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2.6 : Chapitre 2 : Exercices de révision

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    Vrai ou Faux. Dans les exercices 1 à 4, justifiez votre réponse par une preuve ou un contre-exemple.

    1) Une fonction doit être continue\(x=a\) si\(\displaystyle \lim_{x→a}f(x)\) elle existe.

    2) Vous pouvez utiliser la règle du quotient pour évaluer\(\displaystyle \lim_{x→0}\frac{\sin x}{x}\).

    Réponse
    Faux, car on ne peut pas avoir\(\displaystyle \lim_{x→0}x=0\) dans le dénominateur.

    3) S'il existe une asymptote verticale\(x=a\) pour la fonction\(f(x)\), elle n'\(f\)est pas définie au point\(x=a\).

    4) S'il\(\displaystyle \lim_{x→a}f(x)\) n'existe pas, alors n'\(f\)est pas défini à ce stade\(x=a\).

    Réponse
    Faux. Une discontinuité de saut est possible.

    5) À l'aide du graphique, trouvez chaque limite ou expliquez pourquoi la limite n'existe pas.

    un.\(\displaystyle \lim_{x→−1}f(x)\)

    b.\(\displaystyle \lim_{x→1}f(x)\)

    c.\(\displaystyle \lim_{x→0^+}f(x)\)

    d.\(\displaystyle \lim_{x→2}f(x)\)

    Graphe d'une fonction par morceaux comportant plusieurs segments. La première est une courbe ascendante concave décroissante qui existe pour x < -1. Il se termine par un cercle ouvert en (-1, 1). La seconde est une fonction linéaire croissante commençant à (-1, -2) et se terminant à (0, -1). La troisième est une courbe descendante concave croissante qui s'étend d'un cercle ouvert à (0,0) à un cercle ouvert à (1,1). Le quatrième est un cercle fermé en (1, -1). La cinquième est une droite sans pente pour x 1, commençant par le cercle ouvert en (1,1)." style="width: 192px; height: 272px;" width="192px" height="272px" src="https://math.libretexts.org/@api/dek...02_05_207.jpeg">

    Dans les exercices 6 à 15, évaluez la limite de manière algébrique ou expliquez pourquoi elle n'existe pas.

    6)\(\displaystyle \lim_{x→2}\frac{2x^2−3x−2}{x−2}\)

    Réponse
    \(5\)

    7)\(\displaystyle \lim_{x→0}3x^2−2x+4\)

    8)\(\displaystyle \lim_{x→3}\frac{x^3−2x^2−1}{3x−2}\)

    Réponse
    \(8/7\)

    9)\(\displaystyle \lim_{x→π/2}\frac{\cot x}{\cos x}\)

    10)\(\displaystyle \lim_{x→−5}\frac{x^2+25}{x+5}\)

    Réponse
    FAIT

    11)\(\displaystyle \lim_{x→2}\frac{3x^2−2x−8}{x^2−4}\)

    (12)\(\displaystyle \lim_{x→1}\frac{x^2−1}{x^3−1}\)

    Réponse
    \(2/3\)

    13)\(\displaystyle \lim_{x→1}\frac{x^2−1}{\sqrt{x}−1}\)

    (14)\(\displaystyle \lim_{x→4}\frac{4−x}{\sqrt{x}−2}\)

    Réponse
    \(−4\)

    (15)\(\displaystyle \lim_{x→4}\frac{1}{\sqrt{x}−2}\)

    Dans les exercices 16 à 17, utilisez le théorème de compression pour prouver la limite.

    16)\(\displaystyle \lim_{x→0}x^2\cos(2πx)=0\)

    Réponse
    Depuis\(−1≤\cos(2πx)≤1\), alors\(−x^2≤x^2\cos(2πx)≤x^2\). Depuis\(\displaystyle \lim_{x→0}x^2=0=\lim_{x→0}−x^2\), il s'ensuit que\(\displaystyle \lim_{x→0}x^2\cos(2πx)=0\).

    17)\(\displaystyle \lim_{x→0}x^3\sin\left(\frac{π}{x}\right)=0\)

    18) Déterminez le domaine de telle sorte que la fonction\(f(x)=\sqrt{x−2}+xe^x\) soit continue sur son domaine.

    Réponse
    \([2,∞]\)

    Dans les exercices 19 à 20, déterminez la valeur de\(c\) telle sorte que la fonction reste continue. Dessinez la fonction résultante pour vous assurer qu'elle est continue.

    19)\(f(x)=\begin{cases}x^2+1, & \text{if } x>c\\2^x, & \text{if } x≤c\end{cases}\)

    (20)\(f(x)=\begin{cases}\sqrt{x+1}, & \text{if } x>−1\\x^2+c, & \text{if } x≤−1\end{cases}\)

    Dans les exercices 21 à 22, utilisez la définition précise de la limite pour prouver la limite.

    (21)\(\displaystyle \lim_{x→1}\,(8x+16)=24\)

    (22)\(\displaystyle \lim_{x→0}x^3=0\)

    Réponse
    \(δ=\sqrt[3]{ε}\)

    23) Une balle est lancée en l'air et la position verticale est donnée par\(x(t)=−4.9t^2+25t+5\). Utilisez le théorème des valeurs intermédiaires pour montrer que la balle doit atterrir au sol entre 5 secondes et 6 secondes après le lancer.

    24) Une particule se déplaçant le long d'une ligne se déplace selon la fonction\(x(t)=t^2−2t+4\), où elle\(x\) est mesurée en mètres et\(t\) en secondes. Détermine la vitesse moyenne sur la période\(t=[0,2]\).

    Réponse
    \(0\)m/sec

    25) À partir des exercices précédents, estimez la vitesse instantanée à\(t=2\) en vérifiant la vitesse moyenne en\(t=0.01\) secondes.