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6.5E: Exercícios para a Seção 6.5

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    • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
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    Problemas básicos de trabalho

    Para os exercícios 1 a 6, encontre o trabalho realizado.

    1) Encontre o trabalho realizado quando uma força constante\( F=12\) lb move uma cadeira de\( x=0.9\) para\( x=1.1\) pés.

    2) Quanto trabalho é feito quando uma pessoa levanta uma\( 50\) caixa de quadrinhos em um caminhão que está\( 3\) fora do chão?

    Responda
    \(W = 150\)ft-lb

    3) Qual é o trabalho realizado levantando uma criança de\( 20\) kg do chão até uma altura de\( 2\) m? (Observe que\( 1\) kg é igual a\( 9.8\) N)

    4) Encontre o trabalho realizado ao empurrar uma caixa pelo chão\( 2\) m, ao aplicar uma força constante de\( F=100\) N.

    Responda
    \(W = 200\)J

    5) Calcule o trabalho realizado para uma força\( F=\dfrac{12}{x^2}\) N de\( x=1\) a\( x=2\) m.

    6) Qual é o trabalho realizado movendo uma partícula de\( x=0\) para\( x=1\) m se a força que atua sobre ela é\( F=3x^2\) N?

    Responda
    \(W = 1\)J

    Problemas de densidade

    Nos exercícios 7 a 11, encontre a massa do objeto unidimensional.

    7) Um fio que tem\(2\) pés de comprimento (começando em\(x=0\)) e tem uma função de densidade de\(ρ(x)=x^2+2x\) lb/ft

    8) Uma antena de carro com\(3\) pés de comprimento (começando em\(x=0)\) e tem uma função de densidade de\(ρ(x)=3x+2\) lb/ft)

    Responda
    \( \frac{39}{2}\)

    9) Uma haste de metal que tem\( 8\) pol. de comprimento (começando em\( x=0\)) e tem uma função de densidade de\( ρ(x)=e^{1/2x}\) lb/in.

    10) Um lápis que tem uma\( 4\) polegada de comprimento (começando em\( x=2\)) e tem uma função de densidade de\( ρ(x)=\dfrac{5}{x}\) oz/in.

    Responda
    \( \ln(243)\)

    11) Uma régua que tem\( 12\) pol. de comprimento (começando em\( x=5\)) e tem uma função de densidade de\( ρ(x)=\ln(x)+(1/2)x^2\) oz/in.

    Nos exercícios 12 a 16, encontre a massa do objeto bidimensional que está centrado na origem.

    12) Um disco de hóquei de grandes dimensões de raio\( 2\) pol. com função de densidade\( ρ(x)=x^3−2x+5\)

    Responda
    \( \frac{332π}{15}\)

    13) Um frisbee de raio\( 6\) pol. com função de densidade\( ρ(x)=e^{−x}\)

    14) Uma placa de raio\( 10\) pol. com função de densidade\( ρ(x)=1+\cos(πx)\)

    Responda
    \( 100π\)

    15) Uma tampa de jarra de raio\( 3\) pol. com função de densidade\(ρ(x)=\ln(x+1)\)

    16) Um disco de raio\(5\) cm com função de densidade\(ρ(x)=\sqrt{3x}\)

    Responda
    \(20π\sqrt{15}\)

    Problemas de trabalho na primavera

    17) Uma mola de\( 12\) -in. é esticada até\( 15\) pol. por uma força de\( 75\) lb. Qual é a constante da mola?

    18) Uma mola tem um comprimento natural de\( 10\) cm. É preciso\( 2\) J para esticar a mola até\( 15\) cm. Quanto trabalho seria necessário para esticar a mola de\( 15\) cm a\( 20\) cm?

    Responda
    \(W = 6\)J

    19) Uma mola\( 1\) -m requer que\( 10\) J estique a mola até\( 1.1\) m. Quanto trabalho seria necessário para esticar a mola de\( 1\) m para\( 1.2\) m?

    20) Uma mola requer que\( 5\) J estique a mola de\( 8\) cm a\( 12\) cm e um\( 4\) J adicional para esticar a mola de\( 12\) cm a\( 14\) cm. Qual é o comprimento natural da primavera?

    Responda
    O comprimento natural é\( 5\) cm.

    21) Um amortecedor é comprimido de 1 polegada por um peso de 1 tonelada. O que é a constante da primavera?

    22) Uma força de\( F=\left(20x−x^3\right)\) N estica uma mola não linear em\( x\) metros. Que trabalho é necessário para esticar a mola de\( x=0\) até\( x=2\) m?

    Responda
    \(W = 36\)J

    Problemas de trabalho com cabos e correntes

    23) Encontre o trabalho realizado enrolando um cabo suspenso de comprimento\( 100\) pés e densidade de peso\( 5\) lb/ft.

    24) Para o cabo do exercício anterior, quanto trabalho é feito para levantar os\( 50\) pés do cabo?

    Responda
    \(W = 18,750\)ft-lb

    25) Para o cabo do exercício anterior, quanto trabalho adicional é feito pendurando uma\( 200\) libra de peso na extremidade do cabo?

    Problemas de trabalho em pirâmides e satélites/foguetes

    26) [T] Uma pirâmide de altura\( 500\) ft tem uma base quadrada\( 800\) ft por\( 800\) ft. Encontre a área\( A\) em altura\( h\). Se a rocha usada para construir a pirâmide pesar aproximadamente\( w=100\,\text{lb/ft}^3\), quanto trabalho foi necessário para levantar toda a rocha?

    Responda
    \(W= \frac{32}{3}×10^9\)ft-lb

    27) [T] Para a pirâmide do exercício anterior, suponha que houvesse\( 1000\) trabalhadores todos os\( 10\) horários de trabalho por dia,\( 5\) dias por semana,\( 50\) semanas por ano. Se cada um dos trabalhadores, em média, levantou dez rochas de 100 libras\( 2\) pés/hora, quanto tempo demorou para construir a pirâmide?

    28) [T] A força da gravidade em uma massa\( m\) é de\( F=−((GMm)/x^2)\) newtons. Para um foguete de massa\( m=1000\) kg, calcule o trabalho para levantar o foguete de\( x=6400\) até\( x=6500\) km. (Nota:\( G=6×10^{−17}\,\text{N m}^2/\text{kg}^2\) e\( M=6×10^{24}\) kg.)

    Responda
    \(W = 8.65×10^5\)J

    29) [T] Para o foguete do exercício anterior, encontre o trabalho para levantar o foguete de\( x=6400\) para\( x=∞\).

    Força e pressão hidrostáticas

    30) [T] Uma barragem retangular tem\(40\) pés de altura e\(60\) pés de largura. Calcule a força total\(F\) na barragem quando

    a. a superfície da água está no topo da barragem e

    b. a superfície da água está na metade da barragem.

    Responda
    a.\(3,000,000\) lb,
    b.\(749,000\) lb

    Problemas de trabalho de bombeamento

    31) [T] Encontre o trabalho necessário para bombear toda a água de um cilindro que tenha uma base circular de raio\( 5\) pés e altura\( 200\) pés. Use o fato de que a densidade da água é\( 62\) lb/ft 3.

    32) [T] Encontre o trabalho necessário para bombear toda a água do cilindro no exercício anterior se o cilindro estiver apenas meio cheio.

    Responda
    \(W = 23.25π\)milhão de pés-lb

    33) [T] Quanto trabalho é necessário para bombear uma piscina se a área da base for\(800 \, \text{ft}^2\), a água tiver\(4\) pés de profundidade e a parte superior estiver\(1\) pés acima do nível da água? Suponha que a densidade da água seja\( 62\) lb/ft 3.

    34) Um cilindro de profundidade\(H\) e área transversal\(A\) está cheio de água em densidade\(ρ\). Calcule o trabalho para bombear toda a água até o topo.

    Responda
    \(W = \dfrac{AρH^2}{2}\)

    35) Para o cilindro do exercício anterior, calcule o trabalho de bombear toda a água para o topo se o cilindro estiver apenas meio cheio.

    36) Um tanque em forma de cone tem uma área de seção transversal que aumenta com sua profundidade:\( A=\dfrac{πr^2h^2}{H^3}\). Mostre que o trabalho para esvaziá-lo é metade do trabalho de um cilindro com a mesma altura e base.

    Responda
    As respostas podem variar.