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1.6 : Chapitre 1 : Exercices de révision

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    • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
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    Vrai ou faux ? Justifiez votre réponse par une preuve ou un contre-exemple.

    1) Une fonction est toujours individuelle.

    2)\(f∘g=g∘f\), en supposant\(f\) et en\(g\) sont des fonctions.

    Réponse
    Faux

    3) Une relation qui passe les tests des lignes horizontales et verticales est une fonction biunivoque.

    4) Une relation qui passe le test de la ligne horizontale est une fonction.

    Réponse
    Faux

    Indiquez le domaine et l'étendue des fonctions données :

    \(f=x^2+2x−3\),\(g=\ln(x−5)\),\(h=\dfrac{1}{x+4}\)

    5) h

    6 g

    Réponse
    Domaine :\(x>5\), Gamme : tous les nombres réels

    7)\(h∘f\)

    8)\(g∘f\)

    Réponse
    Domaine :\(x>2\) et\(x<−4\), Gamme : tous les nombres réels

    Trouvez le degré, l'\(y\)intersection et les zéros pour les fonctions polynomiales suivantes.

    9)\(f(x)=2x^2+9x−5\)

    10)\(f(x)=x^3+2x^2−2x\)

    Réponse
    Degré 3,\(y\) -interception :\((0,0),\) zéros :\(0, \,\sqrt{3}−1,\, −1−\sqrt{3}\)

    Simplifiez les expressions trigonométriques suivantes.

    11)\(\dfrac{\tan^2x}{\sec^2x}+{\cos^2x}\)

    (12)\(\cos^2x-\sin^2x\)

    Réponse
    \(\cos(2x)\)

    Résolvez\(θ=[−2π,2π]\) exactement les équations trigonométriques suivantes sur l'intervalle.

    (13)\(6\cos 2x−3=0\)

    (14)\(\sec^2x−2\sec x+1=0\)

    Réponse
    \(0,±2π\)

    Résolvez les équations logarithmiques suivantes.

    (15)\(5^x=16\)

    16)\(\log_2(x+4)=3\)

    Réponse
    \(4\)

    Les fonctions suivantes sont-elles individuelles dans leur domaine d'existence ? La fonction a-t-elle un inverse ? Si c'est le cas, trouvez l'inverse\(f^{−1}(x)\) de la fonction. Justifiez votre réponse.

    17)\(f(x)=x^2+2x+1\)

    18)\(f(x)=\dfrac{1}{x}\)

    Réponse
    Un à un ; oui, la fonction a un inverse ; inverse :\(f^{−1}(x)=\dfrac{1}{x}\)

    Pour les problèmes suivants, déterminez le plus grand domaine sur lequel la fonction est biunivoque et trouvez l'inverse sur ce domaine.

    19)\(f(x)=\sqrt{9−x}\)

    (20)\(f(x)=x^2+3x+4\)

    Réponse
    \(x≥−\frac{3}{2},\quad f^{−1}(x)=−\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{4x−7}\)

    21) Une voiture court le long d'une piste circulaire d'un diamètre de 1,6 km. Un entraîneur debout au centre du cercle marque sa progression toutes les 5 secondes. Après 5 secondes, l'entraîneur doit tourner à 55° pour suivre le rythme de la voiture. À quelle vitesse se déplace la voiture ?

    Pour les problèmes suivants, considérez un restaurateur qui souhaite vendre des t-shirts faisant la promotion de sa marque. Il rappelle qu'il existe un coût fixe et un coût variable, bien qu'il ne se souvienne pas des valeurs. Il sait que l'imprimerie de tee-shirts facture 440 dollars pour 20 chemises et 1 000 dollars pour 100 chemises.

    22) a. Trouvez l'équation\(C=f(x)\) qui décrit le coût total en fonction du nombre de chemises et

    b. déterminer le nombre de chemises qu'il doit vendre pour atteindre le seuil de rentabilité s'il vend les chemises à 10$ chacune.

    Réponse
    a.\(C(x)=300+7x\)
    b.\(100\) chemises

    23) a. Trouvez la fonction inverse\(x=f^{−1}(C)\) et décrivez la signification de cette fonction.

    b. Déterminez le nombre de chemises que le propriétaire peut acheter s'il a 8 000$ à dépenser.

    Pour les problèmes suivants, considérez la population d'Ocean City, dans le New Jersey, qui est cyclique selon les saisons.

    24) La population peut être modélisée en fonction\(P(t)=82.5−67.5\cos[(π/6)t]\) de la\(t\) durée en mois (\(t=0\)représente le 1er janvier) et\(P\) de la population (en milliers). Au cours d'une année, à quels intervalles la population est-elle inférieure à 20 000 habitants ? Pendant quels intervalles la population est-elle supérieure à 140 000 habitants ?

    Réponse
    La population est inférieure à 20 000 habitants du 8 décembre au 23 janvier et de plus de 140 000 habitants du 29 mai au 2 août

    25) En réalité, il est fort probable que la population globale augmente ou diminue tout au long de chaque année. Reformulons le modèle comme suit\(P(t)=82.5−67.5\cos[(π/6)t]+t\) : où t est le temps en mois (\(t=0\)représente le 1er janvier) et\(P\) la population (en milliers). Quand est-ce que la population atteint 200 000 habitants pour la première fois ?

    Pour les problèmes suivants, pensez à la datation radioactive. Un squelette humain est découvert lors d'une fouille archéologique. La datation au carbone est mise en œuvre pour déterminer l'âge du squelette en utilisant l'équation\(y=e^{rt}\), où\(y\) est le pourcentage de radiocarbone encore présent dans le matériau,\(t\) est le nombre d'années écoulées, et\(r=−0.0001210\) est le taux de désintégration du radiocarbone.

    26) Si l'on s'attend à ce que le squelette ait 2000 ans, quel pourcentage de radiocarbone devrait être présent ?

    Réponse
    78,51 %

    27) Trouvez l'inverse de l'équation de datation au carbone. Qu'est-ce que cela signifie ? S'il y a 25 % de radiocarbone, quel âge a le squelette ?