3.6E : Exercices pour la section 3.6

Dans les exercices 1 à 6, donnez\(y=f(u)\) et\(u=g(x)\) trouvez en\(\dfrac{dy}{dx}\) utilisant la notation de Leibniz pour la règle de chaîne :\(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\dfrac{du}{dx}.\)

1)\(y=3u−6,\quad u=2x^2\)

2)\(y=6u^3,\quad u=7x−4\)

Réponse

\(\dfrac{dy}{dx} = 18u^2⋅7=18(7x−4)^2⋅7= 126(7x−4)^2\)

3)\(y=\sin u,\quad u=5x−1\)

4)\(y=\cos u,\quad u=-\frac{x}{8}\)

Réponse

\(\dfrac{dy}{dx} = −\sin u⋅\left(-\frac{1}{8}\right)=\frac{1}{8}\sin(-\frac{x}{8})\)

5)\(y=\tan u,\quad u=9x+2\)

6)\(y=\sqrt{4u+3},\quad u=x^2−6x\)

Réponse

\(\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{8x−24}{2\sqrt{4u+3}}=\dfrac{4x−12}{\sqrt{4x^2−24x+3}}\)

Pour chacun des exercices suivants,

a. décomposer chaque fonction sous la forme\(y=f(u)\) et\(u=g(x)\)

b. rechercher\(\dfrac{dy}{dx}\) en fonction de\(x\).

7)\(y=(3x−2)^6\)

8)\(y=(3x^2+1)^3\)

Réponse

a.\(f(u)=u^3,\quad u=3x^2+1\) ;

b.\(\dfrac{dy}{dx} = 18x(3x^2+1)^2\)

9)\(y=\sin^5(x)\)

10)\(y=\left(\dfrac{x}{7}+\dfrac{7}{x}\right)^7\)

Réponse

a.\(f(u)=u^7,\quad u=\dfrac{x}{7}+\dfrac{7}{x}\) ;

b.\(\dfrac{dy}{dx} = 7\left(\dfrac{x}{7}+\dfrac{7}{x}\right)^6⋅\left(\dfrac{1}{7}−\dfrac{7}{x^2}\right)\)

11)\(y=\tan(\sec x)\)

(12)\(y=\csc(πx+1)\)

Réponse

a.\(f(u)=\csc u,\quad u=πx+1\) ;

b.\(\dfrac{dy}{dx} = −π\csc(πx+1)⋅\cot(πx+1)\)

13)\(y=\cot^2x\)

(14)\(y=−6\sin^{−3}x\)

Réponse

a.\(f(u)=−6u^{−3},\quad u=\sin x\) ;

b.\(\dfrac{dy}{dx} = 18\sin^{−4}x⋅\cos x\)

Dans les exercices 15 à 24, trouvez\(\dfrac{dy}{dx}\) pour chaque fonction.

15)\(y=(3x^2+3x−1)^4\)

16)\(y=(5−2x)^{−2}\)

Réponse

\(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{4}{(5−2x)^3}\)

17)\(y=\cos^3(πx)\)

18)\(y=(2x^3−x^2+6x+1)^3\)

Réponse

\(\dfrac{dy}{dx}=6(2x^3−x^2+6x+1)^2⋅(3x^2−x+3)\)

19)\(y=\dfrac{1}{\sin^2(x)}\)

(20)\(y=\big(\tan x+\sin x\big)^{−3}\)

Réponse

\(\dfrac{dy}{dx}=−3\big(\tan x+\sin x\big)^{−4}⋅(\sec^2x+\cos x)\)

(21)\(y=x^2\cos^4x\)

22)\(y=\sin(\cos 7x)\)

Réponse

\(\dfrac{dy}{dx}=−7\cos(\cos 7x)⋅\sin 7x\)

23)\(y=\sqrt{6+\sec πx^2}\)

(24)\(y=\cot^3(4x+1)\)

Réponse

\(\dfrac{dy}{dx}=−12\cot^2(4x+1)⋅\csc^2(4x+1)\)

25) Supposons cela\(f′(1)=4\) et\(\frac{dy}{dx}=10\) pour\(x=1\).\(y=\big[f(x)\big]^3\) Trouvez\(f(1)\).

26) Supposons cela\(f(−1)=−4\) et\(\frac{dy}{dx}=3\) quand\(x=−1\).\(y=\big(f(x)+5x^2\big)^4\) Trouvez\(f′(−1)\)

Réponse

\(f′(−1)=10\frac{3}{4}\)

27) Laissez\(y=(f(u)+3x)^2\) et\(u=x^3−2x\). Si\(f(4)=6\) et\(\frac{dy}{dx}=18\) quand\(x=2\), trouvez\(f′(4)\).

28) [T] Détermine l'équation de la tangente\(y=−\sin(\frac{x}{2})\) à l'origine. Utilisez une calculatrice pour représenter graphiquement la fonction et la tangente.

Réponse

\(y=-\frac{1}{2}x\)

29) [T] Détermine l'équation de la tangente\(y=\left(3x+\frac{1}{x}\right)^2\) au point\((1,16)\). Utilisez une calculatrice pour représenter graphiquement la fonction et la tangente.

30) Trouvez les\(x\) coordonnées auxquelles la tangente à\(y=\left(x−\frac{6}{x}\right)^8\) est horizontale.

Réponse

\(x=±\sqrt{6}\)

31) [T] Trouvez une équation de la droite qui est normale\(g(θ)=\sin^2(πθ)\) au point\(\left(\frac{1}{4},\frac{1}{2}\right)\). Utilisez une calculatrice pour représenter graphiquement la fonction et la ligne normale.

Pour les exercices 32 à 39, utilisez les informations du tableau suivant pour trouver\(h′(a)\) la valeur donnée pour\(a\).

\(x\)	\(f(x)\)	\(f'(x)\)	\(g(x)\)	\(g'(x)\)
0	2	5	0	2
1	1	−2	3	0
2	4	4	1	−1
3	3	−3	2	3

32)\(h(x)=f\big(g(x)\big);\quad a=0\)

Réponse

\(h'(0) = 10\)

33)\(h(x)=g\big(f(x)\big);\quad a=0\)

34)\(h(x)=\big(x^4+g(x)\big)^{−2};\quad a=1\)

Réponse

\(h'(1) = −\frac{1}{8}\)

35)\(h(x)=\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)^2;\quad a=3\)

36)\(h(x)=f\big(x+f(x)\big);\quad a=1\)

Réponse

\(h'(1) = −4\)

37)\(h(x)=\big(1+g(x)\big)^3;\quad a=2\)

38)\(h(x)=g\big(2+f(x^2)\big);\quad a=1\)

Réponse

\(h'(1) = −12\)

39)\(h(x)=f\big(g(\sin x)\big);\quad a=0\)

40) [T] La fonction de position d'un train de marchandises est donnée par\(s(t)=100(t+1)^{−2}\),\(s\) en mètres et\(t\) en secondes. Au moment\(t=6\) s, trouvez le train

a. vitesse et

b. accélération.

c. Compte tenu de vos résultats dans les parties a. et b., est-ce que le train accélère ou ralentit ?

Réponse

a.\(v(6) = −\frac{200}{343}\) m/s,

b.\(a(6) = \frac{600}{2401}\;\text{m/s}^2,\)

c. Le train ralentit car la vitesse et l'accélération ont des signes opposés.

41) [T] Une masse suspendue à un ressort vertical est en mouvement harmonique simple, comme indiqué par la fonction de position suivante, où elle\(t\) est mesurée en secondes et\(s\) en pouces :

\[s(t)=−3\cos\left(πt+\frac{π}{4}\right).\nonumber \]

a. Déterminez la position du ressort en\(t=1.5\) s.

b. Détermine la vitesse du ressort en\(t=1.5\) s.

42) [T] Le coût total de production de\(x\) boîtes de biscuits Thin Mint Girl Scout est en\(C\) dollars, alors que la production\(C=0.0001x^3−0.02x^2+3x+300.\) en\(t\) semaines est estimée à\(x=1600+100t\) des boîtes.

a. Déterminer le coût marginal\(C′(x).\)

b. Utilisez la notation de Leibniz pour la règle de la chaîne\(\dfrac{dC}{dt}=\dfrac{dC}{dx}⋅\dfrac{dx}{dt}\), afin de déterminer le taux par rapport au temps pendant\(t\) lequel le coût change.

c. Utilisez votre résultat dans la partie b. pour déterminer la rapidité avec laquelle les coûts augmentent en\(t=2\) semaines. Incluez les unités avec la réponse.

Réponse

a.\(C′(x)=0.0003x^2−0.04x+3\)

b.\(\dfrac{dC}{dt}=100⋅(0.0003x^2−0.04x+3) = 100⋅(0.0003(1600+100t)^2−0.04(1600+100t)+3) = 300t^2 +9200t +70700\)

c. Environ 90 300 dollars par semaine

43) [T] La formule pour l'aire d'un cercle est\(A=πr^2\), où\(r\) est le rayon du cercle. Supposons qu'un cercle s'étende, ce qui signifie que la surface\(A\) et le rayon\(r\) (en pouces) s'étendent à la fois.

a. Supposons\(r=2−\dfrac{100}{(t+7)^2}\) où se\(t\) situe le temps en secondes. Utilisez la règle\(\dfrac{dA}{dt}=\dfrac{dA}{dr}⋅\dfrac{dr}{dt}\) de chaîne pour déterminer la vitesse à laquelle la zone s'étend.

b. Utilisez votre résultat dans la partie a. pour déterminer le taux d'expansion de la zone à\(t=4\) s.

44) [T] La formule pour le volume d'une sphère est\(S=\frac{4}{3}πr^3\), où\(r\) (en pieds) est le rayon de la sphère. Supposons qu'une boule de neige sphérique fond au soleil.

a. Supposons\(r=\dfrac{1}{(t+1)^2}−\dfrac{1}{12}\) où se\(t\) situe le temps en minutes. Utilisez la règle\(\dfrac{dS}{dt}=\dfrac{dS}{dr}⋅\dfrac{dr}{dt}\) de chaîne pour déterminer la vitesse à laquelle la boule de neige fond.

b. Utilisez votre résultat dans la partie a. pour déterminer la vitesse à laquelle le volume change au\(t=1\) minimum.

Réponse

a.\(\dfrac{dS}{dt}=−\dfrac{8πr^2}{(t+1)^3} = −\dfrac{8π\left( \dfrac{1}{(t+1)^2}−\dfrac{1}{12} \right)^2}{(t+1)^3}\)

b. Le volume diminue à une vitesse de\(−\frac{π}{36}\; \text{ft}^3\) /min

45) [T] La température quotidienne en degrés Fahrenheit de Phoenix en été peut être modélisée à l'aide de la fonction\(T(x)=94−10\cos\left[\frac{π}{12}(x−2)\right]\), où se\(x\) situe quelques heures après minuit. Déterminez la vitesse à laquelle la température change à 16 heures.

46) [T] La profondeur (en pieds) de l'eau sur un quai varie en fonction de la montée et de la descente des marées. La profondeur est modélisée par la fonction\(D(t)=5\sin\left(\frac{π}{6}t−\frac{7π}{6}\right)+8\), où\(t\) est le nombre d'heures après minuit. Déterminez la vitesse à laquelle la profondeur change à 6 heures du matin.

Réponse

\(~2.3\)pieds/heure