6: Aplicações de integração
- Page ID
- 187821
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
Neste capítulo, usamos integrais definidos para calcular a força exercida na barragem quando o reservatório está cheio e examinamos como as mudanças nos níveis de água afetam essa força. A força hidrostática é apenas uma das muitas aplicações de integrais definidas que exploramos neste capítulo. Desde aplicações geométricas, como área de superfície e volume, até aplicações físicas, como massa e trabalho, até modelos de crescimento e decaimento, integrais definidas são uma ferramenta poderosa para nos ajudar a entender e modelar o mundo ao nosso redor.
- 6.0: Prelúdio às aplicações de integração
- A Represa Hoover é uma maravilha da engenharia. Quando o Lago Mead, o reservatório atrás da barragem, está cheio, a barragem resiste a muita força. No entanto, os níveis de água no lago variam consideravelmente como resultado das secas e das diferentes demandas de água.
- 6.1: Áreas entre curvas
- Assim como integrais definidas podem ser usadas para encontrar a área sob uma curva, elas também podem ser usadas para encontrar a área entre duas curvas. Para encontrar a área entre duas curvas definidas por funções, integre a diferença das funções. Se os gráficos das funções se cruzarem ou se a região for complexa, use o valor absoluto da diferença das funções. Nesse caso, pode ser necessário avaliar duas ou mais integrais.
- 6.2: Determinando volumes por fatiamento
- Nesta seção, usamos integrais definidas para encontrar volumes de sólidos tridimensionais. Consideramos três abordagens — fatiamento, discos e arruelas — para encontrar esses volumes, dependendo das características do sólido.
- 6.3: Volumes de revolução - Conchas cilíndricas
- Nesta seção, examinamos o método das conchas cilíndricas, o método final para encontrar o volume de um sólido de revolução. Podemos usar esse método nos mesmos tipos de sólidos que o método de disco ou o método de lavagem; no entanto, com os métodos de disco e lavadora, nos integramos ao longo do eixo de coordenadas paralelo ao eixo de revolução. Com o método das conchas cilíndricas, nós nos integramos ao longo do eixo coordenado perpendicular ao eixo de revolução.
- 6.4: Comprimento do arco de uma curva e área de superfície
- O comprimento do arco de uma curva pode ser calculado usando uma integral definida. O comprimento do arco é primeiro aproximado usando segmentos de linha, o que gera uma soma de Riemann. Tomar um limite então nos dá a fórmula integral definida. O mesmo processo pode ser aplicado às funções de y. Os conceitos usados para calcular o comprimento do arco podem ser generalizados para encontrar a área da superfície de uma superfície de revolução. As integrais geradas pelas fórmulas do comprimento do arco e da área da superfície geralmente são difíceis de avaliar.
- 6.5: Aplicações físicas da integração
- Nesta seção, examinamos algumas aplicações físicas da integração. Várias aplicações físicas da integral definida são comuns em engenharia e física. Integrais definidas podem ser usadas para determinar a massa de um objeto se sua função de densidade for conhecida. O trabalho também pode ser calculado a partir da integração de uma função de força ou ao neutralizar a força da gravidade, como em um problema de bombeamento. Integrais definidas também podem ser usadas para calcular a força exercida sobre um objeto submerso em um líquido.
- 6.6: Momentos e centros de missa
- Nesta seção, consideramos centros de massa (também chamados de centróides, sob certas condições) e momentos. A ideia básica do centro de massa é a noção de ponto de equilíbrio. Muitos de nós já vimos artistas que giram placas nas pontas dos palitos. Os artistas tentam manter vários deles girando sem permitir que nenhum deles caia. Matematicamente, esse ponto ideal é chamado de centro de massa da placa.
- 6.7: Integrais, funções exponenciais e logaritmos
- Já examinamos funções exponenciais e logaritmos em capítulos anteriores. No entanto, abordamos alguns detalhes importantes nas discussões anteriores. Por exemplo, não estudamos como tratar funções exponenciais com expoentes irracionais. A definição do número e é outra área em que o desenvolvimento anterior estava um pouco incompleto. Agora temos as ferramentas para lidar com esses conceitos de uma forma matematicamente mais rigorosa, e fazemos isso nesta seção.
- 6.8: Crescimento e decadência exponenciais
- Uma das aplicações mais comuns das funções exponenciais envolve modelos de crescimento e decaimento. O crescimento e a decadência exponenciais aparecem em uma série de aplicações naturais. Do crescimento populacional e do interesse contínuo agravado ao decaimento radioativo e à lei de resfriamento de Newton, as funções exponenciais são onipresentes na natureza. Nesta seção, examinamos o crescimento e a decadência exponenciais no contexto de algumas dessas aplicações.
- 6.9: Cálculo das funções hiperbólicas
- Fomos apresentados às funções hiperbólicas em Introdução às Funções e Gráficos, junto com algumas de suas propriedades básicas. Nesta seção, examinamos as fórmulas de diferenciação e integração para as funções hiperbólicas e seus inversos.
Miniatura: uma região entre duas funções.