2.6 : Chapitre 2 : Exercices de révision

Vrai ou Faux. Dans les exercices 1 à 4, justifiez votre réponse par une preuve ou un contre-exemple.

1) Une fonction doit être continue\(x=a\) si\(\displaystyle \lim_{x→a}f(x)\) elle existe.

2) Vous pouvez utiliser la règle du quotient pour évaluer\(\displaystyle \lim_{x→0}\frac{\sin x}{x}\).

Réponse

Faux, car on ne peut pas avoir\(\displaystyle \lim_{x→0}x=0\) dans le dénominateur.

3) S'il existe une asymptote verticale\(x=a\) pour la fonction\(f(x)\), elle n'\(f\)est pas définie au point\(x=a\).

4) S'il\(\displaystyle \lim_{x→a}f(x)\) n'existe pas, alors n'\(f\)est pas défini à ce stade\(x=a\).

Réponse

Faux. Une discontinuité de saut est possible.

5) À l'aide du graphique, trouvez chaque limite ou expliquez pourquoi la limite n'existe pas.

un.\(\displaystyle \lim_{x→−1}f(x)\)

b.\(\displaystyle \lim_{x→1}f(x)\)

c.\(\displaystyle \lim_{x→0^+}f(x)\)

d.\(\displaystyle \lim_{x→2}f(x)\)

1, commençant par le cercle ouvert en (1,1)." style="width: 192px; height: 272px;" width="192px" height="272px" src="https://math.libretexts.org/@api/dek...02_05_207.jpeg">

Dans les exercices 6 à 15, évaluez la limite de manière algébrique ou expliquez pourquoi elle n'existe pas.

6)\(\displaystyle \lim_{x→2}\frac{2x^2−3x−2}{x−2}\)

Réponse

\(5\)

7)\(\displaystyle \lim_{x→0}3x^2−2x+4\)

8)\(\displaystyle \lim_{x→3}\frac{x^3−2x^2−1}{3x−2}\)

Réponse

\(8/7\)

9)\(\displaystyle \lim_{x→π/2}\frac{\cot x}{\cos x}\)

10)\(\displaystyle \lim_{x→−5}\frac{x^2+25}{x+5}\)

Réponse

FAIT

11)\(\displaystyle \lim_{x→2}\frac{3x^2−2x−8}{x^2−4}\)

(12)\(\displaystyle \lim_{x→1}\frac{x^2−1}{x^3−1}\)

Réponse

\(2/3\)

13)\(\displaystyle \lim_{x→1}\frac{x^2−1}{\sqrt{x}−1}\)

(14)\(\displaystyle \lim_{x→4}\frac{4−x}{\sqrt{x}−2}\)

Réponse

\(−4\)

(15)\(\displaystyle \lim_{x→4}\frac{1}{\sqrt{x}−2}\)

Dans les exercices 16 à 17, utilisez le théorème de compression pour prouver la limite.

16)\(\displaystyle \lim_{x→0}x^2\cos(2πx)=0\)

Réponse

Depuis\(−1≤\cos(2πx)≤1\), alors\(−x^2≤x^2\cos(2πx)≤x^2\). Depuis\(\displaystyle \lim_{x→0}x^2=0=\lim_{x→0}−x^2\), il s'ensuit que\(\displaystyle \lim_{x→0}x^2\cos(2πx)=0\).

17)\(\displaystyle \lim_{x→0}x^3\sin\left(\frac{π}{x}\right)=0\)

18) Déterminez le domaine de telle sorte que la fonction\(f(x)=\sqrt{x−2}+xe^x\) soit continue sur son domaine.

Réponse

\([2,∞]\)

Dans les exercices 19 à 20, déterminez la valeur de\(c\) telle sorte que la fonction reste continue. Dessinez la fonction résultante pour vous assurer qu'elle est continue.

19)\(f(x)=\begin{cases}x^2+1, & \text{if } x>c\\2^x, & \text{if } x≤c\end{cases}\)

(20)\(f(x)=\begin{cases}\sqrt{x+1}, & \text{if } x>−1\\x^2+c, & \text{if } x≤−1\end{cases}\)

Dans les exercices 21 à 22, utilisez la définition précise de la limite pour prouver la limite.

(21)\(\displaystyle \lim_{x→1}\,(8x+16)=24\)

(22)\(\displaystyle \lim_{x→0}x^3=0\)

Réponse

\(δ=\sqrt[3]{ε}\)

23) Une balle est lancée en l'air et la position verticale est donnée par\(x(t)=−4.9t^2+25t+5\). Utilisez le théorème des valeurs intermédiaires pour montrer que la balle doit atterrir au sol entre 5 secondes et 6 secondes après le lancer.

24) Une particule se déplaçant le long d'une ligne se déplace selon la fonction\(x(t)=t^2−2t+4\), où elle\(x\) est mesurée en mètres et\(t\) en secondes. Détermine la vitesse moyenne sur la période\(t=[0,2]\).

Réponse

\(0\)m/sec

25) À partir des exercices précédents, estimez la vitesse instantanée à\(t=2\) en vérifiant la vitesse moyenne en\(t=0.01\) secondes.