3.3E : Exercices pour la section

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Dans les exercices 1 à 12, trouvez$f'(x)$ pour chaque fonction.

1)$f(x)=x^7+10$

2)$f(x)=5x^3−x+1$

Réponse: $f'(x)=15x^2−1$

3)$f(x)=4x^2−7x$

4)$f(x)=8x^4+9x^2−1$

Réponse: $f'(x) = 32x^3+18x$

5)$f(x)=x^4+2x$

6)$f(x)=3x\left(18x^4+\dfrac{13}{x+1}\right)$

Réponse: $f'(x) = 270x^4+\dfrac{39}{(x+1)^2}$

7)$f(x)=(x+2)(2x^2−3)$

8)$f(x)=x^2\left(\dfrac{2}{x^2}+\dfrac{5}{x^3}\right)$

Réponse: $f'(x) = \dfrac{−5}{x^2}$

9)$f(x)=\dfrac{x^3+2x^2−4}{3}$

10)$f(x)=\dfrac{4x^3−2x+1}{x^2}$

Réponse: $f'(x) = \dfrac{4x^4+2x^2−2x}{x^4}$

11)$f(x)=\dfrac{x^2+4}{x^2−4}$

(12)$f(x)=\dfrac{x+9}{x^2−7x+1}$

Réponse: $f'(x) = \dfrac{−x^2−18x+64}{(x^2−7x+1)^2}$

Dans les exercices 13 à 16, trouvez l'équation de la tangente$T(x)$ au graphe de la fonction donnée au point indiqué. Utilisez une calculatrice graphique pour représenter graphiquement la fonction et la tangente.

13) [T]$y=3x^2+4x+1$ at$(0,1)$

14) [T]$y=2\sqrt{x}+1$ at$(4,5)$

Réponse

$T(x)=\frac{1}{2}x+3$

$Ce graphique présente une ligne droite avec une intersection y proche de 0 et une pente légèrement inférieure à 3.$

15) [T]$y=\dfrac{2x}{x−1}$ at$(−1,1)$

16) [T]$y=\dfrac{2}{x}−\dfrac{3}{x^2}$ at$(1,−1)$

Réponse

$T(x)=4x−5$

$Le graphique y représente deux croissants, le croissant du troisième quadrant étant légèrement incliné de (−3, −1) à (−1, −5) et l'autre croissant étant plus incliné de (0,8, −5) à (3, 0,2). La droite T (x) est tracée (0, -5) avec une pente de 4.$

Dans les exercices 17 à 20, supposons que$f(x)$ et$g(x)$ sont toutes deux des fonctions différenciables pour tous$x$. Déterminez la dérivée de chacune des fonctions$h(x)$.

17)$h(x)=4f(x)+\dfrac{g(x)}{7}$

18)$h(x)=x^3f(x)$

Réponse: $h'(x)=3x^2f(x)+x^3f′(x)$

19)$h(x)=\dfrac{f(x)g(x)}{2}$

(20)$h(x)=\dfrac{3f(x)}{g(x)+2}$

Réponse: $h'(x)=\dfrac{3f′(x)(g(x)+2)−3f(x)g′(x)}{(g(x)+2)^2}$

Pour les exercices 21 à 24, supposons que$f(x)$ et$g(x)$ sont toutes deux des fonctions dérivables dont les valeurs sont indiquées dans le tableau suivant. Utilisez le tableau suivant pour calculer les dérivées suivantes.

$x$	1	2	3	4
$f(x)$	3	5	−2	0
$g(x)$	2	3	−4	6
$f′(x)$	−1	7	8	−3
$g′(x)$	4	1	2	9

21)$h′(1)$ Trouvez-le$h(x)=x f(x)+4g(x)$.

22)$h′(2)$ Trouvez-le$h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$.

Réponse: $h'(2) =\frac{16}{9}$

23)$h′(3)$ Trouvez-le$h(x)=2x+f(x)g(x)$.

24)$h′(4)$ Trouvez-le$h(x)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{g(x)}{f(x)}$.

Réponse: $h'(4)$n'est pas défini.

Dans les exercices 25 à 27, utilisez la figure suivante pour trouver les dérivées indiquées, si elles existent.

$Deux fonctions sont représentées graphiquement : f (x) et g (x). La fonction f (x) commence à (-1, 5) et diminue linéairement jusqu'à (3, 1), point auquel elle augmente linéairement jusqu'à (5, 3). La fonction g (x) commence à l'origine, augmente linéairement jusqu'à (2,5, 2,5), puis reste constante à y = 2,5.$

25) Laissez$h(x)=f(x)+g(x)$. Trouvez

a)$h′(1)$,

b)$h′(3)$, et

c)$h′(4)$.

26) Laissez$h(x)=f(x)g(x).$ trouver

a)$h′(1),$

b)$h′(3)$, et

c)$h′(4).$

Réponse: a.$h'(1) = 2$,
b.$h'(3)$ n'existe pas,
c.$h'(4) = 2.5$

27) Laisse$h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}.$ trouver

a)$h′(1),$

b)$h′(3)$, et

c)$h′(4).$

Dans les exercices 28 à 31,

a) évaluer$f′(a)$, et

b) représenter graphiquement la fonction$f(x)$ et la tangente à$x=a$.

28) [T]$f(x)=2x^3+3x−x^2, \quad a=2$

Réponse

a. 23
b.$y=23x−28$

$Le graphe est une fonction cubique légèrement déformée passant par l'origine. La tangente est tracée à travers (0, −28) avec une pente 23.$

29) [T]$f(x)=\dfrac{1}{x}−x^2, \quad a=1$

30) [T]$f(x)=x^2−x^{12}+3x+2, \quad a=0$

Réponse

a.$3$
b.$y=3x+2$

$Le graphique commence dans le troisième quadrant, augmente rapidement et passe par l'axe x à proximité de −0,9, puis augmente à une vitesse plus faible, passe par (0, 2), augmente jusqu'à (1, 5), puis diminue rapidement et passe par l'axe des x à proximité de 1,2.$

31) [T]$f(x)=\dfrac{1}{x}−x^{2/3}, \quad a=−1$

32) Trouvez l'équation de la tangente au graphe de$f(x)=2x^3+4x^2−5x−3$ at$x=−1.$

Réponse: $y=−7x−3$

33) Trouvez l'équation de la tangente au graphe de$f(x)=x^2+\dfrac{4}{x}−10$ at$x=8$.

34) Trouvez l'équation de la tangente au graphe de$f(x)=(3x−x^2)(3−x−x^2)$ at$x=1$.

Réponse: $y=−5x+7$

35) Trouvez le point sur le graphique de$f(x)=x^3$ telle sorte que la tangente à ce point ait une$x$ intersection -de$(6,0)$.

36) Trouvez l'équation de la droite passant par le point$P(3,3)$ et tangente au graphe de$f(x)=\dfrac{6}{x−1}$.

Réponse: $y=−\frac{3}{2}x+\frac{15}{2}$

37) Déterminez tous les points du graphique$f(x)=x^3+x^2−x−1$ pour lesquels la pente de la tangente est

a. horizontal

b. −1.

38) Trouvez un polynôme quadratique tel que$f(1)=5,\; f′(1)=3$ et$f''(1)=−6.$

Réponse: $y=−3x^2+9x−1$

39) Une voiture circulant le long d'une autoroute très fréquentée a parcouru des$s(t)=t^3−6t^2+9t$ mètres en$t$ quelques secondes.

a. Déterminez le temps en secondes pendant lequel la vitesse de la voiture est de 0.

b. Déterminez l'accélération de la voiture lorsque la vitesse est nulle.

40) [T] Un hareng nageant le long d'une ligne droite a parcouru les$s(t)=\dfrac{t^2}{t^2+2}$ pieds$t$

secondes. Déterminez la vitesse du hareng lorsqu'il a parcouru 3 secondes.

Réponse: $\frac{12}{121}$soit 0,0992 pieds/s

41) La population de millions de flet arctique dans l'océan Atlantique est modélisée par la fonction$P(t)=\dfrac{8t+3}{0.2t^2+1}$, où elle$t$ est mesurée en années.

a. Déterminez la population initiale de flet.

b. Déterminez$P′(10)$ et interprétez brièvement le résultat.

42) [T] La concentration d'antibiotique dans le sang$t$ quelques heures après l'injection est donnée par la fonction$C(t)=\dfrac{2t^2+t}{t^3+50}$, où elle$C$ est mesurée en milligrammes par litre de sang.

a. Déterminez le taux de variation de$C(t).$

b. Déterminer le taux de variation pour$t=8,12,24$, et$36$.

c. Décrivez brièvement ce qui semble se produire à mesure que le nombre d'heures augmente.

Réponse: a.$\dfrac{−2t^4−2t^3+200t+50}{(t^3+50)^2}$
b.$−0.02395$ mg/l-h, mg/l-h,$−0.01344$ mg/l-h,$−0.003566$ mg/l-h,$−0.001579$ mg/l-h
c. La vitesse à laquelle la concentration du médicament dans le sang diminue à 0 au fur et à mesure que le temps passe.

43) Un éditeur de livres a une fonction de coût donnée par$C(x)=\dfrac{x^3+2x+3}{x^2}$, où$x$ est le nombre d'exemplaires d'un livre en milliers et$C$ le coût, par livre, mesuré en dollars. Évaluez$C′(2)$ et expliquez sa signification.

44) [T] Selon la loi de la gravitation universelle de Newton, la force$F$ entre deux corps de masse$m_1$ constante$m_2$ est donnée par la formule$F=\dfrac{Gm_1m_2}{d^2}$, où$G$ est la constante gravitationnelle et$d$ la distance entre les corps.

a. Supposons que$G,m_1,$ et$m_2$ soient des constantes. Détermine le taux de variation de la force$F$ par rapport à la distance$d$.

b. Déterminez le taux de variation de la force$F$ avec la constante gravitationnelle$G=6.67×10^{−11} \text{Nm}^2/\text{kg}^2$, sur deux corps distants de 10 mètres, chacun ayant une masse de 1 000 kilogrammes.

Réponse: a.$F'(d)=\dfrac{−2Gm_1m_2}{d_3}$
b.$−1.33×10^{−7}$ N/m

\(x\)	1	2	3	4
\(f(x)\)	3	5	−2	0
\(g(x)\)	2	3	−4	6
\(f′(x)\)	−1	7	8	−3
\(g′(x)\)	4	1	2	9