3.1 : Définition de la dérivée

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Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
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Objectifs d'apprentissage

Reconnaissez la signification de la tangente à une courbe en un point.
Calculez la pente d'une tangente.
Identifiez la dérivée comme étant la limite d'un quotient de différence.
Calculez la dérivée d'une fonction donnée à un point.
Décrivez la vitesse comme un taux de variation.
Expliquez la différence entre la vitesse moyenne et la vitesse instantanée.
Estimez la dérivée à partir d'un tableau de valeurs.

Maintenant que nous avons une compréhension conceptuelle d'une limite et que nous avons la capacité pratique de calculer des limites, nous avons jeté les bases de notre étude du calcul, la branche des mathématiques dans laquelle nous calculons des dérivées et des intégrales. La plupart des mathématiciens et des historiens s'accordent à dire que le calcul a été développé indépendamment par l'Anglais Isaac Newton (1643—1727) et l'Allemand Gottfried Leibniz (1646—1716), dont les images apparaissent dans la Figure$\PageIndex{1}$. Lorsque nous attribuons à Newton et Leibniz le développement du calcul, nous faisons réellement référence au fait que Newton et Leibniz ont été les premiers à comprendre la relation entre la dérivée et l'intégrale. Les deux mathématiciens ont bénéficié des travaux de leurs prédécesseurs, tels que Barrow, Fermat et Cavalieri. La relation initiale entre les deux mathématiciens semble avoir été amicale ; toutefois, plus tard, une âpre controverse a éclaté sur la question de savoir quel travail avait préséance. Bien qu'il semble probable que Newton soit d'abord parvenu aux idées qui sous-tendent le calcul, nous sommes redevables à Leibniz pour la notation que nous utilisons couramment aujourd'hui.

Photos de Newton et Leibniz. — Figure$\PageIndex{1}$ : Newton et Leibniz sont reconnus pour avoir développé le calcul indépendamment.

Lignes tangentes

Nous commençons notre étude du calcul en revisitant la notion de droites sécantes et de droites tangentes. Rappelons que nous avons utilisé la pente d'une droite sécante par rapport à une fonction$(a,f(a))$ à un point pour estimer le taux de variation, ou le taux auquel une variable change par rapport à une autre variable. Nous pouvons obtenir la pente de la sécante en choisissant une valeur de x près de a et en traçant une ligne passant par les points$(a,f(a))$ et$(x,f(x))$, comme le montre la figure$\PageIndex{2}$. La pente de cette droite est donnée par une équation sous forme de quotient de différence :

\[m_{sec}=\frac{f(x)−f(a)}{x−a} \nonumber \]

Nous pouvons également calculer la pente d'une droite sécante par rapport à une fonction à une valeur a en utilisant cette équation et en la$x$ remplaçant par$a+h$, où$h$ est une valeur proche de a. Nous pouvons ensuite calculer la pente de la droite à travers les points$(a,f(a))$ et$(a+h,f(a+h))$. Dans ce cas, nous trouvons que la droite sécante a une pente donnée par le quotient de différence suivant avec incrément$h$ :

\[m_{sec}=\frac{f(a+h)−f(a)}{a+h−a}=\frac{f(a+h)−f(a)}{h} \nonumber \]

Définition : Quotient de différence

$f$Soit une fonction définie sur un intervalle$I$ contenant$a$. Si$x≠a$ c'est dedans$I$, alors

\[Q=\frac{f(x)−f(a)}{x−a} \nonumber \]

est un quotient de différence.

De plus, s'il$h≠0$ est choisi de telle sorte qu'$a+h$il soit dedans$I$, alors

\[Q=\frac{f(a+h)−f(a)}{h} \nonumber \]

est un quotient de différence avec incrément$h$.

Ces deux expressions pour calculer la pente d'une droite sécante sont illustrées dans la figure$\PageIndex{2}$. Nous verrons que chacune de ces deux méthodes pour déterminer la pente d'une droite sécante a de la valeur. En fonction du réglage, nous pouvons choisir l'un ou l'autre. La principale considération dans notre choix dépend généralement de la facilité de calcul.

alt — Figure$\PageIndex{2}$ : Nous pouvons calculer la pente d'une droite sécante de deux manières.

Sur la figure,$\PageIndex{3a}$ nous voyons qu'à mesure que les valeurs de s'$x$approchent$a$, les pentes des droites sécantes fournissent de meilleures estimations du taux de variation de la fonction à$a$. De plus, les droites sécantes elles-mêmes se rapprochent de la tangente à la fonction at$a$, qui représente la limite des droites sécantes. De même, la figure$\PageIndex{3b}$ montre qu'à mesure que les valeurs de$h$ se rapprochent$0$, les droites sécantes s'approchent également de la tangente. La pente de la tangente at$a$ est le taux de variation de la fonction at$a$, comme indiqué sur la figure$\PageIndex{3c}$.

Cette figure se compose de trois graphes étiquetés a, b et c. La figure a montre le plan de coordonnées cartésien avec 0, a, x2 et x1 marqués dans l'ordre sur l'axe des abscisses. Il existe une courbe étiquetée y = f (x) avec des points marqués (a, f (a)), (x2, f (x2)) et (x1, f (x1)). Il existe trois lignes droites : les premières croix (a, f (a)) et (x1, f (x1)) ; les deuxièmes croix (a, f (a)) et (x2, f (x2)) ; et la troisième touche uniquement (a, f (a)), ce qui en fait la tangente. Au bas du graphique, l'équation mtan = limx → a (f (x) - f (a))/(x - a) est donnée. La figure b montre un graphique similaire, mais cette fois, a + h2 et a + h1 sont marqués sur l'axe des abscisses au lieu de x2 et x1. Par conséquent, la courbe étiquetée y = f (x) passe par (a, f (a)), (a + h2, f (a + h2)) et (a + h1, f (a + h1)) et les droites traversent le graphique de la même manière que sur la figure a. Au bas du graphique, l'équation mtan = limh → 0 (f (a + h) - f (a)) /h est donné. La figure c montre uniquement la courbe étiquetée y = f (x) et sa tangente au point (a, f (a)). — Figure$\PageIndex{3}$ : Les droites sécantes s'approchent de la tangente (en vert) lorsque le deuxième point s'approche du premier.

Dans la figure,$\PageIndex{4}$ nous montrons le graphique$f(x)=\sqrt{x}$ et sa tangente à$(1,1)$ dans une série d'intervalles plus serrés environ$x=1$. À mesure que les intervalles se rétrécissent, le graphe de la fonction et sa tangente semblent coïncider, ce qui fait des valeurs de la tangente une bonne approximation des valeurs de la fonction pour des choix$x$ proches de$1$. En fait, le graphe$f(x)$ lui-même semble être localement linéaire à proximité immédiate de$x=1$.

Cette figure se compose de quatre graphes étiquetés a, b, c et d. La figure a montre les graphes de la racine carrée de x et de l'équation y = (x + 1) /2, l'axe des x allant de 0 à 4 et l'axe des y allant de 0 à 2,5. Les graphes de ces deux fonctions sont très proches de 1 ; il y a une boîte autour de laquelle ces graphes apparaissent de près. La figure b montre un gros plan de ces deux mêmes fonctions dans la zone de la boîte de la figure a, en particulier x allant de 0 à 2 et y allant de 0 à 1,4. La figure c est le même graphique que la figure b, mais celle-ci comporte une boîte de 0 à 1,1 en coordonnée x et de 0,8 et 1 en coordonnée y. Une flèche indique que cela est agrandi sur la figure d. La figure d montre une image très rapprochée de la boîte de la figure c, et les deux fonctions semblent se toucher sur presque toute la longueur du graphique. — Figure$\PageIndex{4}$ : Pour des valeurs$x$ proches de$1$, le graphique$f(x)=\sqrt{x}$ et sa tangente semblent coïncider.

Formellement, nous pouvons définir la tangente au graphe d'une fonction comme suit.

Définition : Ligne tangente

$f(x)$Soit une fonction définie dans un intervalle ouvert contenant$a$. La tangente à$f(x)$ at$a$ est la droite passant par le point$(a,f(a))$ de pente

\[m_{tan}=\lim_{x→a}\frac{f(x)−f(a)}{x−a} \label{tanline1} \]

à condition que cette limite existe.

De manière équivalente, nous pouvons définir la tangente$a$ à$f(x)$ at comme$(a,f(a))$ étant la droite passant par le point de pente

\[m_{tan}=\lim_{h→0}\frac{f(a+h)−f(a)}{h} \label{tanline2} \]

à condition que cette limite existe.

Tout comme nous avons utilisé deux expressions différentes pour définir la pente d'une droite sécante, nous utilisons deux formes différentes pour définir la pente de la tangente. Dans ce texte, nous utilisons les deux formes de définition. Comme précédemment, le choix de la définition dépendra du réglage. Maintenant que nous avons formellement défini une droite tangente à une fonction en un point, nous pouvons utiliser cette définition pour trouver des équations de lignes tangentes.

Exemple$\PageIndex{1}$: Finding a Tangent Line

Trouve l'équation de la droite tangente au graphe de$f(x)=x^2$ at$x=3.$

Solution

Déterminez d'abord la pente de la tangente. Dans cet exemple, utilisez l'équation \ ref {tanline1}.

\ (\ displaystyle \ begin {align*} m_ {tan} &= \ lim_ {x→3} \ frac {f (x) −f (3)} {x−3} & & \ text {Appliquez la définition.} \ \ [4pt]
&= \ lim_ {x→3} \ frac {x^2−9} {x−3} & & & \ text {Substitut} f (x) =x^2 \ text {et} f (3) =9 \ \ [4 points]
&= \ lim_ {x→3} \ frac {(x−3) (x−3)} {x−3} = \ lim_ {x→3} (x+3) =6 & ; & \ text {Facteur le numérateur pour évaluer la limite.} \ end {align*} \)

Ensuite, trouvez un point sur la tangente. Comme la droite est tangente au graphe de$f(x)$ at$x=3$, elle passe par le point$(3,f(3))$. Nous l'avons fait$f(3)=9$, donc la tangente passe par le point$(3,9)$.

En utilisant l'équation de pente ponctuelle de la droite avec la pente$m=6$ et le point$(3,9)$, nous obtenons la droite$y−9=6(x−3)$. Nous l'avons fait en simplifiant$y=6x−9$. Le graphique$f(x)=x^2$ et sa tangente à$3$ sont présentés sur la figure$\PageIndex{5}$.

Cette figure comprend les graphes de f (x) = x au carré et y = 6x - 9. Les graphes de ces fonctions semblent se toucher à x = 3. — Figure$\PageIndex{5}$ : La tangente à$f(x)$ at$x=3$.

Exemple$\PageIndex{2}$: The Slope of a Tangent Line Revisited

Utilisez l'équation \ ref {tanline2} pour déterminer la pente de la droite tangente au graphe de$f(x)=x^2$ at$x=3$.

Solution

Les étapes sont très similaires à celles de l'exemple$\PageIndex{1}$. Voir l'équation \ ref {tanline2} pour la définition.

\ (\ begin {align*} m_ {tan} &= \ lim_ {h→0} \ frac {f (3+h) −f (3)} {h} & & \ text {Appliquez la définition.} \ \ [4pt]
&= \ lim_ {h→0} \ frac {(3+h) ^2−9} {h} & & \ text {Substitut} f (3+h) ^2−9} {h} & & \ text {Substitut} f (3) +h) =( 3+h) ^2 \ text {et} f (3) =9 \ \ [4pt]
&= \ lim_ {h→0} \ frac {9+6h+h^2−9} {h} & & \ text {Développer et simplifiez pour évaluer la limite.} \ \ [4pt]
&= \ lim_ {h→0} \ frac {h (6+h)} {h} = \ lim_ {h→0} (6+h) =6 \ end {align*} \)

Nous avons obtenu la même valeur pour la pente de la tangente en utilisant l'autre définition, démontrant ainsi que les formules peuvent être interchangées.

Exemple$\PageIndex{3}$: Finding the Equation of a Tangent Line

Détermine l'équation de la droite tangente au graphe de$f(x)=1/x$ at$x=2$.

Solution

Nous pouvons utiliser l'équation \ ref {tanline1}, mais comme nous l'avons vu, les résultats sont les mêmes si nous utilisons l'équation \ ref {tanline2}.

\ (\ displaystyle \ begin {align*} m_ {tan} &= \ lim_ {x→2} \ frac {f (x) −f (2)} {x−2} & & \ text {Appliquez la définition.} \ \ [4pt]
&= \ lim_ {x→2} \ frac {\ frac {1} {x} − \ frac {1} {2}} {x−2} & & \ text {Substitut} f (x) = \ frac {1} {x} \ text {et} f (2) = \ frac {1} {2} \ \ [4 points]
&= \ lim_ {x→2} \ frac {\ frac {1} {x} − \ frac {1} {2}} {x−2} ⋅ \ frac {2x} {2x} & \ text {Multipliez le numérateur et le dénominateur par} 2x \ text {pour simplifier les fractions.} \ \ [4pt]
&= \ lim_ {x→2} \ frac {(2−x)} {(x−2) (2x)} & \ text {Simplifier.} \ \ [4pt]
&= \ lim_ {x→2} \ frac {−1} {2x} & & \ text {Simplifier en utilisant} \ frac {2−x} {x−2} =−1, \ text {pour} xο2. \ \ [4pt]
&=− \ frac {1} {4} & & \ text {Évaluez la limite.} \ end {align*} \)

Nous savons maintenant que la pente de la tangente est$−\frac{1}{4}$. Pour trouver l'équation de la tangente, nous avons également besoin d'un point sur la droite. Nous le savons$f(2)=\frac{1}{2}$. Puisque la tangente passe par le point,$(2,\frac{1}{2})$ nous pouvons utiliser l'équation de pente ponctuelle d'une droite pour trouver l'équation de la tangente. Ainsi, la tangente possède l'équation$y=−\frac{1}{4}x+1$. Les graphiques de$f(x)=\frac{1}{x}$ et$y=−\frac{1}{4}x+1$ sont présentés dans la figure$\PageIndex{6}$.

Cette figure comprend les graphes de f (x) = 1/x et y = -x/4 + 1. La partie du graphe f (x) = 1/x du premier quadrant semble toucher le graphe de l'autre fonction à x = 2. — Figure : La$\PageIndex{6}$ ligne est tangente à at$f(x)$.$x=2$

Exercice$\PageIndex{1}$

Détermine la pente de la droite tangente au graphe de$f(x)=\sqrt{x}$ at$x=4$.

Allusion: Utilisez l'équation \ ref {tanline1} ou l'équation \ ref {tanline2}. Multipliez le numérateur et le dénominateur par un conjugué.

Réponse: $\frac{1}{4}$

La dérivée d'une fonction en un point

Le type de limite que nous calculons afin de déterminer la pente de la droite tangente à une fonction en un point est utilisé dans de nombreuses applications dans de nombreuses disciplines. Ces applications incluent la vitesse et l'accélération en physique, les fonctions de profit marginal en entreprise et les taux de croissance en biologie. Cette limite est si fréquente que nous donnons à cette valeur un nom spécial : la dérivée. Le processus de recherche d'un dérivé s'appelle la différenciation.

Définition : Dérivé

$f(x)$Soit une fonction définie dans un intervalle ouvert contenant$a$. La dérivée de la fonction$f(x)$ at$a$, désignée par$f′(a)$, est définie par

\[f′(a)=\lim_{x→a}\frac{f(x)−f(a)}{x−a} \label{der1} \]

à condition que cette limite existe.

Alternativement, nous pouvons également définir la dérivée de$f(x)$ at$a$ comme

\[f′(a)=\lim_{h→0}\frac{f(a+h)−f(a)}{h}. \label{der2} \]

Exemple$\PageIndex{4}$: Estimating a Derivative

Pour$f(x)=x^2$, utilisez un tableau pour effectuer une estimation à$f′(3)$ l'aide de l'équation \ ref {der1}.

Solution

Créez un tableau en utilisant les valeurs situées$x$ juste en dessous$3$ et juste au-dessus$3$.

$x$	$\dfrac{x^2−9}{x−3}$
\ (x \) » style="text-align:center ; « >2,9	\ (\ dfrac {x^2−9} {x−3} \) » style="text-align:center ; « >5,9
\ (x \) » style="text-align:center ; « >2,99	\ (\ dfrac {x^2−9} {x−3} \) » style="text-align:center ; « >5,99
\ (x \) » style="text-align:center ; « >2,999	\ (\ dfrac {x^2−9} {x−3} \) » style="text-align:center ; « >5,999
\ (x \) » style="text-align:center ; « >3,001	\ (\ dfrac {x^2−9} {x−3} \) » style="text-align:center ; « >6,001
\ (x \) » style="text-align:center ; « >3.01	\ (\ dfrac {x^2−9} {x−3} \) » style="text-align:center ; « >6,01
\ (x \) » style="text-align:center ; « >3.1	\ (\ dfrac {x^2−9} {x−3} \) » style="text-align:center ; « >6,1

Après avoir examiné le tableau, nous constatons qu'une bonne estimation est$f′(3)=6$.

Exercice$\PageIndex{2}$

Pour$f(x)=x^2$, utilisez un tableau pour effectuer une estimation à$f′(3)$ l'aide de l'équation \ ref {der2}.

Allusion: Évaluez$\dfrac{(x+h)^2−x^2}{h}$ à$h=−0.1,\,−0.01,\,−0.001,\,0.001,\,0.01,\,0.1$

Réponse: 6

Exemple$\PageIndex{6}$: Finding a Derivative

Pour$f(x)=3x^2−4x+1$, recherchez à$f′(2)$ l'aide de l'équation \ ref {der1}.

Solution

Remplacez la fonction et la valeur données directement dans l'équation.

\ (\ displaystyle \ begin {align*} f′ (x) &= \ lim_ {x→2} \ frac {f (x) −f (2)} {x−2} & & \ text {Appliquez la définition.} \ \ [4pt]
&= \ lim_ {x→2} \ frac {(3x^2−4x+1) −5} {x−2} & \ text {Substitut} f (x) =3x^2−4x+1 \ text {et} f (2) =5. \ \ [4 points]
&= \ lim_ {x→2} \ frac {(x−2) (3x+2)} {x−2} & & amp ; \ text {Simplifiez et factorisez le numérateur.} \ \ [4pt]
&= \ lim_ {x→2} (3x+2) & & \ text {Annulez le facteur commun.} \ \ [4 points]
&=8 & & \ text {Évaluez la limite.} \ end {align*} \)

Exemple$\PageIndex{7}$: Revisiting the Derivative

Pour$f(x)=3x^2−4x+1$, recherchez$f′(2)$ en utilisant l'équation \ ref {der2}.

Solution

En utilisant cette équation, nous pouvons substituer deux valeurs de la fonction dans l'équation, et nous devrions obtenir la même valeur que dans Example$\PageIndex{6}$.

\ (\ displaystyle \ begin {align*} f′ (2) &= \ lim_ {h→0} \ frac {f (2+h) −f (2)} {h} & & \ text {Appliquez la définition.} \ \ [4pt]
&= \ lim_ {h→0} \ frac {(3 (2+h) ^2−4 (2+h) +1) −5} {h} & & \ text {Substitut} f (2) =5 \ text {et} f (2+h) =3 (2+h) ^2−4 (2+h) +1. \ \ [4 points]
&= \ lim_ {h→0} \ frac {3 (4+4h+h^2) -8-4h+1-5} {h} & & \ text {Développez le numérateur.} \ \ [4pt]
&= \ lim_ {h→0} \ frac {12+12h+3h^2-12-4h} {h} & & \ text {Distribuez et commencez à simplifier le numérateur.} \ \ [4pt]
&= \ lim_ {h→0} \ frac {3h^2^2pt] +8h} {h} & & \ text {Terminez de simplifier le numérateur.} \ \ [4pt]
&= \ lim_ {h→0} \ frac {h (3h+8)} {h} & & \ text {Facturez le numérateur.} \ \ [4pt]
&= \ lim_ {h→0} (3h+8) & & \ text {Annulez le facteur commun.} \ \ [4pt] &=8 & & \ text {Évaluez la limite.} \ \ [4pt]
&=8 & & \ text {Évaluez la limite.} \ end {align*} \)

Les résultats sont les mêmes, que l'on utilise l'équation \ ref {der1} ou l'équation \ ref {der2}.

Exercice$\PageIndex{4}$

Pour$f(x)=x^2+3x+2$, trouvez$f′(1)$.

Allusion: Utilisez l'équation \ ref {der1}, l'équation \ ref {der2}, ou essayez les deux.

Réponse: $f′(1)=5$

Vitesses et taux de variation

Maintenant que nous pouvons évaluer une dérivée, nous pouvons l'utiliser dans des applications de vitesse. Rappelons que si$s(t)$ c'est la position d'un objet se déplaçant le long d'un axe de coordonnées, la vitesse moyenne de l'objet sur un intervalle de temps,$[a,t]$ si$t>a$ ou$[t,a]$ si,$t<a$ est donnée par le quotient de différence

\[v_{ave}=\frac{s(t)−s(a)}{t−a}. \label{avgvel} \]

En tant que valeurs d'$t$approche$a$, les valeurs d'$v_{ave}$approche sont la valeur que nous appelons la vitesse instantanée à$a$. C'est-à-dire que la vitesse instantanée à$a$, notée$v(a)$, est donnée par

\[v(a)=s′(a)=\lim_{t→a}\frac{s(t)−s(a)}{t−a}. \label{instvel} \]

Pour mieux comprendre la relation entre la vitesse moyenne et la vitesse instantanée, voir Figure$\PageIndex{7}$. Sur cette figure, la pente de la tangente (représentée en rouge) est la vitesse instantanée de l'objet à un moment donné$t=a$ dont la position temporelle$t$ est donnée par la fonction$s(t)$. La pente de la ligne sécante (indiquée en vert) est la vitesse moyenne de l'objet sur l'intervalle de temps$[a,t]$.

Cette figure représente le plan de coordonnées cartésien avec 0, a et t1 marqués sur l'axe t. La fonction y = s (t) est représentée graphiquement dans le premier quadrant avec deux lignes marquées tangente et sécante. La tangente touche y = s (t) en un seul point, (a, s (a)). La ligne sécante touche y = s (t) en deux points : (a, s (a)) et (t1, s (t1)). — Figure$\PageIndex{7}$ : La pente de la ligne sécante est la vitesse moyenne sur l'intervalle$[a,t]$. La pente de la tangente est la vitesse instantanée.

Nous pouvons utiliser l'équation \ ref {instvel} pour calculer la vitesse instantanée, ou nous pouvons estimer la vitesse d'un objet en mouvement à l'aide d'un tableau de valeurs. Nous pouvons ensuite confirmer l'estimation en utilisant l'équation \ ref {avgvel}.

Exemple$\PageIndex{8}$: Estimating Velocity

Un poids en plomb sur un ressort oscille de haut en bas. Sa position temporelle$t$ par rapport à une ligne horizontale fixe est donnée par$s(t)=\sin t$ (Figure$\PageIndex{8}$). Utilisez un tableau de valeurs pour effectuer une estimation$v(0)$. Vérifiez l'estimation à l'aide de l'équation \ ref {instvel}.

Photo d'un ressort suspendu avec un poids au bout. Il y a une ligne pointillée horizontale marquée par 0 un peu au-dessus du poids. — Figure$\PageIndex{8}$ : Un poids en plomb suspendu à un ressort dans un mouvement oscillant vertical.

Solution

Nous pouvons estimer la vitesse instantanée à$t=0$ en calculant un tableau des vitesses moyennes à l'aide des valeurs d'$t$approche$0$, comme indiqué dans le tableau$\PageIndex{2}$.

Tableau$\PageIndex{2}$ : Vitesses moyennes en utilisant des valeurs$t$ proches de 0
$t$	$\frac{\sin t−\sin 0}{t−0}=\frac{\sin t}{t}$
\ (t \) » style="text-align:center ; « >−0,1	\ (\ frac {\ sin t− \ sin 0} {t−0} = \ frac {\ sin t} \) » style="text-align:center ; « >0.998334166
\ (t \) » style="text-align:center ; « >−0,01	\ (\ frac {\ sin t− \ sin 0} {t−0} = \ frac {\ sin t} \) » style="text-align:center ; « >0.9999833333
\ (t \) » style="text-align:center ; « >−0,001	\ (\ frac {\ sin t− \ sin 0} {t−0} = \ frac {\ sin t} \) » style="text-align:center ; « >0.999999833
\ (t \) » style="text-align:center ; « >0,001	\ (\ frac {\ sin t− \ sin 0} {t−0} = \ frac {\ sin t} \) » style="text-align:center ; « >0.999999833
\ (t \) » style="text-align:center ; « >0,01	\ (\ frac {\ sin t− \ sin 0} {t−0} = \ frac {\ sin t} \) » style="text-align:center ; « >0.9999833333
\ (t \) » style="text-align:center ; « >0,1	\ (\ frac {\ sin t− \ sin 0} {t−0} = \ frac {\ sin t} \) » style="text-align:center ; « >0.998334166

Dans le tableau, nous voyons que la vitesse moyenne sur l'intervalle de temps$[−0.1,0]$ est$0.998334166$, la vitesse moyenne sur l'intervalle de temps$[−0.01,0]$ est$0.9999833333$, et ainsi de suite. À l'aide de ce tableau de valeurs, il apparaît qu'une bonne estimation est$v(0)=1$.

En utilisant l'équation \ ref {instvel}, nous pouvons voir que

\[v(0)=s′(0)=\lim_{t→0}\frac{\sin t−\sin 0}{t−0}=\lim_{t→0}\frac{\sin t}{t}=1. \nonumber \]

Donc, en fait,$v(0)=1$.

Exercice$\PageIndex{5}$

Un rocher tombe d'une hauteur de$64$ pieds. Sa hauteur au-dessus du sol quelques$t$ secondes plus tard est donnée par$s(t)=−16t^2+64,\;0≤t≤2$. Déterminez sa vitesse instantanée$1$ seconde après sa chute, à l'aide de l'équation \ ref {instvel}.

Allusion: $v(t)=s′(t)$. Suivez les exemples précédents de la dérivée en utilisant l'équation \ ref {instvel}.

Réponse: −32 pieds/s

Comme nous l'avons vu tout au long de cette section, la pente d'une tangente à une fonction et la vitesse instantanée sont des concepts connexes. Chacune est calculée en calculant une dérivée et chacune mesure le taux de variation instantané d'une fonction, ou le taux de variation d'une fonction à n'importe quel point de la fonction.

Définition : Taux de variation instantané

Le taux de variation instantané d'une fonction$f(x)$ à une valeur$a$ est sa dérivée$f′(a)$.

Exemple$\PageIndex{9}$: Chapter Opener: Estimating Rate of Change of Velocity

Atteignant une vitesse maximale de$270.49$ km/h, la Hennessey Venom GT est l'une des voitures les plus rapides au monde. Lors des tests, il est passé de$0$ à$60$ mi/h en$3.05$ secondes, de$0$ à$100$ mi/h en$5.88$ secondes, de$0$ à$200$ mi/h en$14.51$ secondes et de$0$ à$229.9$ mi/h en$19.96$ secondes. Utilisez ces données pour tirer une conclusion sur le taux de variation de la vitesse (c'est-à-dire son accélération) à mesure qu'elle approche les$229.9$ mi/h. La vitesse à laquelle la voiture accélère semble-t-elle augmenter, diminuer ou être constante ?

La même voiture de sport qui roule à toute vitesse sur une route sinueuse depuis le début du chapitre. — Figure$\PageIndex{9}$ : (crédit : modification de l'œuvre par Codex41, Flickr)

Solution : Observez d'abord que$60$ mph =$88$ pieds/s,$100$ mph ≈$146.67$ pieds/s,$200$ mph ≈$293.33$ pieds/s et$229.9$ mph ≈$337.19$ pieds/s. Nous pouvons résumer les informations dans un tableau.

Tableau$\PageIndex{3}$: $v(t)$ à différentes valeurs de$t$
$t$	$v(t)$
\ (t \) « >0	\ (v (t) \) « >0
\ (t \) « >3,05	\ (v (t) \) « >88
\ (t \) « >5,88	\ (v (t) \) « >147,67
\ (t \) « >14,51	\ (v (t) \) « >293,33
\ (t \) « >19,96	\ (v (t) \) « >337,19

Calculez maintenant l'accélération moyenne de la voiture en pieds par seconde sur des intervalles de la forme à$[t,19.96]$ mesure que l'on$t$ approche$19.96$, comme indiqué dans le tableau suivant.

Accélération moyenne
$t$	$\dfrac{v(t)−v(19.96)}{t−19.96}=\dfrac{v(t)−337.19}{t−19.96}$
\ (t \) « >0,0	\ (\ dfrac {v (t) −v (19,96)} {t−19,96} = \ dfrac {v (t) −337,19} {t−19,96} \) « >16,89
\ (t \) « >3,05	\ (\ dfrac {v (t) −v (19,96)} {t−19,96} = \ dfrac {v (t) −337,19} {t−19,96} \) « >14,74
\ (t \) « >5,88	\ (\ dfrac {v (t) −v (19,96)} {t−19,96} = \ dfrac {v (t) −337,19} {t−19,96} \) « >13,46
\ (t \) « >14,51	\ (\ dfrac {v (t) −v (19,96)} {t−19,96} = \ dfrac {v (t) −337,19} {t−19,96} \) « >8,05

La vitesse à laquelle la voiture accélère diminue à mesure que sa vitesse approche les$229.9$ mi/h ($337.19$ft/s).

Exemple$\PageIndex{10}$: Rate of Change of Temperature

Un propriétaire règle le thermostat de telle sorte que la température de la maison commence$70°F$ à baisser à partir de$9$ midi, atteigne un minimum$60°$ pendant la nuit et remonte$70°$ au$7$ matin le lendemain matin. Supposons que la température de la maison soit donnée par$T(t)=0.4t^2−4t+70$ pour$0≤t≤10$, où$t$ est le nombre d'$9$heures après l'après-midi. Trouvez le taux de variation instantané de la température à minuit.

Solution

Comme minuit est passé$3$ quelques$9$ heures après l'après-midi, nous voulons calculer$T′(3)$. Reportez-vous à l'équation \ ref {der1}.

\ (\ displaystyle \ begin {align*} T' (3) &= \ lim_ {t→3} \ frac {T (t) −T (3)} {t−3} & & \ text {Appliquez la définition.} \ \ [4pt]
&= \ lim_ {t→3} \ frac {0.4t^2−4t+70−61,6} {t−3} & & \ text {Substitut} T (t) =0,4 t^2−4t+70 \ text {et} T (3) =61,6. \ \ [4 points]
&= \ lim_ {t→3} \ frac {0,4 t^2−4t+8,4} {t− 3} & & \ text {Simplifier.} \ \ [4pt]
&= \ lim_ {t→3} \ frac {0.4 (t−3) (t−7)} {t−3} \ \ [4pt]
&= \ lim_ {t→3} 0,4 (t−7) & \ text {Annuler.} \ \ [4 points] &=−1,6 & & \ text {Évaluez la limite.} \ \ [4 points]
&=−1,6 & & \ text {Évaluez la limite.} \ end {align*} \)

La vitesse instantanée de variation de la température à minuit est de l'$−1.6°F$heure.

Exemple$\PageIndex{11}$: Rate of Change of Profit

Un fabricant de jouets peut vendre des consoles de jeu$x$ électroniques au prix de$p=−0.01x+400$ dollars par système de jeu. Le coût de fabrication$x$ des systèmes est exprimé en$C(x)=100x+10,000$ dollars. Déterminez le taux de variation des bénéfices lorsque$10,000$ des jeux sont produits. L'entreprise de jouets doit-elle augmenter ou diminuer sa production ?

Solution

Le bénéfice$P(x)$ réalisé par la production$x$ de systèmes de jeu est$R(x)−C(x)$, où$R(x)$ se situent les revenus provenant de la vente de$x$ jeux. Puisque la société peut vendre$x$ des jeux$p=−0.01x+400$ par jeu,

$R(x)=xp=x(−0.01x+400)=−0.01x^2+400x$.

Par conséquent,

$P(x)=−0.01x^2+300x−10,000$.

Par conséquent, l'évaluation du taux de variation du bénéfice donne

\ (\ displaystyle \ begin {align*} P′ (10 000) &= \ lim_ {x→10000} \ frac {P (x) −P (10 000)} {x−10000} \ \ [4 points]
&= \ lim_ {x→10000} \ frac {−0,011x^2+300x−10000−1990000} {x−10000} \ \ [4 points]
&= \ lim_ {x→10 000} \ frac {−0,01 x ^2+300 x −2 000 000} {x−10 000} \ \ [4 points]
&=100 \ end {align*} \).

Depuis le taux de variation des bénéfices$P′(10,000)>0$ et$P(10,000)>0$, l'entreprise devrait augmenter sa production.

Exercice$\PageIndex{6}$

Un café détermine que le bénéfice quotidien sur les scones obtenu en facturant des dollars par scone est de$P(s)=−20s^2+150s−10$. Le café facture actuellement$$3.25$ par scone. Trouvez$P′(3.25)$ le taux de variation des bénéfices lorsque le prix est bas$$3.25$ et décidez si le café doit ou non envisager d'augmenter ou de baisser ses prix sur les scones.

Allusion: Utilisez l'exemple$\PageIndex{11}$ pour un guide.

Réponse: $P′(3.25)=20>0$; augmenter les prix

Concepts clés

La pente de la tangente à une courbe mesure le taux de variation instantané d'une courbe. Nous pouvons le calculer en déterminant la limite du quotient de différence ou le quotient de différence avec incrément$h$.
La dérivée d'une fonction$f(x)$ à une valeur$a$ est déterminée à l'aide de l'une ou l'autre des définitions de la pente de la tangente.
La vitesse est le taux de changement de position. Ainsi, la vitesse dans le$v(t)$ temps$t$ est la dérivée de la position$s(t)$ dans le temps$t$.
La vitesse moyenne est donnée par La vitesse\[v_{ave}=\dfrac{s(t)−s(a)}{t−a}. \nonumber \] instantanée est donnée par\[\displaystyle v(a)=s′(a)=\lim_{t→a}\frac{s(t)−s(a)}{t−a}. \nonumber \]
Nous pouvons estimer une dérivée à l'aide d'un tableau de valeurs.

Équations clés

Quotient de différence

$Q=\dfrac{f(x)−f(a)}{x−a}$

Quotient de différence avec incrément h

$Q=\dfrac{f(a+h)−f(a)}{a+h−a}=\dfrac{f(a+h)−f(a)}{h}$

Pente de la tangente

$\displaystyle m_{tan}=\lim_{x→a}\frac{f(x)−f(a)}{x−a}$

$\displaystyle m_{tan}=\lim_{h→0}\frac{f(a+h)−f(a)}{h}$

Dérivée de f (x) en a

$\displaystyle f′(a)=\lim_{x→a}\frac{f(x)−f(a)}{x−a}$

$\displaystyle f′(a)=\lim_{h→0}\frac{f(a+h)−f(a)}{h}$

Vitesse moyenne

$v_{ave}=\dfrac{s(t)−s(a)}{t−a}$

Vitesse instantanée

$\displaystyle v(a)=s′(a)=\lim_{t→a}\frac{s(t)−s(a)}{t−a}$

Lexique

dérivé: la pente de la tangente à une fonction en un point, calculée en prenant la limite du quotient de différence, est la dérivée

quotient de différence

d'une fonction$f(x)$ at$a$ est donnée par

$\dfrac{f(a+h)−f(a)}{h}$ou$\dfrac{f(x)−f(a)}{x−a}$

différenciation: le processus de prise d'un dérivé

taux de variation instantané: le taux de variation d'une fonction à n'importe quel point de la fonction$a$, également appelée$f′(a)$, ou la dérivée de la fonction à$a$

Définition : Quotient de différence

Définition : Ligne tangente

Exemple\(\PageIndex{1}\): Finding a Tangent Line

Exemple\(\PageIndex{2}\): The Slope of a Tangent Line Revisited

Exemple\(\PageIndex{3}\): Finding the Equation of a Tangent Line

Exercice\(\PageIndex{1}\)

Définition : Dérivé

Exemple\(\PageIndex{4}\): Estimating a Derivative

Exercice\(\PageIndex{2}\)

Exemple\(\PageIndex{6}\): Finding a Derivative

Exemple\(\PageIndex{7}\): Revisiting the Derivative

Exercice\(\PageIndex{4}\)

Exemple\(\PageIndex{8}\): Estimating Velocity

Exercice\(\PageIndex{5}\)

Définition : Taux de variation instantané

Exemple\(\PageIndex{9}\): Chapter Opener: Estimating Rate of Change of Velocity

Exemple\(\PageIndex{10}\): Rate of Change of Temperature

Exemple\(\PageIndex{11}\): Rate of Change of Profit

Exercice\(\PageIndex{6}\)