3.6 : La règle de la chaîne
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- Indiquez la règle de chaîne pour la composition de deux fonctions.
- Appliquez la règle de chaîne en même temps que la règle de puissance.
- Appliquez correctement la règle de chaîne et les règles de produit/quotient en combinaison lorsque les deux sont nécessaires.
- Reconnaissez la règle de chaîne pour une composition de trois fonctions ou plus.
- Décrivez la preuve de la règle de la chaîne.
Nous avons vu les techniques permettant de différencier les fonctions de base (\(x^n,\sin x,\cos x,\)etc.) ainsi que les sommes, les différences, les produits, les quotients et les multiples constants de ces fonctions. Cependant, ces techniques ne permettent pas de différencier des compositions de fonctions, telles que\(h(x)=\sin(x^3)\) ou\(k(x)=\sqrt{3x^2+1}\). Dans cette section, nous étudions la règle permettant de déterminer la dérivée de la composition de deux fonctions ou plus.
Dériver la règle de la chaîne
Lorsque nous avons une fonction composée de deux fonctions ou plus, nous pouvons utiliser toutes les techniques que nous avons déjà apprises pour la différencier. Cependant, l'utilisation de toutes ces techniques pour décomposer une fonction en parties plus simples que nous sommes capables de différencier peut s'avérer fastidieuse. Nous utilisons plutôt la règle de la chaîne, qui stipule que la dérivée d'une fonction composite est la dérivée de la fonction externe évaluée à la fonction interne multipliée par la dérivée de la fonction interne.
Pour mettre cette règle en contexte, regardons un exemple :\(h(x)=\sin(x^3)\). Nous pouvons considérer la dérivée de cette fonction par rapport\(x\) au taux de variation de\(\sin(x^3)\) par rapport à la variation de\(x\). Par conséquent, nous voulons savoir comment\(\sin(x^3)\)\(x\) évolue en même temps. Nous pouvons considérer cet événement comme une réaction en chaîne : comme\(x\) des changements,\(x^3\) des changements, qui entraînent un changement dans\(\sin(x^3)\). Cette réaction en chaîne nous donne des indications sur ce qui est impliqué dans le calcul de la dérivée de\(\sin(x^3)\). Tout d'abord, un changement dans le fait de\(x\) forcer un changement\(x^3\) suggère que la dérivée de\(x^3\) est impliquée d'une manière ou d'une autre. De plus, le changement de\(x^3\) force d'un changement\(\sin(x^3)\) suggère que la\(\sin(u)\) dérivée de par rapport à\(u\), où\(u=x^3\), fait également partie de la dérivée finale.
Nous pouvons examiner de manière plus formelle la dérivée de\(h(x)=\sin(x^3)\) en définissant la limite qui nous donnerait la dérivée à une valeur spécifique\(a\) dans le domaine de\(h(x)=\sin(x^3)\).
\[h'(a)=\lim_{x→a}\dfrac{\sin(x^3)−\sin(a^3)}{x−a}\nonumber \]
Cette expression ne semble pas particulièrement utile ; cependant, nous pouvons la modifier en la multipliant et en divisant par l'expression\(x^3−a^3\) pour obtenir
\[h'(a)=\lim_{x→a}\dfrac{\sin(x^3)−\sin(a^3)}{x^3−a^3}⋅\dfrac{x^3−a^3}{x−a}.\nonumber \]
À partir de la définition de la dérivée, nous pouvons voir que le second facteur est la dérivée de\(x^3\) at\(x=a.\) C'est-à-dire
\[\lim_{x→a}\dfrac{x^3−a^3}{x−a}=\dfrac{d}{dx}(x^3)\Big|_{x=a}=3a^2.\nonumber \]
Cependant, il peut être un peu plus difficile de reconnaître que le premier terme est également un dérivé. Nous pouvons le voir en laissant\(u=x^3\) et en observant cela comme\(x→a,u→a^3\) suit :
\[ \begin{align*} \lim_{x→a}\dfrac{\sin(x^3)−\sin(a^3)}{x^3−a^3} &=\lim_{u→a^3}\dfrac{\sin u−\sin(a^3)}{u−a^3} \\[4pt] &=\dfrac{d}{du}(\sin u)\Big|_{u=a^3} \\[4pt] &=\cos(a^3) \end{align*}. \nonumber \]
Ainsi,\(h'(a)=\cos(a^3)⋅3a^2\).
En d'autres termes, si\(h(x)=\sin(x^3)\), alors\(h'(x)=\cos(x^3)⋅3x^2\). Ainsi, si nous considérons la\(h(x)=\sin(x^3)\) composition\((f∘g)(x)=f\big(g(x)\big)\) où\(f(x)= \sin x\) et\(g(x)=x^3\), alors la dérivée de\(h(x)=\sin(x^3)\) est le produit de la dérivée de\(g(x)=x^3\) et de la dérivée de la fonction\(f(x)=\sin x\) évaluée au niveau de la fonction\(g(x)=x^3\). À ce stade, nous prévoyons que\(h(x)=\sin\big(g(x)\big)\), pour, il est fort probable que\(h'(x)=\cos\big(g(x)\big)g'(x)\). Comme nous l'avons déterminé ci-dessus, c'est le cas pour\(h(x)=\sin(x^3)\).
Maintenant que nous avons déduit un cas particulier de la règle de chaîne, nous énonçons le cas général, puis nous l'appliquons sous une forme générale à d'autres fonctions composites. Une preuve informelle est fournie à la fin de la section.
Fonctions « Laissez\(f\) et\(g\) soyez ». Pour tout ce qui se trouve\(x\) dans le domaine de\(g\) pour lequel\(g\) est dérivable à\(x\) et\(f\) est dérivable à\(g(x)\), la dérivée de la fonction composite
\[h(x)=(f∘g)(x)=f\big(g(x)\big) \nonumber \]
est donné par
\[h'(x)=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x). \nonumber \]
Sinon, si\(y\) est fonction de\(u\), et\(u\) est fonction de\(x\), alors
\[\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}⋅\dfrac{du}{dx}. \nonumber \]
- Pour différencier\(h(x)=f\big(g(x)\big)\), commencez par identifier\(f(x)\) et\(g(x)\).
- \(f'(x)\)Trouvez-le et évaluez-le\(g(x)\) pour l'obtenir\(f'\big(g(x)\big)\).
- Trouvez\(g'(x).\)
- Écrivez\(h'(x)=f'\big(g(x)\big)⋅g'(x).\)
Remarque : Lorsque vous appliquez la règle de la chaîne à la composition de deux fonctions ou plus, n'oubliez pas que nous travaillons de la fonction extérieure vers l'intérieur. Il est également utile de se rappeler que la dérivée de la composition de deux fonctions peut être considérée comme comportant deux parties ; la dérivée de la composition de trois fonctions comporte trois parties ; et ainsi de suite. N'oubliez pas non plus que nous n'évaluons jamais un dérivé par rapport à un dérivé.
Les règles de la chaîne et du pouvoir combinées
Nous pouvons désormais appliquer la règle de chaîne aux fonctions composites, mais notez que nous avons souvent besoin de l'utiliser avec d'autres règles. Par exemple, pour trouver des dérivées de fonctions de la forme\(h(x)=\big(g(x)\big)^n\), nous devons utiliser la règle de chaîne combinée à la règle de puissance. Pour ce faire, nous pouvons penser\(h(x)=\big(g(x)\big)^n\) à\(f\big(g(x)\big)\) où\(f(x)=x^n\). Alors\(f'(x)=nx^{n−1}\). Ainsi,\(f'\big(g(x)\big)=n\big(g(x)\big)^{n−1}\). Cela nous amène à la dérivée d'une fonction de puissance utilisant la règle de la chaîne,
\(h'(x)=n\big(g(x)\big)^{n−1}\cdot g'(x)\)
Pour toutes les valeurs\(x\) pour lesquelles la dérivée est définie, si
\[h(x)=\big(g(x)\big)^n, \nonumber \]
Alors
\[h'(x)=n\big(g(x)\big)^{n−1}\cdot g'(x) \label{genpow}. \]
Trouvez la dérivée de\(h(x)=\dfrac{1}{(3x^2+1)^2}\).
Solution
Tout d'abord, réécrivez\(h(x)=\dfrac{1}{(3x^2+1)^2}=(3x^2+1)^{−2}\).
En appliquant la règle du pouvoir avec\(g(x)=3x^2+1\), nous avons
\(h'(x)=−2(3x^2+1)^{−3}\cdot 6x\).
La réécriture vers le formulaire d'origine nous donne
\(h'(x)=\dfrac{−12x}{(3x^2+1)^3}\)
Trouvez la dérivée de\(h(x)=(2x^3+2x−1)^4\).
- Allusion
-
Utilisez la règle générale de puissance (équation \ ref {genpow}) avec\(g(x)=2x^3+2x−1\).
- Réponse
-
\(h'(x)=4(2x^3+2x−1)^3(6x^2+2)=8(3x^2+1)(2x^3+2x−1)^3\)
Trouvez la dérivée de\(h(x)=\sin^3x\).
Solution
Rappelez-vous d'abord cela\(\sin^3x=(\sin x)^3\), afin que nous puissions le réécrire\(h(x)=\sin^3x\) en tant que\(h(x)=(\sin x)^3\).
En appliquant la règle du pouvoir avec\(g(x)=\sin x\), on obtient
\(h'(x)=3(\sin x)^2\cos x=3\sin^2x\cos x\).
Détermine l'équation d'une droite tangente au graphe de\(h(x)=\dfrac{1}{(3x−5)^2}\) at\(x=2\).
Solution
Parce que nous trouvons l'équation d'une droite, nous avons besoin d'un point. La\(x\) coordonnée du point est 2. Pour trouver la\(y\) coordonnée -, remplacez 2 par\(h(x)\). Depuis\(h(2)=\dfrac{1}{(3(2)−5)^2}=1\), le fait est que\((2,1)\).
Pour la pente, il nous faut\(h'(2)\). Pour trouver\(h'(x)\), nous réécrivons d'abord\(h(x)=(3x−5)^{−2}\) et appliquons la règle de puissance pour obtenir
\(h'(x)=−2(3x−5)^{−3}(3)=−6(3x−5)^{−3}\).
En les remplaçant, nous avons\(h'(2)=−6(3(2)−5)^{−3}=−6.\)
Par conséquent, la ligne possède une équation\(y−1=−6(x−2)\). En réécrivant, l'équation de la ligne est\(y=−6x+13\).
Détermine l'équation de la droite tangente au graphe de\(f(x)=(x^2−2)^3\) at\(x=−2\).
- Allusion
-
Utilisez l'exemple précédent comme guide.
- Réponse
-
\(y=−48x−88\)
Combinaison de la règle de chaîne avec d'autres règles
Maintenant que nous pouvons combiner la règle de la chaîne et la règle du pouvoir, nous examinons comment combiner la règle de la chaîne avec les autres règles que nous avons apprises. On peut notamment l'utiliser avec les formules pour les dérivées des fonctions trigonométriques ou avec la règle du produit.
Trouvez la dérivée de\(h(x)=\cos\big(g(x)\big).\)
Solution
Pense\(h(x)=\cos\big(g(x)\big)\) à\(f\big(g(x)\big)\) où\(f(x)=\cos x\). Depuis\(f'(x)=−\sin x\), nous avons\(f'\big(g(x)\big)=−\sin\big(g(x)\big)\). Ensuite, nous effectuons le calcul suivant.
\ [\ begin {align*} h' (x) &=f' \ big (g (x) \ big) \ cdot g' (x) & & \ text {Appliquez la règle de la chaîne.} \ \ [4pt]
&=− \ sin \ big (g (x) \ big) \ cdot g' (x) & & \ text {Substitut} \ ; f' \ big (g (x) \ big (g (x) \ big) =− \ sin \ big (g (x) \ big). \ end {align*} \ nonumber \]
Ainsi, la dérivée de\(h(x)=\cos\big(g(x)\big)\) est donnée par\(h'(x)=−\sin\big(g(x)\big)\cdot g'(x).\)
Dans l'exemple suivant, nous appliquons la règle que nous venons de dériver.
Trouvez la dérivée de\(h(x)=\cos(5x^2).\)
Solution
Laissez\(g(x)=5x^2\). Alors\(g'(x)=10x\). En utilisant le résultat de l'exemple précédent,
\(h'(x)=−\sin(5x^2)⋅10x=−10x\sin(5x^2)\)
Trouvez la dérivée de\(h(x)=\text{sec}(4x^5+2x).\)
Solution
Appliquez la règle de la chaîne\(h(x)=\text{sec}\big(g(x)\big)\) pour obtenir
\(h'(x)=\text{sec}(g(x))\tan\big(g(x)\big)\cdot g'(x).\)
Dans ce problème, nous avons\(g(x)=4x^5+2x,\) donc.\(g'(x)=20x^4+2.\) Par conséquent, nous obtenons
\(h'(x)=\text{sec}(4x^5+2x)\tan(4x^5+2x)(20x^4+2)=(20x^4+2)\text{sec}(4x^5+2x)\tan(4x^5+2x).\)
Trouvez la dérivée de\(h(x)=\sin(7x+2).\)
- Allusion
-
Appliquez d'\(h(x)=\sin\big(g(x)\big)\)abord la règle de la chaîne, puis utilisez-la\(g(x)=7x+2\).
- Réponse
-
\(h'(x)=7\cos(7x+2)\)
À ce stade, nous fournissons une liste de formules dérivées qui peuvent être obtenues en appliquant la règle des chaînes conjointement avec les formules pour les dérivées des fonctions trigonométriques. Leurs dérivations sont similaires à celles utilisées dans les exemples ci-dessus. Pour des raisons pratiques, les formules sont également données dans la notation de Leibniz, que certains étudiants trouvent plus facile à retenir. (Nous discutons de la règle de chaîne en utilisant la notation de Leibniz à la fin de cette section.) Il n'est pas absolument nécessaire de les mémoriser sous forme de formules distinctes, car elles sont toutes des applications de la règle de chaîne à des formules apprises précédemment.
Pour toutes les valeurs\(x\) pour lesquelles la dérivée est définie,
| \(\dfrac{d}{dx}\Big(\sin(g(x))\Big)=\cos(g(x))\cdot g'(x)\) | \(\dfrac{d}{dx}\Big(\sin u\Big)=\cos u\cdot\dfrac{du}{dx}\) |
| \(\dfrac{d}{dx}\Big(\cos(g(x))\Big)=−\sin(g(x))\cdot g'(x)\) | \(\dfrac{d}{dx}\Big(\cos u\Big)=−\sin u\cdot\dfrac{du}{dx}\) |
| \(\dfrac{d}{dx}\Big(\tan(g(x))\Big)=\sec^2(g(x))\cdot g'(x)\) | \(\dfrac{d}{dx}\Big(\tan u\Big)= \text{sec}^2u\cdot\dfrac{du}{dx}\) |
| \(\dfrac{d}{dx}\Big(\cot(g(x))\Big)=−\text{csc}^2(g(x))\cdot g'(x)\) | \(\dfrac{d}{dx}\Big(\cot u\Big)=−\text{csc}^2u\cdot\dfrac{du}{dx}\) |
| \(\dfrac{d}{dx}\Big(\text{sec}(g(x))\Big)=\text{sec}(g(x))\tan(g(x))\cdot g'(x)\) | \(\dfrac{d}{dx}\Big(\text{sec}\,u\Big)=\text{sec}\,u\tan u\cdot\dfrac{du}{dx}\) |
| \(\dfrac{d}{dx}\Big(\text{csc}(g(x))\Big)=−\text{csc}(g(x))\cot(g(x))\cdot g'(x)\) | \(\dfrac{d}{dx}\Big(\text{csc}\,u\Big)=−\text{csc}\,u\cot u \cdot\dfrac{du}{dx}.\) |
Trouvez la dérivée de\(h(x)=(2x+1)^5(3x−2)^7\).
Solution
Appliquez d'abord la règle du produit, puis la règle de la chaîne à chaque terme du produit.
\ (\ begin {align*} h' (x) &= \ dfrac {d} {dx} \ big ((2x+1) ^5 \ big) ⋅ (3x−2) ^7+ \ dfrac {d} {dx} \ big ((3x−2) ^7 \ big) ⋅ (2x+1) ^5 & & & \ text {Appliquez la règle du produit.} \ \ [4] pt]
&=5 (2x+1) ^4⋅2⋅ (3x−2) ^7+7 (3x−2) ^6⋅3⋅ (2x+1) ^5 & & \ text {Appliquez la règle de la chaîne.} \ \ [4pt]
&=10 (2x+1) ^4 (3x−2) ^7+21 ( 3x−2) ^6 (2x+1) ^5 & & \ text {Simplifier.} \ \ [4 points]
& =( 2x+1) ^4 (3x−2) ^6 (10 (3x−2) +21 (2x+1)) & \ text {Facteur de sortie} (2x+1) ^4 (3x−2) ^6 \ \ [4 points] & =( 2x+1) ^4 (3x−2) ^6 \ \ [4 points]
& =( 2x+1) ^4 (3x−2) ^6 \ \ [4 points] & =( 2x+1) ^4 3x−2) ^6 (72x+1) & \ text {Simplifier.} \ end {align*} \)
Trouvez la dérivée de\(h(x)=\dfrac{x}{(2x+3)^3}\).
- Allusion
-
Commencez par appliquer la règle du quotient. N'oubliez pas d'utiliser la règle de la chaîne pour différencier le dénominateur.
- Réponse
-
\(h'(x)=\dfrac{3−4x}{(2x+3)^4}\)
Composites de trois fonctions ou plus
Nous pouvons désormais combiner la règle de chaîne avec d'autres règles pour différencier les fonctions, mais lorsque nous différencions la composition de trois fonctions ou plus, nous devons appliquer la règle de chaîne plusieurs fois. Si nous examinons cette situation en termes généraux, nous pouvons générer une formule, mais nous n'avons pas besoin de nous en souvenir, car nous pouvons simplement appliquer la règle de la chaîne plusieurs fois.
En termes généraux, nous laissons d'abord
\[k(x)=h\Big(f\big(g(x)\big)\Big).\nonumber \]
Ensuite, appliquer la règle de la chaîne une fois que nous avons obtenu
\[k'(x)=\dfrac{d}{dx}\Big(h\big(f\big(g(x)\big)\big)\Big)=h'\Big(f\big(g(x)\big)\Big)⋅\dfrac{d}{dx}\Big(f\big(g(x)\big)\Big).\nonumber \]
En appliquant à nouveau la règle de la chaîne, nous obtenons
\[k'(x)=h'\Big(f\big(g(x)\big)\Big)\cdot f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).\nonumber \]
Pour toutes les valeurs\(x\) pour lesquelles la fonction est dérivable, si
\(k(x)=h\Big(f\big(g(x)\big)\Big),\)
alors
\(k'(x)=h'\Big(f\big(g(x)\big)\Big)\cdot f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).\)
En d'autres termes, nous appliquons la règle de la chaîne deux fois.
Notez que la dérivée de la composition de trois fonctions comporte trois parties. (De même, la dérivée de la composition de quatre fonctions comporte quatre parties, et ainsi de suite.) N'oubliez pas non plus que nous pouvons toujours travailler de l'extérieur vers l'intérieur, en prenant un dérivé à la fois.
Trouvez la dérivée de\(k(x)=\cos^4(7x^2+1).\)
Solution
Tout d'abord, réécrivez\(k(x)\) comme
\(k(x)=\big(\cos(7x^2+1)\big)^4\).
Appliquez ensuite la règle de la chaîne plusieurs fois.
\ (\ begin {align*} k' (x) &=4 (\ cos (7x^2+1)) ^3 \ cdot \ dfrac {d} {dx} \ big (\ cos (7x^2+1) \ big) & \ text {Appliquez la règle de la chaîne.} \ \ [4pt]
&=4 (\ cos (7x^2+1)) ^3 (− \ sin \ sin (7x^2+1)) \ cdot \ dfrac {d} {dx} \ big (7x^2+1 \ big) & \ text {Appliquez la règle de la chaîne.} \ \ [4pt]
&=4 (\ cos (7x^2+1)) ^3 (− \ sin (7x^2+1)) (14x) & & \ text {Appliquez la règle de la chaîne.} \ \ [4pt]
&=−56x \ sin (7x^2+1) \ cos^3 (7x^2+1) & & \ text {Simplify} \ end {align*} \)
Trouvez la dérivée de\(h(x)=\sin^6(x^3).\)
- Allusion
-
Réécrivez\(h(x)=\sin^6(x^3)=\big(\sin(x^3)\big)^6\) et utilisez Example\(\PageIndex{8}\) comme guide.
- Réponse
-
\(h'(x)=18x^2\sin^5(x^3)\cos(x^3)\)
Une particule se déplace le long d'un axe de coordonnées. Sa position à l'instant t est donnée par\(s(t)=\sin(2t)+\cos(3t)\). Quelle est la vitesse de la particule dans le temps\(t=\dfrac{π}{6}\) ?
Solution
Pour déterminer\(v(t)\) la vitesse de la particule dans le temps\(t\), il faut la différencier\(s(t)\). Ainsi,
\[v(t)=s'(t)=2\cos(2t)−3\sin(3t).\nonumber \]
À ce stade, nous présentons une preuve très informelle de la règle de la chaîne. Par souci de simplicité, nous ignorons certains problèmes : par exemple, nous supposons que\(g(x)≠g(a)\) pour\(x≠a\) un intervalle ouvert contenant\(a\). Nous commençons par appliquer la définition limite de la dérivée à la fonction\(h(x)\) pour obtenir\(h'(a)\) :
\[h'(a)=\lim_{x→a}\dfrac{f\big(g(x)\big)−f\big(g(a)\big)}{x−a}. \nonumber \]
Réécriture, nous obtenons
\[h'(a)=\lim_{x→a}\dfrac{f\big(g(x)\big)−f\big(g(a)\big)}{g(x)−g(a)}⋅\dfrac{g(x)−g(a)}{x−a}. \nonumber \]
Bien qu'il soit clair que
\[\lim_{x→a}\dfrac{g(x)−g(a)}{x−a}=g'(a), \nonumber \]
il n'est pas évident que
\[\lim_{x→a}\dfrac{f\big(g(x)\big)−f\big(g(a)\big)}{g(x)−g(a)}=f'\big(g(a)\big). \nonumber \]
Pour voir que cela est vrai, rappelons d'abord que puisque\(g\) c'est différenciable à\(a\),\(g\) est également continu à\(a.\) Ainsi,
\[\lim_{x→a}g(x)=g(a). \nonumber \]
Ensuite, effectuez la substitution\(y=g(x)\)\(b=g(a)\) et utilisez la modification des variables dans la limite pour obtenir
\[\lim_{x→a}\dfrac{f\big(g(x)\big)−f \big(g(a) \big)}{g(x)−g(a)}=\lim_{y→b}\dfrac{f(y)−f(b)}{y−b}=f'(b)=f'\big(g(a)\big). \nonumber \]
Enfin,
\[h'(a)=\lim_{x→a}\dfrac{f\big(g(x)\big)−f\big(g(a)\big )}{g(x)−g(a)}⋅\dfrac{g(x)−g(a)}{x−a}=f'\big(g(a)\big)\cdot g'(a). \nonumber \]
□
Laissez\(h(x)=f\big(g(x)\big).\)\(g(1)=4,g'(1)=3\) If\(f'(4)=7\) et trouvez\(h'(1).\)
Solution
Utilisez la règle de chaîne, puis remplacez-la.
\ [\ begin {align*} h' (1) &=f' \ big (g (1) \ big) \ cdot g' (1) & \ text {Appliquez la règle de la chaîne.} \ \ [4pt]
&=f' (4) ⋅3 & & \ text {Substitut} \ ; g (1) =4 \ ; \ text {et} \ ; g' (1) =3 \. [4 points]
&=7⋅3 & & \ text {Substitut} \ ; f' (4) =7. \ \ [4 points]
&=21 & & \ texte {Simplifier.} \ end {align*} \ nonumber \]
Donné\(h(x)=f(g(x))\). Si\(g(2)=−3,g'(2)=4,\) et\(f'(−3)=7\), trouvez\(h'(2)\).
- Allusion
-
Suivez l'exemple\(\PageIndex{10}\).
- Réponse
-
28
La règle de chaîne utilisant la notation de Leibniz
Comme pour les autres dérivés que nous avons vus, nous pouvons exprimer la règle de la chaîne en utilisant la notation de Leibniz. Cette notation pour la règle de chaîne est largement utilisée dans les applications de physique.
Pour\(h(x)=f(g(x)),\) let\(u=g(x)\) et\(y=h(x)=f(u).\) ainsi,
\[h'(x)=\dfrac{dy}{dx}\nonumber \]
\[f'(g(x))=f'(u)=\dfrac{dy}{du}\nonumber \]
et
\[g'(x)=\dfrac{du}{dx}.\nonumber \]
Par conséquent,
\[\dfrac{dy}{dx}=h'(x)=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x)=\dfrac{dy}{du}⋅\dfrac{du}{dx}.\nonumber \]
Si\(y\) est fonction de\(u\), et\(u\) est fonction de\(x\), alors
\[\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}⋅\dfrac{du}{dx}. \nonumber \]
Trouvez la dérivée de\(y=\left(\dfrac{x}{3x+2}\right)^5.\)
Solution
Tout d'abord, laissez\(u=\dfrac{x}{3x+2}\). Ainsi,\(y=u^5\). Ensuite, trouvez\(\dfrac{du}{dx}\) et\(\dfrac{dy}{du}\). En utilisant la règle du quotient,
\(\dfrac{du}{dx}=\dfrac{2}{(3x+2)^2}\)
et
\(\dfrac{dy}{du}=5u^4\).
Enfin, nous avons tout rassemblé.
\ [\ begin {align*} \ dfrac {dy} {dx} &= \ dfrac {dy} {du} ⋅ \ dfrac {du} {dx} & & \ text {Appliquez la règle de la chaîne.} \ \ [4pt]
&=5u^4⋅ \ dfrac {2} {(3x+2) ^2} & & & \ text {Substitut} \ ; \ frac {dy} {du} =5u^4 \ ; \ text {et} \ ; \ frac {du} {dx} = \ frac {2} {(3x+2) ^2}. \ \ [4 points]
&=5 \ left (\ dfrac {x} {3x+2} \ right) ^4⋅ \ dfrac {2} {(3x+2) ^2} & & \ text {Substitut} \ ; u= \ frac {x} {3x+2}. \ \ [4pt]
&= \ dfrac {10x^4} {(3x+2) ^6} & & \ text {Simplifier.} \ end {align*} \]
Il est important de se rappeler que, lorsque vous utilisez la forme Leibniz de la règle de chaîne, la réponse finale doit être entièrement exprimée en termes de variable initiale donnée dans le problème.
Trouvez la dérivée de\(y=\tan(4x^2−3x+1).\)
Solution
D'abord, laissez\(u=4x^2−3x+1.\) Then\(y=\tan u\). Ensuite, recherchez\(\dfrac{du}{dx}\) et\(\dfrac{dy}{du}\) :
\(\dfrac{du}{dx}=8x−3\)et\(\dfrac{dy}{du}=\text{sec}^2u.\)
Enfin, nous avons tout rassemblé.
\ [\ begin {align*} \ dfrac {dy} {dx} &= \ dfrac {dy} {du} ⋅ \ dfrac {du} {dx} & & \ text {Appliquez la règle de la chaîne.} \ \ [4pt]
&= \ text {sec} ^2u⋅ (8x−3) & & \ text {Use} \ ; \ dfrac {du} dfrac {d} d2u⋅ (8x−3) & & \ text {Use} \ ; \ dfrac {du} dfrac {d} x} =8x−3 \ ; \ text {et} \ ; \ dfrac {dy} {du} = \ text {sec} ^2u. \ \ [4 points]
&= \ text {sec} ^2 (4x^2−3x+1) ⋅ (8x−3) & & amp ; \ text {Substitut} \ ; u=4x^2−3x+1. \ end {align*} \ nonumber \]
Utilisez la notation de Leibniz pour trouver la dérivée de\(y=\cos(x^3)\). Assurez-vous que la réponse finale est entièrement exprimée en termes de variable\(x\).
- Allusion
-
Laissez\(u=x^3\).
- Réponse
-
\(\dfrac{dy}{dx}=−3x^2\sin(x^3).\)
Concepts clés
- La règle de la chaîne nous permet de différencier les compositions de deux fonctions ou plus. Il indique que pour\(h(x)=f\big(g(x)\big),\)
\(h'(x)=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).\)
Dans la notation de Leibniz, cette règle prend la forme
\(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}⋅\dfrac{du}{dx}\).
- Nous pouvons utiliser la règle de la chaîne avec d'autres règles que nous avons apprises, et nous pouvons dériver des formules pour certaines d'entre elles.
- La règle de chaîne se combine à la règle de puissance pour former une nouvelle règle :
Si\(h(x)=\big(g(x)\big)^n\), alors\(h'(x)=n\big(g(x)\big)^{n−1}\cdot g'(x)\).
- Appliquée à la composition de trois fonctions, la règle de la chaîne peut être exprimée comme suit :\(h(x)=f\Big(g\big(k(x)\big)\Big),\) Si\(h'(x)=f'\Big(g\big(k(x)\big)\Big)\cdot g'\big(k(x)\big)\cdot k'(x).\)
Équations clés
- La règle de la chaîne
\(h'(x)=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x)\)
- La règle de puissance pour les fonctions
\(h'(x)=n\big(g(x)\big)^{n−1}\cdot g'(x)\)
Lexique
- règle de chaîne
- la règle de chaîne définit la dérivée d'une fonction composite comme étant la dérivée de la fonction externe évaluée à la fonction interne multipliée par la dérivée de la fonction interne