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3.8E : Exercices pour la section 3.8

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    Dans les exercices 1 à 10, utilisez la différenciation implicite pour trouver\(\dfrac{dy}{dx}\).

    1)\(x^2−y^2=4\)

    2)\(6x^2+3y^2=12\)

    Réponse
    \(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{−2x}{y}\)

    3)\(x^2y=y−7\)

    4)\(3x^3+9xy^2=5x^3\)

    Réponse
    \(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x}{3y}−\dfrac{y}{2x}\)

    5)\(xy−\cos(xy)=1\)

    6)\(y\sqrt{x+4}=xy+8\)

    Réponse
    \(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y−\dfrac{y}{2\sqrt{x+4}}}{\sqrt{x+4}−x}\)

    7)\(−xy−2=\frac{x}{7}\)

    8)\(y\sin(xy)=y^2+2\)

    Réponse
    \(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y^2\cos(xy)}{2y−\sin(xy)−xy\cos(xy)}\)

    9)\((xy)^2+3x=y^2\)

    10)\(x^3y+xy^3=−8\)

    Réponse
    \(\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{−3x^2y−y^3}{x^3+3xy^2}\)

    Pour les exercices 11 à 16, trouvez l'équation de la tangente au graphique de l'équation donnée au point indiqué. Utilisez une calculatrice ou un logiciel pour représenter graphiquement la fonction et la tangente.

    11) [T]\(x^4y−xy^3=−2, \quad (−1,−1)\)

    12) [T]\(x^2y^2+5xy=14,\quad (2,1)\)

    Réponse

    \(y=−\frac{1}{2}x+2\)

    Le graphique comporte un croissant dans chacun des quatre quadrants. Il existe une droite marquée T (x) avec une pente −1/2 et une intersection y 2.

    13) [T]\(\tan(xy)=y,\quad \left(\frac{π}{4},1\right)\)

    14) [T]\(xy^2+\sin(πy)−2x^2=10, \quad (2,−3)\)

    Réponse

    \(y=\frac{1}{π+12}x−\frac{3π+38}{π+12}\)

    Le graphique comporte deux courbes, l'une dans le premier quadrant et l'autre dans le quatrième quadrant. Ils sont symétriques par rapport à l'axe X. La courbe du premier quadrant va de (0,3, 5) à (1,5, 3,5) à (5, 4). Il existe une droite marquée T (x) avec une pente 1/ (π + 12) et une intersection y − (3π + 38)/(π + 12).

    15) [T]\(\dfrac{x}{y}+5x−7=−\frac{3}{4}y, \quad (1,2)\)

    16) [T]\(xy+\sin(x)=1,\quad \left(\frac{π}{2},0\right)\)

    Réponse

    \(y=0\)

    Le graphique commence dans le troisième quadrant proche de (−5, 0), reste proche de 0 jusqu'à ce que x = −4, puis il diminue jusqu'à ce qu'il atteigne près de (0, −5). Il existe une asymptote à x = 0. Le graphique recommence à proximité de (0, 5), diminue jusqu'à (1, 0), puis augmente légèrement avant de diminuer pour être proche (5, 0). Il existe une ligne droite marquée T (x) qui coïncide avec y = 0.

    17) [T] Le graphique d'un folium de Descartes avec équation\(2x^3+2y^3−9xy=0\) est donné dans le graphique suivant.

    Un folium est représenté graphiquement avec l'équation 2x3 + 2y3 — 9xy = 0. Il se croise à (0, 0).

    a. Trouvez l'équation de la tangente au point\((2,1)\). Tracez la tangente avec le feuillet.

    b. Trouvez l'équation de la droite normale à la tangente dans a. au point\((2,1)\).

    18) Pour l'équation\(x^2+2xy−3y^2=0,\)

    a. Trouvez l'équation de la normale à la tangente au point\((1,1)\).

    b. À quel autre point la droite normale du point a. croise le graphique de l'équation ?

    Réponse
    a.\(y=−x+2\)
    b.\((3,−1)\)

    19) Trouvez tous les points du\(y^3−27y=x^2−90\) graphique auxquels la tangente est verticale.

    20) Pour l'équation\(x^2+xy+y^2=7\),

    a. Trouvez le ou les\(x\) -intercept (s).

    b.Détermine la pente de la ou des tangentes à l'\(x\)intersection (s).

    c. Qu'est-ce que la ou les valeurs de la partie b. indiquent à propos de la ou des lignes tangentes ?

    Réponse
    a.\(\left(±\sqrt{7},0\right)\)
    b.\(−2\)
    c. Ils sont parallèles puisque la pente est la même aux deux intersections.

    21) Trouvez l'équation de la tangente au graphe de l'équation\(\sin^{−1}x+\sin^{−1}y=\frac{π}{6}\) au point\(\left(0,\frac{1}{2}\right)\).

    22) Trouvez l'équation de la tangente au graphe de l'équation\(\tan^{−1}(x+y)=x^2+\frac{π}{4}\) au point\((0,1)\).

    Réponse
    \(y=−x+1\)

    23) Trouver\(y′\) et\(y''\) pour\(x^2+6xy−2y^2=3\).

    24) [T] Le nombre de téléphones portables produits lorsque des\(x\) dollars sont dépensés en main-d'œuvre et des\(y\) dollars en capital investi par un fabricant peut être modélisé par l'équation\(60x^{3/4}y^{1/4}=3240\).

    a. Trouvez\(\frac{dy}{dx}\) et évaluez sur le point\((81,16)\).

    b. Interpréter le résultat d'un.

    Réponse
    a.\(\frac{dy}{dx}=−0.5926\)
    b. Lorsque 81 dollars sont dépensés en main-d'œuvre et 16 dollars en capital, le montant dépensé en capital diminue de 0,5926$ par dollar dépensé en main-d'œuvre.

    25) [T] Le nombre de voitures produites lorsque des\(x\) dollars sont dépensés en main-d'œuvre et des\(y\) dollars en capital investi par un constructeur peut être modélisé par l'équation\(30x^{1/3}y^{2/3}=360\).

    (Les deux\(x\)\(y\) sont mesurés en milliers de dollars.)

    a. Trouvez\(\frac{dy}{dx}\) et évaluez sur le point\((27,8)\).

    b. Interpréter le résultat de la partie a.

    26) Le volume d'un cône circulaire droit de rayon\(x\) et de hauteur\(y\) est donné par\(V=\frac{1}{3}πx^2y\). Supposons que le volume du cône soit\(85π\,\text{cm}^3\). Trouvez\(\dfrac{dy}{dx}\) quand\(x=4\) et\(y=16\).

    Réponse
    \(\dfrac{dy}{dx} = −8\)

    Pour les exercices 27 à 28, considérez une boîte rectangulaire fermée avec une base carrée avec côté\(x\) et hauteur\(y\).

    27) Trouvez une équation pour la surface de la boîte rectangulaire,\(S(x,y)\).

    28) Si la surface de la boîte rectangulaire est de 78 pieds carrés, déterminez\(\dfrac{dy}{dx}\) quand\(x=3\) pieds et\(y=5\) pieds.

    Réponse
    \(\dfrac{dy}{dx} = −2.67\)

    Dans les exercices 29 à 31, utilisez la différenciation implicite pour déterminer\(y′\). La réponse correspond-elle aux formules que nous avons déterminées précédemment ?

    29)\(x=\sin y\)

    30)\(x=\cos y\)

    Réponse
    \(y′=−\dfrac{1}{\sqrt{1−x^2}}\)

    31)\(x=\tan y\)