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2.1E : Exercices pour la section 2.1

  • Page ID
    197971
    • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
    • OpenStax
    \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Pour les exercices 1 à 3, les points\(P(1,2)\) et\(Q(x,y)\) sont sur le graphique de la fonction\(f(x)=x^2+1\).

    1) [T] Complétez le tableau suivant avec les valeurs appropriées :\(y\) -coordonnée de\(Q\)\(Q(x,y)\), point et pente de la ligne sécante passant par les points\(P\) et\(Q\). Arrondissez votre réponse à huit chiffres significatifs.

    \(x\) \(y\) \(Q(x,y)\) \(m_{sec}\)
    \ (x \) » style="text-align:center ; « >1.1 \ (y \) » style="text-align:center ; « >a. \ (Q (x, y) \) » style="text-align:center ; « >e. \ (m_ {sec} \) » style="text-align:center ; « >i.
    \ (x \) » style="text-align:center ; « >1,01 \ (y \) » style="text-align:center ; « >b. \ (Q (x, y) \) » style="text-align:center ; « >f. \ (m_ {sec} \) » style="text-align:center ; « >j.
    \ (x \) » style="text-align:center ; « >1,001 \ (y \) » style="text-align:center ; « >c. \ (Q (x, y) \) » style="text-align:center ; « >g. \ (m_ {sec} \) » style="text-align:center ; « >k.
    \ (x \) » style="text-align:center ; « >1.0001 \ (y \) » style="text-align:center ; « >d. \ (Q (x, y) \) » style="text-align:center ; « >h. \ (m_ {sec} \) » style="text-align:center ; « >l.
    Réponse
    a. 2,2100000
    b. 2,0201000
    c. 2,0020010
    d. 2,0002000
    e. (1,100000, 2,2100000)
    f. (1,0100000, 2,0201000)
    g. (1,0010000, 2,0020010)
    h. (1,0001000, 2,0002000)
    i. 2. 1000000
    j. 2.0100000
    k. 2.0010000
    l. 2.0001000

    2) Utilisez les valeurs de la colonne de droite du tableau de l'exercice précédent pour deviner la valeur de la pente de la droite tangente à\(f\) at\(x=1\).

    3) Utilisez la valeur de l'exercice précédent pour trouver l'équation de la tangente au point\(P\). Graphe\(f(x)\) et ligne tangente.

    Réponse
    \(y=2x\)

    Pour les exercices 4 à 6, les points\(P(1,1)\) et\(Q(x,y)\) sont sur le graphique de la fonction\(f(x)=x^3\).

    4) [T] Complétez le tableau suivant avec les valeurs appropriées :\(y\) -coordonnée de\(Q\)\(Q(x,y)\), point et pente de la ligne sécante passant par les points\(P\) et\(Q\). Arrondissez votre réponse à huit chiffres significatifs.

    \(x\) \(y\) \(Q(x,y)\) \(m_{sec}\)
    \ (x \) » style="text-align:center ; « >1.1 \ (y \) » style="text-align:center ; « >a. \ (Q (x, y) \) » style="text-align:center ; « >e. \ (m_ {sec} \) » style="text-align:center ; « >i.
    \ (x \) » style="text-align:center ; « >1,01 \ (y \) » style="text-align:center ; « >b. \ (Q (x, y) \) » style="text-align:center ; « >f. \ (m_ {sec} \) » style="text-align:center ; « >j.
    \ (x \) » style="text-align:center ; « >1,001 \ (y \) » style="text-align:center ; « >c. \ (Q (x, y) \) » style="text-align:center ; « >g. \ (m_ {sec} \) » style="text-align:center ; « >k.
    \ (x \) » style="text-align:center ; « >1.0001 \ (y \) » style="text-align:center ; « >d. \ (Q (x, y) \) » style="text-align:center ; « >h. \ (m_ {sec} \) » style="text-align:center ; « >l.2

    5) Utilisez les valeurs de la colonne de droite du tableau de l'exercice précédent pour deviner la valeur de la pente de la tangente à\(f\) at\(x=1\).

    Réponse
    \(3\)

    6) Utilisez la valeur de l'exercice précédent pour trouver l'équation de la tangente au point\(P\). Graphe\(f(x)\) et ligne tangente.

    Pour les exercices 7 à 9, les points\(P(4,2)\) et\(Q(x,y)\) sont sur le graphique de la fonction\(f(x)=\sqrt{x}\).

    7) [T] Complétez le tableau suivant avec les valeurs appropriées :\(y\) -coordonnée de\(Q\)\(Q(x,y)\), point et pente de la ligne sécante passant par les points\(P\) et\(Q\). Arrondissez votre réponse à huit chiffres significatifs.

    \(x\) \(y\) \(Q(x,y)\) \(m_{sec}\)
    \ (x \) » style="text-align:center ; « >4.1 \ (y \) » style="text-align:center ; « >a. \ (Q (x, y) \) » style="text-align:center ; « >e. \ (m_ {sec} \) » style="text-align:center ; « >i.
    \ (x \) » style="text-align:center ; « >4.01 \ (y \) » style="text-align:center ; « >b. \ (Q (x, y) \) » style="text-align:center ; « >f. \ (m_ {sec} \) » style="text-align:center ; « >j.
    \ (x \) » style="text-align:center ; « >4,001 \ (y \) » style="text-align:center ; « >c. \ (Q (x, y) \) » style="text-align:center ; « >g. \ (m_ {sec} \) » style="text-align:center ; « >k.
    \ (x \) » style="text-align:center ; « >4.0001 \ (y \) » style="text-align:center ; « >d. \ (Q (x, y) \) » style="text-align:center ; « >h. \ (m_ {sec} \) » style="text-align:center ; « >l.
    Réponse
    a. 2,0248457
    b. 2,0024984
    c. 2,0002500
    d. 2,0000250
    e. (4,100000,2,0248457)
    f. (4,0100000,2,0024984)
    g. (4,0010000,2,0002500)
    h. (4,00010000,2,0000250)
    i. 0. 24845673
    j. 0.24984395
    k. 0.24998438
    p. 0.24999844

    8) Utilisez les valeurs de la colonne de droite du tableau de l'exercice précédent pour deviner la valeur de la pente de la tangente à\(f\) at\(x=4\).

    9) Utilisez la valeur de l'exercice précédent pour trouver l'équation de la tangente au point\(P\).

    Réponse
    \(y=\frac{x}{4}+1\)

    Pour les exercices 10 à 12, les points\(P(1.5,0)\) et\(Q(ϕ,y)\) sont sur le graphique de la fonction\(f(ϕ)=\cos(πϕ)\).

    10) [T] Complétez le tableau suivant avec les valeurs appropriées :\(y\) -coordonnée de\(Q\)\(Q(ϕ,y)\), point et pente de la ligne sécante passant par les points\(P\) et\(Q\). Arrondissez votre réponse à huit chiffres significatifs.

    \(x\) \(y\) \(Q(ϕ,y)\) \(m_{sec}\)
    \ (x \) » style="text-align:center ; « >1.4 \ (y \) » style="text-align:center ; « >a. \ (Q (φ, y) \) » style="text-align:center ; « >e. \ (m_ {sec} \) » style="text-align:center ; « >i.
    \ (x \) » style="text-align:center ; « >1,49 \ (y \) » style="text-align:center ; « >b. \ (Q (φ, y) \) » style="text-align:center ; « >f. \ (m_ {sec} \) » style="text-align:center ; « >j.
    \ (x \) » style="text-align:center ; « >1,499 \ (y \) » style="text-align:center ; « >c. \ (Q (φ, y) \) » style="text-align:center ; « >g. \ (m_ {sec} \) » style="text-align:center ; « >k.
    \ (x \) » style="text-align:center ; « >1,4999 \ (y \) » style="text-align:center ; « >d. \ (Q (φ, y) \) » style="text-align:center ; « >h. \ (m_ {sec} \) » style="text-align:center ; « >l.

    11) Utilisez les valeurs de la colonne de droite du tableau de l'exercice précédent pour deviner la valeur de la pente de la tangente à f at\(ϕ=1.5\).

    Réponse
    \( π \)

    12) Utilisez la valeur de l'exercice précédent pour trouver l'équation de la tangente au point\(P\).

    Pour les exercices 13 à 15, les points\(P(−1,−1)\) et\(Q(x,y)\) sont sur le graphique de la fonction\(f(x)=\frac{1}{x}\).

    13) [T] Complétez le tableau suivant avec les valeurs appropriées :\(y\) -coordonnée de\(Q\)\(Q(x,y)\), point et pente de la ligne sécante passant par les points\(P\) et\(Q\). Arrondissez votre réponse à huit chiffres significatifs.

    \(x\) \(y\) \(Q(x,y)\) \(m_{sec}\)
    \ (x \) » style="text-align:center ; « >-1,05 \ (y \) » style="text-align:center ; « >a. \ (Q (x, y) \) » style="text-align:center ; « >e. \ (m_ {sec} \) » style="text-align:center ; « >i.
    \ (x \) » style="text-align:center ; « >-1,01 \ (y \) » style="text-align:center ; « >b. \ (Q (x, y) \) » style="text-align:center ; « >f. \ (m_ {sec} \) » style="text-align:center ; « >j.
    \ (x \) » style="text-align:center ; « >-1.005 \ (y \) » style="text-align:center ; « >c. \ (Q (x, y) \) » style="text-align:center ; « >g. \ (m_ {sec} \) » style="text-align:center ; « >k.
    \ (x \) » style="text-align:center ; « >-1,001 \ (y \) » style="text-align:center ; « >d. \ (Q (x, y) \) » style="text-align:center ; « >h. \ (m_ {sec} \) » style="text-align:center ; « >l.
    Réponse
    a. −0,95238095
    b. −0,99009901
    c. −0,99502488
    d. −0,99900100
    e. (−1 ; ,0500000, −0 ; 0,95238095)
    f. (−1 ; 0,0100000, −0, −0 ; 0,9909901)
    g. (−1 ; ,0050000, −0 ; 0,99502488)
    h. (1,909901) g. 0010000, −0 ; 0,99900100)
    soit −0,95238095
    j. −0,99009901
    k. −0,99502488
    p. −0,99900100

    14) Utilisez les valeurs de la colonne de droite du tableau de l'exercice précédent pour deviner la valeur de la pente de la droite tangente à\(f\) at\(x=−1\).

    15) Utilisez la valeur de l'exercice précédent pour trouver l'équation de la tangente au point\(P\).

    Réponse
    \(y=−x−2\)

    Pour les exercices 16 à 17, la fonction de position d'une balle lâchée du haut d'un bâtiment de 200 mètres de haut est donnée par\(s(t)=200−4.9t^2\), où la position\(s\) est mesurée en mètres et le temps\(t\) en secondes. Arrondissez votre réponse à huit chiffres significatifs.

    16) [T] Calculez la vitesse moyenne de la balle sur les intervalles de temps donnés.

    a. [4,99,5]

    b. [5 mai 01]

    c. [4 999,5]

    d. [5 001]

    17) Utilisez l'exercice précédent pour deviner la vitesse instantanée de la balle en\(t=5\) secondes.

    Réponse
    \(−49\)m/sec (la vitesse de la balle est de 49 m/sec vers le bas)

    Pour les exercices 18 à 19, imaginez une pierre projetée en l'air depuis le sol à une vitesse initiale de 15 m/sec. Sa hauteur en mètres au temps t secondes est de\(h(t)=15t−4.9t^2\).

    18) [T] Calculez la vitesse moyenne de la pierre sur les intervalles de temps donnés.

    a. [1,1,05]

    b. [1,1,01]

    c. [1, 005]

    d. [1, 001]

    19) Utilisez l'exercice précédent pour deviner la vitesse instantanée de la pierre à la\(t=1\) seconde.

    Réponse
    \(5.2\)m/sec

    Pour les exercices 20 à 21, imaginez une fusée lancée en l'air qui revient ensuite sur Terre. La hauteur de la fusée en mètres est donnée par\(h(t)=600+78.4t−4.9t^2\), où elle\(t\) est mesurée en secondes.

    20) [T] Calculez la vitesse moyenne de la fusée sur les intervalles de temps donnés.

    a. [9, 9,01]

    b. [8,99,9]

    c. [9 septembre 001]

    d. [8 999,9]

    21) Utilisez l'exercice précédent pour deviner la vitesse instantanée de la fusée à la\(t=9\) seconde.

    Réponse
    \(-9.8\)m/sec

    Pour les exercices, pensez à un athlète qui court une course de 40 mètres. La position de l'athlète est donnée par\(d(t)=\frac{t^3}{6}+4t\), où\(d\) est la position en mètres et\(t\) le temps écoulé, mesuré en secondes.

    22) [T] Calculez la vitesse moyenne du coureur sur les intervalles de temps donnés.

    a. [1,95,2,05]

    b. [1 995, 2 005]

    c. [1 9995, 2 0005]

    d. [2 200 001]

    23) Utilisez l'exercice précédent pour deviner la vitesse instantanée du coureur en\(t=2\) secondes.

    Réponse
    \(6\)m/sec

    Pour les exercices 24 à 25, considérez la fonction\(f(x)=|x|\).

    24) Esquissez le graphique de\(f\) l'intervalle [\(−1,2\)] et ombrez la région au-dessus de l'\(x\)axe.

    25) Utilisez l'exercice précédent pour déterminer la valeur exacte de l'aire comprise entre l'\(x\)axe -et le graphique de l'\(f\)intervalle [\(−1,2\)] à l'aide de rectangles. Pour les rectangles, utilisez les unités carrées et faites une approximation au-dessus et en dessous des lignes. Utilisez la géométrie pour trouver la réponse exacte.

    Réponse
    Moins de 1\(unit^2\) ; plus : 4\(unit^2\).
    La surface exacte des deux triangles est\(\frac{1}{2}(1)(1)+\frac{1}{2}(2)(2)=2.5 units^2\).

    Pour les exercices 26 à 27, considérez la fonction\(f(x)=\sqrt{1−x^2}\). (Conseil : il s'agit de la moitié supérieure d'un cercle de rayon 1 positionné à (\(0,0\)).)

    26) Esquissez le graphe de f sur l'intervalle [\(−1,1\)].

    27) Utilisez l'exercice précédent pour déterminer l'aire exacte entre l'\(x\)axe -et le graphique de l'\(f\)intervalle [\(−1,1\)] à l'aide de rectangles. Pour les rectangles, utilisez des carrés de 0,4 par 0,4 unité et faites une approximation au-dessus et en dessous des lignes. Utilisez la géométrie pour trouver la réponse exacte.

    Réponse
    En dessous\(0.96 \;\text{units}^2\), ou plus,\(1.92 \;\text{units}^2\)).
    L'aire exacte du demi-cercle de rayon 1 est\(\frac{π(1)^2}{2}=\frac{π}{2} \;\text{units}^2\)

    Pour les exercices 28 à 29, considérez la fonction\(f(x)=−x^2+1\).

    28) Esquissez le graphique de\(f\) l'intervalle [\(−1,1\)].

    29) Approximation de l'aire de la région située entre\(x\) l'axe -et le graphe de l'\(f\)intervalle [\(−1,1\)].

    Réponse
    Environ\(1.3333333 \;\text{units}^2\)