2 : Limites
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L'idée d'une limite est au cœur de tout calcul. Nous commençons ce chapitre en examinant pourquoi les limites sont si importantes. Ensuite, nous décrivons comment déterminer la limite d'une fonction à un point donné. Toutes les fonctions n'ont pas de limites à tout point, et nous discutons de ce que cela signifie et de la manière dont nous pouvons déterminer si une fonction a ou non une limite à une valeur donnée. Ce chapitre a été créé de manière informelle et intuitive, mais cela ne suffit pas toujours si nous devons prouver une déclaration mathématique impliquant des limites. La dernière section de ce chapitre présente la définition plus précise d'une limite et montre comment prouver si une fonction possède une limite.
- 2.0 : Prélude aux limites
- Nous commençons ce chapitre en examinant pourquoi les limites sont si importantes. Ensuite, nous décrivons comment déterminer la limite d'une fonction à un point donné. Toutes les fonctions n'ont pas de limites à tout point, et nous discutons de ce que cela signifie et de la manière dont nous pouvons déterminer si une fonction a ou non une limite à une valeur donnée. La dernière section de ce chapitre présente la définition plus précise d'une limite et montre comment prouver si une fonction possède une limite.
- 2.1 : Un aperçu du calcul
- Alors que nous entamons notre étude du calcul, nous verrons comment son développement est né de solutions communes à des problèmes pratiques dans des domaines tels que la physique de l'ingénierie, comme le problème des voyages dans l'espace posé dans l'ouverture du chapitre. Deux problèmes clés ont conduit à la formulation initiale du calcul : (1) le problème de tangente, ou comment déterminer la pente d'une droite tangente à une courbe en un point ; et (2) le problème de surface, ou comment déterminer l'aire sous une courbe.
- 2.2 : La limite d'une fonction
- Un tableau de valeurs ou un graphique peuvent être utilisés pour estimer une limite. Si la limite d'une fonction à un point n'existe pas, il est toujours possible que les limites de gauche et de droite à ce point existent. Si les limites d'une fonction à gauche et à droite existent et sont égales, alors la limite de la fonction est cette valeur commune. Nous pouvons utiliser des limites pour décrire le comportement infini d'une fonction à un point.
- 2.3 : Les lois limites
- Dans cette section, nous établissons des lois pour le calcul des limites et apprenons comment appliquer ces lois. Dans le projet étudiant à la fin de cette section, vous avez la possibilité d'appliquer ces lois limites pour dériver la formule de l'aire d'un cercle en adaptant une méthode conçue par le mathématicien grec Archimède. Nous commençons par reformuler deux résultats de limites utiles de la section précédente. Ces deux résultats, ainsi que les lois limites, servent de base au calcul de nombreuses limites.
- 2.4 : Continuité
- Pour qu'une fonction soit continue en un point, elle doit être définie à ce point, sa limite doit exister au point et la valeur de la fonction à ce point doit être égale à la valeur de la limite à ce point. Les discontinuités peuvent être classées comme amovibles, sauteuses ou infinies. Une fonction est continue sur un intervalle ouvert si elle est continue à chaque point de l'intervalle. Il est continu sur un intervalle fermé s'il est continu en tout point de son intérieur et continu à ses extrémités.
- 2.5 : La définition précise d'une limite
- Dans cette section, nous transformons cette idée intuitive d'une limite en une définition formelle à l'aide d'un langage mathématique précis. La définition formelle d'une limite est probablement l'une des définitions les plus difficiles que vous rencontrerez au début de votre étude du calcul ; toutefois, tout effort que vous faites pour la concilier avec votre notion intuitive d'une limite vaut la peine. La compréhension de cette définition est la clé qui ouvre la voie à une meilleure compréhension du calcul.
Miniature : La fonction\(f(x)=1/(x−a)^n\) a des limites infinies à\(a\). (CC BY ; OpenStax)