2.4E : Exercices pour la section 2.4

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Pour les exercices 1 à 8, déterminez le ou les points, le cas échéant, auxquels chaque fonction est discontinue. Classez toute discontinuité comme sautant, amovible, infinie ou autre.

1)$f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$

Réponse: La fonction est définie pour tous$x$ dans l'intervalle$(0,∞)$.

2)$f(x)=\dfrac{2}{x^2+1}$

3)$f(x)=\dfrac{x}{x^2−x}$

Réponse: Discontinuité amovible à$x=0$ ; discontinuité infinie à$x=1$.

4)$g(t)=t^{−1}+1$

5)$f(x)=\dfrac{5}{e^x−2}$

Réponse: Discontinuité infinie à$x=\ln 2$

6)$f(x)=\dfrac{|x−2|}{x−2}$

7)$H(x)=\tan 2x$

Réponse: Des discontinuités infinies à$x=\dfrac{(2k+1)π}{4}$, pour$k=0,\,±1,\,±2,\,±3,\,…$

8)$f(t)=\dfrac{t+3}{t^2+5t+6}$

Pour les exercices 9 à 14, déterminez si la fonction est continue au point donné. S'il s'agit d'une discontinuité, de quel type de discontinuité s'agit-il ?

9)$\dfrac{2x^2−5x+3}{x−1}$ à$x=1$

Réponse: Non. Il s'agit d'une discontinuité amovible.

10)$h(θ)=\dfrac{\sin θ−\cos θ}{\tan θ}$ à$θ=π$

11)$g(u)=\begin{cases}\dfrac{6u^2+u−2}{2u−1}, & \text{if }u≠ \frac{1}{2} \\ \frac{7}{2}, & \text{if }u= \frac{1}{2} \end{cases}$, à$u=\frac{1}{2}$

Réponse: Oui. Elle est continue.

12)$f(y)=\dfrac{\sin(πy)}{\tan(πy)}$, à$y=1$

13)$f(x)=\begin{cases}x^2−e^x, & \text{if } x<0\\x−1, & \text{if }x≥0\end{cases}$, à$x=0$

Réponse: Oui. Elle est continue.

14)$f(x)=\begin{cases}x\sin(x), & \text{if }x≤π\\ x\tan(x), & \text{if }x>π\end{cases}$, à$x=π$

Dans les exercices 15 à 19, trouvez la ou les valeurs$k$ qui rendent chaque fonction continue sur l'intervalle donné.

15)$f(x)=\begin{cases}3x+2, & \text{if }x<k\\2x−3, & \text{if }k≤x≤8\end{cases}$

Réponse: $k=−5$

16)$f(θ)=\begin{cases}\sin θ, & \text{if }0≤θ<\frac{π}{2}\\ \cos(θ+k), & \text{if }\frac{π}{2}≤θ≤π\end{cases}$

17)$f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2+3x+2}{x+2}, & \text{if }x≠−2\\ k, & \text{if }x=−2\end{cases}$

Réponse: $k=−1$

18)$f(x)=\begin{cases}e^{kx}, & \text{if }0≤x<4\\x+3, & \text{if }4≤x≤8\end{cases}$

19)$f(x)=\begin{cases}\sqrt{kx}, & \text{if }0≤x≤3\\x+1, & \text{if }3<x≤10\end{cases}$

Réponse: $k=\frac{16}{3}$

Dans les exercices 20 à 21, utilisez le théorème des valeurs intermédiaires (IVT).

20) Laissez$h(x)=\begin{cases}3x^2−4, & \text{if }x≤2\\5+4x, & \text{if }x>2\end{cases}$ passer l'intervalle$[0,4]$, il n'y a pas de valeur$x$ telle que$h(x)=10$, bien que$h(0)<10$ et$h(4)>10$. Expliquez pourquoi cela ne contredit pas l'IVT.

21) Une particule se déplaçant le long d'une ligne dans le temps$t$ a une fonction de position$s(t)$, qui est continue. Supposons$s(2)=5$ et$s(5)=2$. Une autre particule se déplace de telle sorte que sa position est donnée par$h(t)=s(t)−t$. Expliquez pourquoi il doit y avoir une valeur$c$$2<c<5$ pour cela$h(c)=0$.

Réponse: Puisque les deux$s$ et$y=t$ sont continus partout, alors$h(t)=s(t)−t$ sont continus partout et, en particulier, ils sont continus sur l'intervalle fermé [$2,5$]. Également,$h(2)=3>0$ et$h(5)=−3<0$. Par conséquent, par l'IVT, il existe une valeur$x=c$ telle que$h(c)=0$.

22) [T] Utilisez l'énoncé « Le cosinus de$t$ est égal au$t$ cube ».

a. Écrivez une équation mathématique de l'énoncé.

b. Prouvez que l'équation de la partie a. a au moins une solution réelle.

c. Utilisez une calculatrice pour trouver un intervalle de longueur$0.01$ contenant une solution.

23) Appliquez l'IVT pour déterminer s'il$2^x=x^3$ y a une solution dans l'un des intervalles [$1.25,1.375$] ou [$1.375,1.5$]. Expliquez brièvement votre réponse pour chaque intervalle.

Réponse: La fonction$f(x)=2^x−x^3$ est continue sur l'intervalle [$1.25,1.375$] et présente des signes opposés aux extrémités.

24) Examinez le graphique de la fonction$y=f(x)$ illustré dans le graphique suivant.

$Un diagramme illustrant le théorème des valeurs intermédiaires. Une fonction courbe continue générique est affichée sur l'intervalle [a, b]. Les points fa. et fb. sont marqués, et des lignes pointillées sont tracées depuis a, b, fa. et fb. jusqu'aux points (a, fa.) et (b, fb.). Un troisième point, c, est tracé entre a et b. Comme la fonction est continue, il existe une valeur pour fc. le long de la courbe, et une ligne est tracée de c vers (c, fc.) et de (c, fc.) à fc., désignée comme z sur l'axe des y.$

a. Trouvez toutes les valeurs pour lesquelles la fonction est discontinue.

b. Pour chaque valeur de la partie a., expliquez pourquoi la définition officielle de continuité ne s'applique pas.

c. Classez chaque discontinuité comme sautant, amovible ou infinie.

25) Laissez$f(x)=\begin{cases}3x, & \text{if }x>1\\ x^3, & \text{if }x<1\end{cases}$.

a. Esquissez le graphique de$f$.

b. Est-il possible de trouver une valeur$k$ telle que celle$f(1)=k$ qui rend$f(x)$ continus tous les nombres réels ? Expliquez brièvement.

Réponse

un.

Un graphique de la fonction par morceaux donnée contenant deux segments. Le premier, x^3, existe pour x < 1 et se termine par un cercle ouvert en (1,1). Le second, 3x, existe pour x 1. Il commence par un cercle ouvert en (1,3)." style="width: 423px; height: 431px;" width="423px" height="431px" src="https://math.libretexts.org/@api/dek...02_04_202.jpeg">

b. Il n'est pas possible de redéfinir$f(1)$ car la discontinuité est une discontinuité de saut.

26) Laissez$f(x)=\dfrac{x^4−1}{x^2−1}$ agir$x≠−1,1$.

a. Esquissez le graphique de$f$.

b. Est-il possible de trouver des valeurs$k_1$$k_2$ telles que$f(−1)=k$ et$f(1)=k_2$, et qui rendent$f(x)$ continus tous les nombres réels ? Expliquez brièvement.

27) Esquissez le graphe de la fonction$y=f(x)$ avec les propriétés i. à vii.

i. Le domaine de$f$ is ($−∞,+∞$).

ii. $f$présente une discontinuité infinie à$x=−6$.

iii. $f(−6)=3$

iv. $\displaystyle \lim_{x→−3^−}f(x)=\lim_{x→−3^+}f(x)=2$

c.$f(−3)=3$

vi. $f$est laissé continu mais pas continu à droite à$x=3$.

vii. $\displaystyle \lim_{x→−∞}f(x)=−∞$et$\displaystyle \lim_{x→+∞}f(x)=+∞$

Réponse

Les réponses peuvent varier ; voir l'exemple suivant :

3." style="width: 419px; height: 422px;" width="419px" height="422px" src="https://math.libretexts.org/@api/dek...02_04_207.jpeg">

28) Esquissez le graphe de la fonction$y=f(x)$ avec les propriétés i. à iv.

i. Le domaine de$f$ est [$0,5$].

ii. $\displaystyle \lim_{x→1^+}f(x)$$\displaystyle \lim_{x→1^−}f(x)$existent et sont égaux.

iii. $f(x)$est laissé continu mais pas continu à$x=2$, et à droite continu mais non continu à$x=3$.

iv. $f(x)$présente une discontinuité amovible à$x=1$, une discontinuité de saut à$x=2$, et les limites suivantes sont maintenues :$\displaystyle \lim_{x→3^−}f(x)=−∞$ et$\displaystyle \lim_{x→3^+}f(x)=2$.

Dans les exercices 29 à 30, supposons que$y=f(x)$ c'est défini pour tous$x$. Pour chaque description, esquissez un graphique avec la propriété indiquée.

29) Discontinu$x=1$ avec$\displaystyle \lim_{x→−1}f(x)=−1$ et$\displaystyle \lim_{x→2}f(x)=4$

Réponse

Les réponses peuvent varier ; voir l'exemple suivant :

Le graphique d'une fonction par morceaux en deux parties. La première partie est une courbe croissante qui existe pour x < 1. Elle se termine à (1,1). La deuxième partie est une ligne croissante qui existe pour x 1. Cela commence à (1,3)." style="width: 423px; height: 431px;" width="423px" height="431px" src="https://math.libretexts.org/@api/dek...02_04_205.jpeg">

30) Discontinu$x=2$ mais continu ailleurs avec$\displaystyle \lim_{x→0}f(x)=\frac{1}{2}$

Déterminez si chacune des affirmations données est vraie. Justifiez votre réponse par une explication ou un contre-exemple.

31)$f(t)=\dfrac{2}{e^t−e^{−t}}$ est continue partout.

Réponse: Faux. Il est continu sur ($−∞,0$) ($0,∞$).

32) Si les limites gauche et droite de$f(x)$ as$x→a$ existent et sont égales, alors$f$ ne peuvent pas être discontinues à$x=a$.

33) Si une fonction n'est pas continue en un point, elle n'est pas définie à ce point.

Réponse: Faux. Considérez$f(x)=\begin{cases}x, & \text{if }x≠0\\ 4, & \text{if }x=0\end{cases}$.

34) Selon l'IVT,$\cos x−\sin x−x=2$ a une solution sur l'intervalle [$−1,1$].

35) S'il$f(x)$ est continu$f(a)$ et a$f(b)$ des signes opposés, alors$f(x)=0$ a exactement une solution dans [$a,b$].

Réponse: Faux. Pensez$f(x)=\cos(x)$ à [$−π,2π$].

36) La fonction$f(x)=\dfrac{x^2−4x+3}{x^2−1}$ est continue sur l'intervalle [$0,3$].

37) Il$f(x)$ est continu partout et$f(a),f(b)>0$, alors il n'y a pas de racine de$f(x)$ dans l'intervalle [$a,b$].

Réponse: Faux. L'IVT ne fonctionne pas à l'envers ! Considérez$(x−1)^2$ sur l'intervalle [$−2,2$].

[T] Les problèmes suivants concernent la forme scalaire de la loi de Coulomb, qui décrit la force électrostatique entre deux charges ponctuelles, telles que les électrons. Elle est donnée par l'équation$F(r)=k_e\dfrac{|q_1q_2|}{r^2}$, où$k_e$$q_i$ sont la constante de Coulomb, les magnitudes des charges des deux particules et$r$ la distance entre les deux particules.

38) Pour simplifier le calcul d'un modèle comportant de nombreuses particules en interaction, après une certaine valeur seuil$r=R$, nous approchons$F$ de zéro.

a. Expliquez le raisonnement physique qui sous-tend cette hypothèse.

b. Qu'est-ce que l'équation de force ?

c. Évaluez la force$F$ en utilisant à la fois la loi de Coulomb et notre approximation, en supposant que deux protons ayant une amplitude de charge de$1.6022×10^{−19}$ coulombs (C) et la constante de Coulomb$k_e=8.988×10^9Nm^2/C^2$ sont distants de 1 m. Supposons également que$R<1$ m. Quelle imprécision génère notre approximation ? Notre estimation est-elle raisonnable ?

d. Y a-t-il une valeur finie de R pour laquelle ce système reste continu à R ?

39) Au lieu de faire fonctionner la force$0$$R$, nous la laissons$10−20$ servir$r≥R$. Supposons deux protons, qui ont une amplitude de charge$1.6022×10^{−19}\;C$, et la constante de Coulomb$k_e=8.988×10^9\;Nm^2/C^2$. Y a-t-il une valeur$R$ qui puisse assurer la continuité de ce système ? Si c'est le cas, trouvez-le.

Réponse: $R=0.0001519$m

Souvenez-vous de la discussion sur les engins spatiaux dans l'ouverture du chapitre. Les problèmes suivants concernent le lancement d'une fusée depuis la surface de la Terre. La force de gravité sur la fusée est donnée par$F(d)=−mk/d^2$, où m est la masse de la fusée,$d$ la distance entre la fusée et le centre de la Terre et$k$ est une constante.

40) [T] Déterminez la valeur et les unités$k$ étant donné que la masse de la fusée sur Terre est de 3 millions de kg. (Indice : la distance entre le centre de la Terre et sa surface est de 6378 km.)

41) [T] Après une certaine distance, l'$D$effet gravitationnel de la Terre devient négligeable, nous pouvons donc approximer la fonction de force par$F(d)=\begin{cases}−\dfrac{mk}{d^2}, & \text{if }d<D\\ 10,000, & \text{if }d≥D\end{cases}$. Trouvez la condition nécessaire pour$D$ que la fonction de force reste continue.

Réponse: $D=63.78$km

42) Lorsque la fusée s'éloigne de la surface de la Terre, il y a une distance D où elle perd une partie de sa masse, puisqu'elle n'a plus besoin de l'excédent de stockage de carburant. Nous pouvons écrire cette fonction sous la forme$F(d)=\begin{cases} −\dfrac{m_1k}{d^2}, & \text{if }d<D \\ −\dfrac{m_2k}{d^2}, & \text{if }d≥D\end{cases}$. Y a-t-il une valeur$D$ telle que cette fonction soit continue, en supposant$m_1≠m_2$ ?

Dans les exercices 43 à 44, prouvez que chaque fonction est continue partout.

43)$f(θ)=\sin θ$

Réponse: Pour toutes les valeurs de$a$,$f(a)$ est défini,$\displaystyle \lim_{θ→a}f(θ)$ existe et$\displaystyle \lim_{θ→a}f(θ)=f(a)$. Par conséquent,$f(θ)$ est continu partout.

44)$g(x)=|x|$

45) Où est$f(x)=\begin{cases} 0, & \text{if } x \text{ is irrational}\\ 1, & \text{if }x\text{ is rational}\end{cases}$ continu ?

Réponse: nulle part