4.10E : Exercices pour la section 4.10

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Dans les exercices 1 à 20, trouvez l'antidérivé\(F(x)\) de chaque fonction\(f(x).\)

1)\(f(x)=\dfrac{1}{x^2}+x\)

2)\(f(x)=e^x−3x^2+\sin x\)

Réponse: \(F(x)=e^x−x^3−\cos x+C\)

3)\(f(x)=e^x+3x−x^2\)

4)\(f(x)=x−1+4\sin(2x)\)

Réponse: \(F(x)=\dfrac{x^2}{2}−x−2\cos(2x)+C\)

5)\(f(x)=5x^4+4x^5\)

6)\(f(x)=x+12x^2\)

Réponse: \(F(x)=\frac{1}{2}x^2+4x^3+C\)

7)\(f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}\)

8)\(f(x)=\left(\sqrt{x}\right)^3\)

Réponse: \(F(x)=\frac{2}{5}\left(\sqrt{x}\right)^5+C\)

9)\(f(x)=x^{1/3}+\big(2x\big)^{1/3}\)

10)\(f(x)=\dfrac{x^{1/3}}{x^{2/3}}\)

Réponse: \(F(x)=\frac{3}{2}x^{2/3}+C\)

11)\(f(x)=2\sin(x)+\sin(2x)\)

(12)\(f(x)=\sec^2 x +1\)

Réponse: \(F(x)=x+\tan x+C\)

13)\(f(x)=\sin x\cos x\)

(14)\(f(x)=\sin^2(x)\cos(x)\)

Réponse: \(F(x)=\frac{1}{3}\sin^3(x)+C\)

15)\(f(x)=0\)

16)\(f(x)=\frac{1}{2}\csc^2 x+\dfrac{1}{x^2}\)

Réponse: \(F(x)=−\frac{1}{2}\cot x −\dfrac{1}{x}+C\)

17)\(f(x)=\csc x\cot x+3x\)

18)\(f(x)=4\csc x\cot x−\sec x\tan x\)

Réponse: \(F(x)=−\sec x−4\csc x+C\)

19)\(f(x)=8(\sec x)\big(\sec x−4\tan x\big)\)

20)\(f(x)=\frac{1}{2}e^{−4x}+\sin x\)

Réponse: \(F(x)=−\frac{1}{8}e^{−4x}−\cos x+C\)

Pour les exercices 21 à 29, évaluez l'intégrale.

(21)\(\displaystyle ∫(−1)\,dx\)

22)\(\displaystyle ∫\sin x\,dx\)

Réponse: \(\displaystyle ∫\sin x\,dx = −\cos x+C\)

23)\(\displaystyle ∫\big(4x+\sqrt{x}\big)\,dx\)

(24)\(\displaystyle ∫\frac{3x^2+2}{x^2}\,dx\)

Réponse: \(\displaystyle ∫\frac{3x^2+2}{x^2}\,dx=3x−\frac{2}{x}+C\)

25)\(\displaystyle ∫\big(\sec x\tan x+4x\big)\,dx\)

26)\(\displaystyle ∫\big(4\sqrt{x}+\sqrt[4]{x}\big)\,dx\)

Réponse: \(\displaystyle ∫\big(4\sqrt{x}+\sqrt[4]{x}\big)\,dx=\frac{8}{3}x^{3/2}+\frac{4}{5}x^{5/4}+C\)

(27)\(\displaystyle ∫\left(x^{−1/3}−x^{2/3}\right)\,dx\)

28)\(\displaystyle ∫\frac{14x^3+2x+1}{x^3}\,dx\)

Réponse: \(\displaystyle ∫\frac{14x^3+2x+1}{x^3}\,dx=14x−\frac{2}{x}−\frac{1}{2x^2}+C\)

(29)\(\displaystyle ∫\big(e^x+e^{−x}\big)\,dx\)

Dans les exercices 30 à 34, résolvez le problème de valeur initiale.

30)\(f′(x)=x^{−3},\quad f(1)=1\)

Réponse: \(f(x)=−\dfrac{1}{2x^2}+\dfrac{3}{2}\)

31)\(f′(x)=\sqrt{x}+x^2,\quad f(0)=2\)

32)\(f′(x)=\cos x+\sec^2(x),\quad f(\frac{π}{4})=2+\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Réponse: \(f(x)=\sin x+\tan x+1\)

33)\(f′(x)=x^3−8x^2+16x+1,\quad f(0)=0\)

34)\(f′(x)=\dfrac{2}{x^2}−\dfrac{x^2}{2},\quad f(1)=0\)

Réponse: \(f(x)=−\frac{1}{6}x^3−\dfrac{2}{x}+\dfrac{13}{6}\)

Dans les exercices 35 à 39, trouvez deux fonctions possibles en\(f\) fonction des dérivées du deuxième ou du troisième ordre

35)\(f''(x)=x^2+2\)

36)\(f''(x)=e^{−x}\)

Réponse: Les réponses peuvent varier ; l'une des réponses possibles est\(f(x)=e^{−x}\)

37)\(f''(x)=1+x\)

38)\(f'''(x)=\cos x\)

Réponse: Les réponses peuvent varier ; l'une des réponses possibles est\(f(x)=−\sin x\)

39)\(f'''(x)=8e^{−2x}−\sin x\)

40) Une voiture roule à une vitesse de\(40\) mi/h lorsque les freins sont serrés. La voiture décélère à un rythme constant de\(10\, \text{ft/sec}^2\). Combien de temps avant que la voiture ne s'arrête ?

Réponse: \(5.867\)seconde

41) Dans le problème précédent, calculez la distance parcourue par la voiture pendant le temps qu'il faut pour s'arrêter.

42) Vous rejoignez l'autoroute, accélérant à un rythme constant de\(12\, \text{ft/sec}^2\). Combien de temps vous faut-il pour atteindre la vitesse de fusion à\(60\) mph ?

Réponse: \(7.333\)seconde

43) Sur la base du problème précédent, quelle distance parcourt la voiture pour atteindre la vitesse de fusion ?

44) Un constructeur automobile veut s'assurer que son nouveau modèle peut s'arrêter en quelques\(8\) secondes lorsqu'il roule à\(75\) mi/h. Si nous supposons une décélération constante, déterminez la valeur de décélération qui permet d'atteindre cet objectif.

Réponse: \(13.75\, \text{ft/sec}^2\)

45) Un constructeur automobile souhaite s'assurer que son nouveau modèle peut s'arrêter à moins de\(450\) pieds lorsqu'il roule à\(60\) mi/h. Si nous supposons une décélération constante, déterminez la valeur de décélération qui permet d'atteindre cet objectif.

Dans les exercices 46 à 51, trouvez l'antidérivée de la fonction, en supposant\(F(0)=0.\)

46) [T]\(\quad f(x)=x^2+2\)

Réponse: \(F(x)=\frac{1}{3}x^3+2x\)

47) [T]\(\quad f(x)=4x−\sqrt{x}\)

48) [T]\(\quad f(x)=\sin x+2x\)

Réponse: \(F(x)=x^2−\cos x+1\)

49) [T]\(\quad f(x)=e^x\)

50) [T]\(\quad f(x)=\dfrac{1}{(x+1)^2}\)

Réponse: \(F(x)=−\dfrac{1}{x+1}+1\)

51) [T]\(\quad f(x)=e^{−2x}+3x^2\)

Dans les exercices 52 à 55, déterminez si l'énoncé est vrai ou faux. Prouvez que c'est vrai ou trouvez un contre-exemple s'il est faux.

52) Si\(f(x)\) est l'antidérivé de\(v(x)\), alors\(2f(x)\) est l'antidérivé de\(2v(x).\)

Réponse: Vrai

53) Si\(f(x)\) est l'antidérivé de\(v(x)\), alors\(f(2x)\) est l'antidérivé de\(v(2x).\)

54) Si\(f(x)\) est l'antidérivé de\(v(x),\) alors\(f(x)+1\) est l'antidérivé de\(v(x)+1.\)

Réponse: Faux

55) Si\(f(x)\) est l'antidérivé de\(v(x)\), alors\((f(x))^2\) est l'antidérivé de\((v(x))^2.\)