$0=\sin x+3x$ précise à quatre décimales.

Réponse: $0$

47) Trouvez une racine trop$0=e^x−2$ précise à quatre décimales.

48) Trouvez une racine trop$\ln(x+2)=\dfrac{1}{2}$ précise à quatre décimales.

Réponse: $−0.3513$

49) Pourquoi utiliseriez-vous la méthode sécante plutôt que la méthode de Newton ? Quelles sont les restrictions nécessaires$f$ ?

Dans les exercices 50 à 54, utilisez à la fois la méthode de Newton et la méthode sécante pour calculer la racine des équations suivantes. Utilisez une calculatrice ou un ordinateur pour calculer le nombre d'itérations nécessaires pour atteindre la troisième décimale de la réponse exacte. Pour la méthode sécante, utilisez la première estimation de la méthode de Newton.

50)$f(x)=x^2+2x+1,\quad x_0=1$

Réponse: Newton :$11$ itérations, sécant :$16$ itérations

51)$f(x)=x^2, \quad x_0=1$

52)$f(x)=\sin x, \quad x_0=1$

Réponse: Newton : trois itérations, sécant : six itérations

53)$f(x)=e^x−1, \quad x_0=2$

(54)$f(x)=x^3+2x+4, \quad x_0=0$

Réponse: Newton : cinq itérations, sécante : huit itérations

Dans les exercices 55 à 56, considérez l'équation de Kepler concernant les orbites planétaires$M=E−ε\sin(E)$, où$M$ est l'anomalie moyenne,$E$ est l'anomalie excentrique et$ε$ mesure l'excentricité.

55) Utilisez la méthode de Newton pour résoudre l'anomalie excentrique$E$ lorsque l'anomalie moyenne$M=\frac{π}{3}$ et l'excentricité de l'orbite s'$ε=0.25;$arrondissent à trois décimales.

56) Utilisez la méthode de Newton pour résoudre l'anomalie excentrique$E$ lorsque l'anomalie moyenne$M=\frac{3π}{2}$ et l'excentricité de l'orbite s'$ε=0.8;$arrondissent à trois décimales.

Réponse: $E=4.071$

Dans les exercices 57 à 58, considérez un investissement bancaire. L'investissement initial est de$$10,000$. Après des$25$ années, l'investissement a triplé pour atteindre$$30,000.$

57) Utilisez la méthode de Newton pour déterminer le taux d'intérêt si l'intérêt était composé annuellement.

58) Utilisez la méthode de Newton pour déterminer le taux d'intérêt si l'intérêt était composé de façon continue.

Réponse: $4.394%$

59) Le coût d'impression d'un livre peut être donné par l'équation$C(x)=1000+12x+\frac{1}{2}x^{2/3}$. Utilisez la méthode de Newton pour déterminer le seuil de rentabilité si l'imprimeur vend chaque livre pour$$20.$