7: Técnicas de integração
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Vimos no capítulo anterior como a integração pode ser importante para todos os tipos de tópicos diferentes — desde cálculos de volumes até taxas de fluxo e desde o uso de uma função de velocidade para determinar uma posição até localizar centros de massa. Não é surpresa, então, que as técnicas para encontrar antiderivadas (ou integrais indefinidas) sejam importantes para todos que as usam. Já discutimos algumas fórmulas básicas de integração e o método de integração por substituição. Neste capítulo, estudamos algumas técnicas adicionais, incluindo algumas formas de aproximar integrais definidas quando técnicas normais não funcionam.
- 7.0: Prelúdio às técnicas de integração
- Em uma grande cidade, os acidentes ocorreram a uma taxa média de um a cada três meses em um cruzamento particularmente movimentado. Depois que os moradores reclamaram, mudanças foram feitas nos semáforos no cruzamento. Já se passaram oito meses desde que as mudanças foram feitas e não houve acidentes. As mudanças foram efetivas ou o intervalo de oito meses sem um acidente é resultado do acaso? Exploraremos essa questão mais adiante neste capítulo e veremos que a integração é uma parte essencial da determinação
- 7.1: Integração por peças
- A vantagem de usar a fórmula de integração por partes é que podemos usá-la para trocar uma integral por outra, possivelmente mais fácil.
- 7.2: Integrais trigonométricas
- A substituição trigonométrica é uma técnica de integração que nos permite converter expressões algébricas que talvez não consigamos integrar em expressões envolvendo funções trigonométricas, que talvez possamos integrar usando as técnicas descritas nesta seção. Além disso, esses tipos de integrais aparecem com frequência quando estudamos sistemas de coordenadas polares, cilíndricas e esféricas posteriormente. Vamos começar nosso estudo com produtos de sin x e cos x.
- 7.3: Substituição trigonométrica
- A técnica de substituição trigonométrica é muito útil ao avaliar integrais de certas formas. Essa técnica usa substituição para reescrever essas integrais como integrais trigonométricas.
- 7.4: Frações parciais
- Nesta seção, examinamos o método de decomposição parcial de frações, que nos permite decompor funções racionais em somas de funções racionais mais simples e mais facilmente integradas.
- 7.5: Outras estratégias de integração
- Além das técnicas de integração que já vimos, várias outras ferramentas estão amplamente disponíveis para auxiliar no processo de integração. Entre essas ferramentas estão as tabelas de integração, que estão prontamente disponíveis em muitos livros, incluindo os apêndices deste. Também estão amplamente disponíveis os sistemas de álgebra computacional (CAS), encontrados em calculadoras e em muitos laboratórios de informática do campus, e são gratuitos on-line.
- 7.6: Integração numérica
- As antiderivadas de muitas funções não podem ser expressas ou não podem ser expressas facilmente de forma fechada (ou seja, em termos de funções conhecidas). Consequentemente, em vez de avaliar integrais definidas dessas funções diretamente, recorremos a várias técnicas de integração numérica para aproximar seus valores. Nesta seção, exploramos várias dessas técnicas. Além disso, examinamos o processo de estimar o erro no uso dessas técnicas.
- 7.7: Integrais impróprios
- Nesta seção, definimos integrais em um intervalo infinito, bem como integrais de funções contendo uma descontinuidade no intervalo. Integrais desses tipos são chamados de integrais impróprios. Examinamos várias técnicas para avaliar integrais impróprias, todas envolvendo a definição de limites.