6.10: Exercícios de revisão do capítulo 6

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Verdadeiro ou falso? Justifique sua resposta com uma prova ou um contra-exemplo.

1) A quantidade de trabalho para bombear a água de um cilindro meio cheio é metade da quantidade de trabalho para bombear a água do cilindro cheio.

Responda: Falso

2) Se a força for constante, a quantidade de trabalho para mover um objeto de$x=a$ para$x=b$ é$F(b−a)$.

3) O método de disco pode ser usado em qualquer situação em que o método lavador tenha sucesso em encontrar o volume de um sólido de revolução.

Responda: Falso

4) Se a meia-vida de$seaborgium-266$ for$360$ ms, então$k=\dfrac{\ln 2}{360}.$

Para os exercícios 5 a 8, use o método solicitado para determinar o volume do sólido.

5) O volume que tem a base da elipse$\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}=1$ e as seções transversais de um triângulo equilátero perpendicular ao$y$ eixo. Use o método de fatiar.

Responda: $V = 32\sqrt{3}\, \text{units}^3$

6)$y=x^2−x$, de$x=1$ para$x=4$, girado em torno do$y$ eixo -usando o método de lavagem

7)$x=y^2$ e$x=3y$ girado em torno do$y$ eixo -usando o método de lavagem

Responda: $V = \frac{162π}{5}\, \text{units}^3$

8)$x=2y^2−y^3,\; x=0$, e$y=0$ girado em torno do$x$ eixo -usando conchas cilíndricas

Para os exercícios 9 a 14, encontre

a. a área da região,

b. o volume do sólido quando girado em torno do$x$ eixo -, e

c. o volume do sólido quando girado em torno do$y$ eixo -. Use o método que lhe parecer mais adequado.

9)$y=x^3,x=0,y=0$ e$x=2$

Responda: a.$A = 4$ unidades ²
b.$V = \frac{128π}{7}$ unidades ³
c.$V = \frac{64π}{5}$ unidades ³

10)$y=x^2−x$ e$x=0$

11) [T]$y=\ln(x)+2$ e$y=x$

Responda: a.$A \approx 1.949$ unidades ²
b.$V \approx 21.952$ unidades ³
c.$V = \approx 17.099$ unidades ³

12)$y=x^2$ e$y=\sqrt{x}$

13)$y=5+x, y=x^2, x=0$, e$x=1$

Responda: a.$A = \frac{31}{6}$ unidades ²
b.$V = \frac{452π}{15}$ unidades ³
c.$V = \frac{31π}{6}$ unidades ³

14) Abaixo$x^2+y^2=1$ e acima$y=1−x$

15) Encontre a massa de$ρ=e^{−x}$ em um disco centrado na origem com raio$4$.

Responda: $m \approx 245.282$

16) Encontre o centro de massa para$ρ=\tan^2x$ on$x\in (−\frac{π}{4},\frac{π}{4})$.

17) Encontre a massa e o centro de massa de$ρ=1$ na região delimitada por$y=x^5$$y=\sqrt{x}$ e.

Responda: Massa:$\frac{1}{2},$
Centro de massa:$(\frac{18}{35},\frac{9}{11})$

Para os exercícios 18 a 19, encontre os comprimentos de arco solicitados.

18) O comprimento$x$$y=\cosh(x)$ de$x=0$ até$x=2$.

19) O comprimento de$y$ para$x=3−\sqrt{y}$ de$y=0$ até$y=4$

Responda: $s = \big[\sqrt{17}+\frac{1}{8}\ln(33+8\sqrt{17})\big]$unidades

Para os exercícios 20 a 21, encontre a área e o volume da superfície quando as curvas dadas são giradas em torno do eixo especificado.

20) A forma criada girando a região entre ela$y=4+x, \;y=3−x, \;x=0,$ e$x=2$ girada em torno do$y$ eixo.

21) O alto-falante criado girando$y=\dfrac{1}{x}$ de$x=1$ para$x=4$ em torno do$x$ eixo -.

Responda: Volume:$V = \frac{3π}{4}$ unidades ³ Área
da superfície:$A = π\left(\sqrt{2}−\sinh^{−1}(1)+\sinh^{−1}(16)−\frac{\sqrt{257}}{16}\right)$ unidades ²

Para o exercício 22, considere a barragem Karun-3 no Irã. Sua forma pode ser aproximada como um triângulo isósceles com altura$205$ m e largura$388$ m. Suponha que a profundidade atual da água seja$180$ m. A densidade da água é$1000$ kg/m ³.

22) Encontre a força total na parede da barragem.

23) Você é um investigador da cena do crime tentando determinar a hora da morte de uma vítima. É meio-dia e$45$° F lá fora e a temperatura do corpo é$78$° F. Você sabe que a constante de resfriamento é$k=0.00824$° F/min. Quando a vítima morreu, assumindo que a temperatura de um humano é$98$° F?

Responda: 11:02 a.m.

Para o exercício a seguir, considere a queda do mercado de ações em 1929 nos Estados Unidos. A tabela lista a média industrial do Dow Jones por ano que antecedeu o colapso.

Ano depois de 1920	Valor ($)
1	63,90
3	100
5	110
7	160
9	381,17

Fonte: http:/stockcharts.com/freecharts/hi...a19201940.html

24) [T] A curva exponencial de melhor ajuste para esses dados é dada por$y=40.71+1.224^x$. Por que você acha que os ganhos do mercado foram insustentáveis? Use a primeira e a segunda derivadas para ajudar a justificar sua resposta. Qual seria a previsão desse modelo para a média industrial do Dow Jones em 2014?

Para os exercícios 25 a 26, considere o catenoide, o único sólido de revolução que tem uma superfície mínima, ou curvatura média zero. Um catenoide na natureza pode ser encontrado ao esticar o sabão entre dois anéis.

25) Encontre o volume da catenóide$y=\cosh(x)$ de$x=−1$ até o$x=1$ que é criado girando essa curva ao redor do $x$eixo -, conforme mostrado aqui.

$Esta figura é uma imagem de uma catenoide. Ele foi formado girando uma curva catenária em torno de um eixo vertical.$

Responda: $V = π\big(1+\sinh(1)\cosh(1)\big)$unidades ³

26) Encontre a área da superfície do catenóide$y=\cosh(x)$ de$x=−1$ até a$x=1$ que é criada girando essa curva em torno do $x$eixo.