Skip to main content
Global

2.3E : Exercices pour la section 2.3

  • Page ID
    197970
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Dans les exercices 1 à 4, utilisez les lois limites pour évaluer chaque limite. Justifiez chaque étape en indiquant la ou les lois limites appropriées.

    1)\(\displaystyle \lim_{x→0}\,(4x^2−2x+3)\)

    Réponse

    Utilisez la loi multiple constante et la loi des différences :

    \(\displaystyle \lim_{x→0}\,(4x^2−2x+3)=4\lim_{x→0}x^2−2\lim_{x→0}x+\lim_{x→0}3=0 + 0 + 3=3\)

    2)\(\displaystyle \lim_{x→1}\frac{x^3+3x^2+5}{4−7x}\)

    3)\(\displaystyle \lim_{x→−2}\sqrt{x^2−6x+3}\)

    Réponse
    Utilisez la loi racine :\(\displaystyle \lim_{x→−2}\sqrt{x^2−6x+3}=\sqrt{\lim_{x→−2}(x^2−6x+3)}=\sqrt{19}\)

    4)\(\displaystyle \lim_{x→−1}(9x+1)^2\)

    Dans les exercices 5 à 10, utilisez la substitution directe pour évaluer la limite de chaque fonction continue.

    5)\(\displaystyle \lim_{x→7}x^2\)

    Réponse
    \(\displaystyle \lim_{x→7}x^2\;=\;49\)

    6)\(\displaystyle \lim_{x→−2}(4x^2−1)\)

    7)\(\displaystyle \lim_{x→0}\frac{1}{1+\sin x}\)

    Réponse
    \(\displaystyle \lim_{x→0}\frac{1}{1+\sin x}\;=\;1\)

    8)\(\displaystyle \lim_{x→2}e^{2x−x^2}\)

    9)\(\displaystyle \lim_{x→1}\frac{2−7x}{x+6}\)

    Réponse
    \(\displaystyle \lim_{x→1}\frac{2−7x}{x+6}\;=\;−\frac{5}{7}\)

    10)\(\displaystyle \lim_{x→3}\ln e^{3x}\)

    Dans les exercices 11 à 20, utilisez la substitution directe pour montrer que chaque limite mène à la forme indéterminée\(0/0\). Ensuite, évaluez la limite de manière analytique.

    11)\(\displaystyle \lim_{x→4}\frac{x^2−16}{x−4}\)

    Réponse
    \(\displaystyle \text{When }x = 4, \quad\frac{x^2−16}{x−4}=\frac{16−16}{4−4}=\frac{0}{0};\)

    puis,\(\displaystyle \lim_{x→4}\frac{x^2−16}{x−4}= \lim_{x→4}\frac{(x+4)(x−4)}{x−4}=\lim_{x→4}(x+4) = 4+4 =8\)

    (12)\(\displaystyle \lim_{x→2}\frac{x−2}{x^2−2x}\)

    13)\(\displaystyle \lim_{x→6}\frac{3x−18}{2x−12}\)

    Réponse
    \(\displaystyle \text{When }x = 6, \quad\frac{3x−18}{2x−12}=\frac{18−18}{12−12}=\frac{0}{0};\)

    puis,\(\displaystyle \lim_{x→6}\frac{3x−18}{2x− 12}=\lim_{x→6}\frac{3(x−6)}{2(x−6)}=\lim_{x→6}\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)

    (14)\(\displaystyle \lim_{h→0}\frac{(1+h)^2−1}{h}\)

    15)\(\displaystyle \lim_{t→9}\frac{t−9}{\sqrt{t}−3}\)

    Réponse
    \(\displaystyle \text{When }t = 9, \quad\frac{t−9}{\sqrt{t}−3}=\frac{9−9}{3−3}=\frac{0}{0};\)

    puis,\(\displaystyle \lim_{t→9}\frac{t−9}{\sqrt{t}−3} =\lim_{t→9}\frac{t−9}{\sqrt{t}−3}\frac{\sqrt{t}+3}{\sqrt{t}+3}=\lim_{t→9}\frac{(t−9)(\sqrt{t}+3)}{t - 9}=\lim_{t→9}(\sqrt{t}+3)=\sqrt{9}+3=6\)

    16)\(\displaystyle \lim_{h→0}\frac{\dfrac{1}{a+h}−\dfrac{1}{a}}{h}\), où\(a\) est une constante à valeur réelle

    17)\(\displaystyle \lim_{θ→π}\frac{\sin θ}{\tan θ}\)

    Réponse
    \(\displaystyle \text{When }θ = π, \quad\frac{\sin θ}{\tan θ}=\frac{\sin π}{\tan π}=\frac{0}{0};\)

    puis,\(\displaystyle \lim_{θ→π}\frac{\sin θ}{\tan θ}=\lim_{θ→ π}\frac{\sin θ}{\frac{\sin θ}{\cos θ}}=\lim_{θ→π}\cos θ=\cos π=−1\)

    18)\(\displaystyle \lim_{x→1}\frac{x^3−1}{x^2−1}\)

    19)\(\displaystyle \lim_{x→1/2}\frac{2x^2+3x−2}{2x−1}\)

    Réponse
    \(\displaystyle \text{When }x=1/2, \quad\frac{2x^2+3x−2}{2x−1}=\frac{\frac{1}{2}+\frac{3}{2}−2}{1−1}=\frac{0}{0};\)

    puis,\(\displaystyle \lim_{x→ 1/2}\frac{2x^2+3x−2}{2x−1}=\lim_{x→1/2}\frac{(2x−1)(x+2)}{2x−1}=\lim_{x→1/2}(x+2)=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}\)

    (20)\(\displaystyle \lim_{x→−3}\frac{\sqrt{x+4}−1}{x+3}\)

    Dans les exercices 21 à 24, utilisez la substitution directe pour obtenir une expression non définie. Utilisez ensuite la méthode utilisée dans l'exemple 9 de cette section pour simplifier la fonction et déterminer la limite.

    (21)\(\displaystyle \lim_{x→−2^−}\frac{2x^2+7x−4}{x^2+x−2}\)

    Réponse
    \(−∞\)

    (22)\(\displaystyle \lim_{x→−2^+}\frac{2x^2+7x−4}{x^2+x−2}\)

    23)\(\displaystyle \lim_{x→1^−}\frac{2x^2+7x−4}{x^2+x−2}\)

    Réponse
    \(−∞\)

    (24)\(\displaystyle \lim_{x→1^+}\frac{2x^2+7x−4}{x^2+x−2}\)

    Dans les exercices 25 à 32, supposons que\(\displaystyle \lim_{x→6}f(x)=4,\quad \lim_{x→6}g(x)=9\), et\(\displaystyle \lim_{x→6}h(x)=6\). Utilisez ces trois faits et les lois limites pour évaluer chaque limite.

    25)\(\displaystyle \lim_{x→6}2f(x)g(x)\)

    Réponse
    \(\displaystyle \lim_{x→6}2f(x)g(x)=2\left(\lim_{x→6}f(x)\right)\left(\lim_{x→6}g(x)\right)=2 (4)(9)=72\)

    (26)\(\displaystyle \lim_{x→6}\frac{g(x)−1}{f(x)}\)

    (27)\(\displaystyle \lim_{x→6}\left(f(x)+\frac{1}{3}g(x)\right)\)

    Réponse
    \(\displaystyle \lim_{x→6}\left(f(x)+\frac{1}{3}g(x)\right)=\lim_{x→6}f(x)+\frac{1}{3}\lim_{x→6}g(x)=4+\frac{1}{3}(9)=7\)

    (28)\(\displaystyle \lim_{x→6}\frac{\big(h(x)\big)^3}{2}\)

    (29)\(\displaystyle \lim_{x→6}\sqrt{g(x)−f(x)}\)

    Réponse
    \(\displaystyle \lim_{x→6}\sqrt{g(x)−f(x)}=\sqrt{\lim_{x→6}g(x)−\lim_{x→6}f(x)}=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}\)

    (30)\(\displaystyle \lim_{x→6}x⋅h(x)\)

    31)\(\displaystyle \lim_{x→6}[(x+1)⋅f(x)]\)

    Réponse
    \(\displaystyle \lim_{x→6}[(x+1)f(x)]=\left(\lim_{x→6}(x+1)\right)\left(\lim_{x→6}f(x)\right)=7(4)=28\)

    32)\(\displaystyle \lim_{x→6}(f(x)⋅g(x)−h(x))\)

    [T] Dans les exercices 33 à 35, utilisez une calculatrice pour dessiner le graphique de chaque fonction définie par pièces et étudiez le graphique pour évaluer les limites données.

    33)\(f(x)=\begin{cases}x^2, & x≤3\\ x+4, & x>3\end{cases}\)

    un.\(\displaystyle \lim_{x→3^−}f(x)\)

    b.\(\displaystyle \lim_{x→3^+}f(x)\)

    Réponse

    Le graphique d'une fonction par morceaux à deux segments. La première est la parabole x^2, qui existe pour x<=3. Le sommet se trouve à l'origine, il s'ouvre vers le haut et il y a un cercle fermé à l'extrémité (3,9). Le deuxième segment est la ligne x+4, qui est une fonction linéaire existante pour x 3. Il y a un cercle ouvert en (3, 7) et la pente est de 1." style="width: 417px; height: 422px;" width="417px" height="422px" src="https://math.libretexts.org/@api/dek...02_03_202.jpeg">

    a.\(9\) ; b.\( 7\)

    34)\(g(x)=\begin{cases}x^3−1, & x≤0\\1, & x>0\end{cases}\)

    un.\(\displaystyle \lim_{x→0^−}g(x)\)

    b.\(\displaystyle \lim_{x→0^+}g(x)\)

    35)\(h(x)=\begin{cases}x^2−2x+1, & x<2\\3−x, & x≥2\end{cases}\)

    un.\(\displaystyle \lim_{x→2^−}h(x)\)

    b.\(\displaystyle \lim_{x→2^+}h(x)\)

    Dans les exercices 36 à 43, utilisez les graphiques suivants et les lois limites pour évaluer chaque limite.

    Deux graphes de fonctions par morceaux. La partie supérieure est f (x), qui comporte deux segments linéaires. La première est une droite avec une pente négative existant pour x < -3. Il se dirige vers le point (-3,0) situé à x= -3. Le suivant a une pente croissante et atteint le point (-3, -2) à x=-3. Il existe pour x -3. Les autres points clés sont (0, 1), (-5,2), (1,2), (-7, 4) et (-9,6). La fonction inférieure par morceaux possède un segment linéaire et un segment incurvé. Le segment linéaire existe pour x < -3 et présente une pente décroissante. Il passe à (-3, -2) à x=-3. Le segment incurvé semble être la moitié droite d'une parabole s'ouvrant vers le bas. Il atteint le point du sommet (-3,2) à x=-3. Il traverse l'axe y un peu en dessous de y=-2. Les autres points clés sont (0, -7/3), (-5,0), (1, -5), (-7, 2) et (-9, 4)." style="width: 456px; height: 935px;" width="456px" height="935px" src="https://math.libretexts.org/@api/dek...02_03_201.jpeg">

    36)\(\displaystyle \lim_{x→−3^+}(f(x)+g(x))\)

    37)\(\displaystyle \lim_{x→−3^−}(f(x)−3g(x))\)

    Réponse
    \(\displaystyle \lim_{x→−3^−}(f(x)−3g(x))=\lim_{x→−3^−}f(x)−3\lim_{x→−3^−}g(x)=0+6=6\)

    38)\(\displaystyle \lim_{x→0}\frac{f(x)g(x)}{3}\)

    39)\(\displaystyle \lim_{x→−5}\frac{2+g(x)}{f(x)}\)

    Réponse
    \(\displaystyle \lim_{x→−5}\frac{2+g(x)}{f(x)}=\frac{2+\left(\displaystyle \lim_{x→−5}g(x)\right)}{\displaystyle \lim_{x→−5}f(x)}=\frac{2+0}{2}=1\)

    40)\(\displaystyle \lim_{x→1}(f(x))^2\)

    41)\(\displaystyle \lim_{x→1}\sqrt[3]{f(x)−g(x)}\)

    Réponse
    \(\displaystyle \lim_{x→1}\sqrt[3]{f(x)−g(x)}=\sqrt[3]{\lim_{x→1}f(x)−\lim_{x→1}g(x)}=\sqrt[3]{2+5}=\sqrt[3]{7}\)

    42)\(\displaystyle \lim_{x→−7}(x⋅g(x))\)

    43)\(\displaystyle \lim_{x→−9}[x⋅f(x)+2⋅g(x)]\)

    Réponse
    \(\displaystyle \lim_{x→−9}(xf(x)+2g(x))=\left(\lim_{x→−9}x\right)\left(\lim_{x→−9}f(x)\right)+2\lim_{x→−9}g(x)=(−9)(6)+2(4)=−46\)

    Pour les exercices 44 à 46, évaluez la limite à l'aide du théorème de compression. Utilisez une calculatrice pour représenter graphiquement les fonctions\(f(x),\;g(x)\), et\(h(x)\) si possible.

    44) [T] Vrai ou faux ? Si\(2x−1≤g(x)≤x^2−2x+3\), alors\(\displaystyle \lim_{x→2}g(x)=0\).

    45) [T]\(\displaystyle \lim_{θ→0}θ^2\cos\left(\frac{1}{θ}\right)\)

    Réponse

    La limite est zéro.

    Le graphique de trois fonctions sur le domaine [-1,1], coloré en rouge, vert et bleu comme suit : rouge : théta^2, vert : théta^2 * cos (1/thêta) et bleu : - (théta^2). Les fonctions rouge et bleue s'ouvrent respectivement vers le haut et vers le bas sous forme de paraboles avec des sommets à l'origine. La fonction verte est piégée entre les deux.

    46)\(\displaystyle \lim_{x→0}f(x)\), où\(f(x)=\begin{cases}0, & x\text{ rational}\\ x^2, & x\text{ irrrational}\end{cases}\)

    47) [T] En physique, l'amplitude d'un champ électrique généré par une charge ponctuelle à distance\(r\) dans le vide est régie par la loi de Coulomb :\(E(r)=\dfrac{q}{4πε_0r^2}\), où\(E\) représente l'amplitude du champ électrique,\(q\) est la charge de la particule,\(r\) est la distance entre les particule et où l'intensité du champ est mesurée, et\(\dfrac{1}{4πε_0}\) est la constante de Coulomb :\(8.988×109N⋅m^2/C^2\).

    a. Utilisez une calculatrice graphique pour représenter graphiquement en\(E(r)\) fonction du fait que la charge de la particule est\(q=10^{−10}\).

    b. Évaluer\(\displaystyle \lim_{r→0^+}E(r)\). Quelle est la signification physique de cette quantité ? Est-ce physiquement pertinent ? Pourquoi évaluez-vous à partir de la droite ?

    Réponse

    un.

    Graphe d'une fonction à deux courbes. Le premier se trouve dans le quadrant deux et se courbe de façon asymptotique vers l'infini le long de l'axe y et vers 0 le long de l'axe x lorsque x passe à l'infini négatif. Le second se trouve dans le premier quadrant et se courbe de façon asymptotique vers l'infini le long de l'axe y et vers 0 le long de l'axe x lorsque x passe à l'infini.

    b. ∞. L'amplitude du champ électrique lorsque vous vous approchez de la particule q devient infinie. Cela n'a aucun sens physique d'évaluer une distance négative.

    48) [T] La densité d'un objet est donnée par sa masse divisée par son volume :\(ρ=m/V.\)

    a. Utilisez une calculatrice pour tracer le volume en fonction de la densité\((V=m/ρ)\), en supposant que vous examiniez un objet de masse\(8\) kg (\(m=8\)).

    b. Évaluez\(\displaystyle \lim_{x→0^+}V(\rho)\) et expliquez la signification physique.