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3.9E : Exercices pour la section 3.9

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    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Dans les exercices 1 à 15, trouvez\(f′(x)\) pour chaque fonction.

    1)\(f(x)=x^2e^x\)

    Réponse
    \(f'(x) = 2xe^x+x^2e^x\)

    2)\(f(x)=\dfrac{e^{−x}}{x}\)

    3)\(f(x)=e^{x^3\ln x}\)

    Réponse
    \(f'(x) = e^{x^3\ln x}\left(3x^2\ln x+x^2\right)\)

    4)\(f(x)=\sqrt{e^{2x}+2x}\)

    5)\(f(x)=\dfrac{e^x−e^{−x}}{e^x+e^{−x}}\)

    Réponse
    \(f'(x) = \dfrac{4}{(e^x+e^{−x})^2}\)

    6)\(f(x)=\dfrac{10^x}{\ln 10}\)

    7)\(f(x)=2^{4x}+4x^2\)

    Réponse
    \(f'(x) = 2^{4x+2}⋅\ln 2+8x\)

    8)\(f(x)=3^{\sin 3x}\)

    9)\(f(x)=x^π⋅π^x\)

    Réponse
    \(f'(x) = πx^{π−1}⋅π^x+x^π⋅π^x\ln π\)

    10)\(f(x)=\ln(4x^3+x)\)

    11)\(f(x)=\ln\sqrt{5x−7}\)

    Réponse
    \(f'(x) = \dfrac{5}{2(5x−7)}\)

    (12)\(f(x)=x^2\ln 9x\)

    13)\(f(x)=\log(\sec x)\)

    Réponse
    \(f'(x) = \dfrac{\tan x}{\ln 10}\)

    (14)\(f(x)=\log_7(6x^4+3)^5\)

    15)\(f(x)=2^x⋅\log_37^{x^2−4}\)

    Réponse
    \(f'(x) = 2^x⋅\ln 2⋅\log_3 7^{x^2−4}+2^x⋅\dfrac{2x\ln 7}{\ln 3}\)

    Pour les exercices 16 à 23, utilisez la différenciation logarithmique pour trouver\(\dfrac{dy}{dx}\).

    16)\(y=x^{\sqrt{x}}\)

    17)\(y=(\sin 2x)^{4x}\)

    Réponse
    \(\dfrac{dy}{dx} = (\sin 2x)^{4x}\big[4⋅\ln(\sin 2x)+8x⋅\cot 2x\big]\)

    18)\(y=(\ln x)^{\ln x}\)

    19)\(y=x^{\log_2x}\)

    Réponse
    \(\dfrac{dy}{dx} = x^{\log_2x}⋅\dfrac{2\ln x}{x\ln 2}\)

    (20)\(y=(x^2−1)^{\ln x}\)

    (21)\(y=x^{\cot x}\)

    Réponse
    \(\dfrac{dy}{dx} = x^{\cot x}⋅\left[−\csc^2x⋅\ln x+\dfrac{\cot x}{x}\right]\)

    22)\(y=\dfrac{x+11}{\sqrt[3]{x^2−4}}\)

    23)\(y=x^{−1/2}(x^2+3)^{2/3}(3x−4)^4\)

    Réponse
    \(\dfrac{dy}{dx} = x^{−1/2}(x^2+3)^{2/3}(3x−4)^4⋅\left[\dfrac{−1}{2x}+\dfrac{4x}{3(x^2+3)}+\dfrac{12}{3x−4}\right]\)

    24) [T] Trouvez une équation de la tangente\(f(x)=4xe^{(x^2−1)}\) au graphe du point où

    \(x=−1.\)Tracez à la fois la fonction et la tangente.

    25) [T] Détermine l'équation de la droite qui est normale\(f(x)=x⋅5^x\) au graphe du point où\(x=1\). Tracez à la fois la fonction et la ligne normale.

    Réponse
    \(y=\frac{−1}{5+5\ln 5}x+\left(5+\frac{1}{5+5\ln 5}\right)\)
    La fonction commence à (−3, 0), diminue légèrement, puis augmente jusqu'à l'origine et augmente jusqu'à (1,25, 10). Il existe une droite marquée T (x) avec une pente −1/ (5 + 5 ln 5) et une intersection y 5 + 1/ (5 + 5 ln 5).

    26) [T] Détermine l'équation de la tangente\(x^3−x\ln y+y^3=2x+5\) au graphe du point où\(x=2\). (Conseil : utilisez une différenciation implicite pour trouver\(\dfrac{dy}{dx}\).) Tracez à la fois la courbe et la tangente.

    27) Considérez la fonction\(y=x^{1/x}\) pour\(x>0.\)

    a. Déterminez les points du graphique où la tangente est horizontale.

    b. Déterminez les points du graphique où\(y′>0\) et ceux où\(y′<0\).

    Réponse
    a.\(x=e \approx 2.718\)
    b.\(y'>0 \text{ for } (0,e)\) et\(y'<0 \text{ for } (e,∞).\)

    28) La formule\(I(t)=\dfrac{\sin t}{e^t}\) est la formule pour un courant alternatif décroissant.

    a. Complétez le tableau suivant avec les valeurs appropriées.

    \(t\) \(\frac{\sin t}{e^t}\)
    \ (t \) « >0 \ (\ frac {\ sin t} {e^t} \) « > (i)
    \ (t \) « >\(π/2\) \ (\ frac {\ sin t} {e^t} \) « > (ii)
    \ (t \) « >\(π\) \ (\ frac {\ sin t} {e^t} \) « > (iii)
    \ (t \) « >\(3π/2\) \ (\ frac {\ sin t} {e^t} \) « > (vi)
    \ (t \) « >\(2π\) \ (\ frac {\ sin t} {e^t} \) « > (v)
    \ (t \) « >\(2π\) \ (\ frac {\ sin t} {e^t} \) « > (vi)
    \ (t \) « >\(3π\) \ (\ frac {\ sin t} {e^t} \) « > (vii)

    b. En utilisant uniquement les valeurs du tableau, déterminez où la tangente au graphique de\(I(t)\) est horizontale.

    29) [T] La population de Toledo, en Ohio, était d'environ 500 000 habitants en 2000. Supposons que la population augmente à un rythme de 5 % par an.

    a. Écrivez la fonction exponentielle qui relie la population totale en fonction de\(t\).

    b. Utilisez la partie a. pour déterminer le taux auquel la population augmente en\(t\) années.

    c. Utilisez la partie b. pour déterminer le taux d'augmentation de la population en 10 ans

    Réponse
    a.\(P=500,000(1.05)^t\) individus
    b.\(P′(t)=24395⋅(1.05)^t\) individus par an
    c.\(39,737\) individus par an

    30) [T] Un isotope de l'élément erbium a une demi-vie d'environ 12 heures. Au départ, 9 grammes de l'isotope sont présents.

    a. Écrivez la fonction exponentielle qui relie la quantité de substance restante en fonction de\(t\), mesurée en heures.

    b. Utilisez a. pour déterminer la vitesse à laquelle la substance se décompose en\(t\) heures.

    c. Utilisez b. pour déterminer le taux de décomposition en\(t=4\) heures.

    31) [T] Le nombre de cas de grippe à New York entre le début de 1960 et le début de 1964 est modélisé par la fonction\(N(t)=5.3e^{0.093t^2−0.87t},(0≤t≤4)\), où\(N(t)\) donne le nombre de cas (en milliers) et\(t\) est mesuré en années,\(t=0\) correspondant au début de 1960.

    a. Montrez un travail qui évalue\(N(0)\) et\(N(4)\). Décrivez brièvement ce que ces valeurs indiquent au sujet de la maladie à New York.

    b. Montrez un travail qui évalue\(N′(0)\) et\(N′(3)\). Décrivez brièvement ce que ces valeurs indiquent au sujet de la maladie aux États-Unis.

    Réponse
    a. Au début de 1960, il y avait 5,3 000 cas de la maladie à New York. Au début de 1963, il y avait environ 723 cas de la maladie aux États-Unis.
    b. Au début de 1960, le nombre de cas de la maladie diminuait de\(−4.611\) mille par an ; au début de 1963, le nombre de cas diminuait de\(−0.2808\) mille par an.

    32) [T] Le taux relatif de variation d'une fonction dérivable\(y=f(x)\) est donné par\(\frac{100⋅f′(x)}{f(x)}%.\) Un modèle de croissance démographique est une fonction de croissance de Gompertz, donnée par\(P(x)=ae^{−b⋅e^{−cx}}\) où\(a,b\), et\(c\) sont des constantes.

    a. Trouvez la formule du taux de variation relatif pour la fonction de Gompertz générique.

    b. Utilisez la partie a. pour déterminer le taux relatif de variation d'une population en\(x=20\) mois où\(a=204,\;b=0.0198,\) et\(c=0.15.\)

    c. Interprétez brièvement ce que signifie le résultat de la partie b.

    Pour les exercices 33 à 36, utilisez la population de New York de 1790 à 1860, indiquée dans le tableau suivant.

    Année depuis 1790 Population
    0 33 131
    10 60 515
    20 96 373
    30 123 706
    40 202 300
    50 312 710
    60 515 547
    70 813 669

    Population de la ville de New York au fil du tempsSource : http://en.Wikipedia.org/wiki/Largest... _États-Unis_États-Unis

    _par_population_par_decade

    33) [T] À l'aide d'un programme informatique ou d'une calculatrice, ajustez une courbe de croissance aux données du formulaire\(p=ab^t\).

    Réponse
    \(p=35741(1.045)^t\)

    34) [T] En utilisant le meilleur ajustement exponentiel pour les données, rédigez un tableau contenant les dérivées évaluées chaque année.

    35) [T] En utilisant le meilleur ajustement exponentiel pour les données, rédigez un tableau contenant les dérivées secondes évaluées chaque année.

    Réponse
    Année depuis 1790 \(P"\)
    0 69,25
    10 107,5
    20 167,0
    30 259,4
    40 402,8
    50 625,5
    60 971,4
    70 1508,5

    36) [T] À l'aide des tableaux des dérivées première et seconde et de la meilleure solution, répondez aux questions suivantes :

    a. Le modèle permettra-t-il de prédire avec précision la population future de New York ? Pourquoi ou pourquoi pas ?

    b. Estimer la population en 2010. La prédiction tirée de la partie a. était-elle correcte ?