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1.6 : Chapitre 1 : Exercices de révision

  • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
  • OpenStax

Vrai ou faux ? Justifiez votre réponse par une preuve ou un contre-exemple.

1) Une fonction est toujours individuelle.

2)fg=gf, en supposantf et eng sont des fonctions.

Réponse
Faux

3) Une relation qui passe les tests des lignes horizontales et verticales est une fonction biunivoque.

4) Une relation qui passe le test de la ligne horizontale est une fonction.

Réponse
Faux

Indiquez le domaine et l'étendue des fonctions données :

f=x2+2x3,g=ln(x5),h=1x+4

5) h

6 g

Réponse
Domaine :x>5, Gamme : tous les nombres réels

7)hf

8)gf

Réponse
Domaine :x>2 etx<4, Gamme : tous les nombres réels

Trouvez le degré, l'yintersection et les zéros pour les fonctions polynomiales suivantes.

9)f(x)=2x2+9x5

10)f(x)=x3+2x22x

Réponse
Degré 3,y -interception :(0,0), zéros :0,31,13

Simplifiez les expressions trigonométriques suivantes.

11)tan2xsec2x+cos2x

(12)cos2xsin2x

Réponse
cos(2x)

Résolvezθ=[2π,2π] exactement les équations trigonométriques suivantes sur l'intervalle.

(13)6cos2x3=0

(14)sec2x2secx+1=0

Réponse
0,±2π

Résolvez les équations logarithmiques suivantes.

(15)5x=16

16)log2(x+4)=3

Réponse
4

Les fonctions suivantes sont-elles individuelles dans leur domaine d'existence ? La fonction a-t-elle un inverse ? Si c'est le cas, trouvez l'inversef1(x) de la fonction. Justifiez votre réponse.

17)f(x)=x2+2x+1

18)f(x)=1x

Réponse
Un à un ; oui, la fonction a un inverse ; inverse :f1(x)=1x

Pour les problèmes suivants, déterminez le plus grand domaine sur lequel la fonction est biunivoque et trouvez l'inverse sur ce domaine.

19)f(x)=9x

(20)f(x)=x2+3x+4

Réponse
x32,f1(x)=32+124x7

21) Une voiture court le long d'une piste circulaire d'un diamètre de 1,6 km. Un entraîneur debout au centre du cercle marque sa progression toutes les 5 secondes. Après 5 secondes, l'entraîneur doit tourner à 55° pour suivre le rythme de la voiture. À quelle vitesse se déplace la voiture ?

Pour les problèmes suivants, considérez un restaurateur qui souhaite vendre des t-shirts faisant la promotion de sa marque. Il rappelle qu'il existe un coût fixe et un coût variable, bien qu'il ne se souvienne pas des valeurs. Il sait que l'imprimerie de tee-shirts facture 440 dollars pour 20 chemises et 1 000 dollars pour 100 chemises.

22) a. Trouvez l'équationC=f(x) qui décrit le coût total en fonction du nombre de chemises et

b. déterminer le nombre de chemises qu'il doit vendre pour atteindre le seuil de rentabilité s'il vend les chemises à 10$ chacune.

Réponse
a.C(x)=300+7x
b.100 chemises

23) a. Trouvez la fonction inversex=f1(C) et décrivez la signification de cette fonction.

b. Déterminez le nombre de chemises que le propriétaire peut acheter s'il a 8 000$ à dépenser.

Pour les problèmes suivants, considérez la population d'Ocean City, dans le New Jersey, qui est cyclique selon les saisons.

24) La population peut être modélisée en fonctionP(t)=82.567.5cos[(π/6)t] de lat durée en mois (t=0représente le 1er janvier) etP de la population (en milliers). Au cours d'une année, à quels intervalles la population est-elle inférieure à 20 000 habitants ? Pendant quels intervalles la population est-elle supérieure à 140 000 habitants ?

Réponse
La population est inférieure à 20 000 habitants du 8 décembre au 23 janvier et de plus de 140 000 habitants du 29 mai au 2 août

25) En réalité, il est fort probable que la population globale augmente ou diminue tout au long de chaque année. Reformulons le modèle comme suitP(t)=82.567.5cos[(π/6)t]+t : où t est le temps en mois (t=0représente le 1er janvier) etP la population (en milliers). Quand est-ce que la population atteint 200 000 habitants pour la première fois ?

Pour les problèmes suivants, pensez à la datation radioactive. Un squelette humain est découvert lors d'une fouille archéologique. La datation au carbone est mise en œuvre pour déterminer l'âge du squelette en utilisant l'équationy=ert, oùy est le pourcentage de radiocarbone encore présent dans le matériau,t est le nombre d'années écoulées, etr=0.0001210 est le taux de désintégration du radiocarbone.

26) Si l'on s'attend à ce que le squelette ait 2000 ans, quel pourcentage de radiocarbone devrait être présent ?

Réponse
78,51 %

27) Trouvez l'inverse de l'équation de datation au carbone. Qu'est-ce que cela signifie ? S'il y a 25 % de radiocarbone, quel âge a le squelette ?