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7.6: Integração numérica

  • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
  • OpenStax

Objetivos de
  • Aproxime o valor de uma integral definida usando as regras do ponto médio e do trapezoidal.
  • Determine o erro absoluto e relativo ao usar uma técnica de integração numérica.
  • Estime o erro absoluto e relativo usando uma fórmula vinculada ao erro.
  • Reconheça quando o ponto médio e as regras trapezoidais superestimam ou subestimam o valor real de uma integral.
  • Use a regra de Simpson para aproximar o valor de uma integral definida a uma determinada precisão.

As antiderivadas de muitas funções não podem ser expressas ou não podem ser expressas facilmente de forma fechada (ou seja, em termos de funções conhecidas). Consequentemente, em vez de avaliar integrais definidas dessas funções diretamente, recorremos a várias técnicas de integração numérica para aproximar seus valores. Nesta seção, exploramos várias dessas técnicas. Além disso, examinamos o processo de estimar o erro no uso dessas técnicas.

A regra do ponto médio

Anteriormente neste texto, definimos a integral definida de uma função em um intervalo como o limite das somas de Riemann. Em geral, qualquer soma de Riemann de uma funçãof(x) em um intervalo[a,b] pode ser vista como uma estimativa debaf(x)dx. Lembre-se de que a soma de Riemann de uma funçãof(x) em um intervalo[a,b] é obtida selecionando uma partição.

P={x0,x1,x2,,xn}

ondea=x0<x1<x2<<xn=b

e um conjunto

S={x1,x2,,xn}

ondexi1xixifor alli.

A soma de Riemann correspondente à partiçãoP e ao conjuntoS é dada porni=1f(xi)Δxi, ondeΔxi=xixi1, o comprimento doith subintervalo.

A regra do ponto médio para estimar uma integral definida usa uma soma de Riemann com subintervalos de igual largura e os pontos médios,mi, de cada subintervalo no lugar dexi. Formalmente, declaramos um teorema sobre a convergência da regra do ponto médio da seguinte forma.

A regra do ponto médio

Suponha quef(x) seja contínuo[a,b]. nSeja um número inteiro positivoΔx=ban e. Se[a,b] for dividido emn subintervalos, cada um de comprimentoΔx emi for o ponto médio doith subintervalo, defina

Mn=ni=1f(mi)Δx.

Entãolim

Como podemos ver na Figura\PageIndex{1}, se f(x)≥0 terminar [a,b], então\displaystyle \sum^n_{i=1}f(m_i)Δx corresponde à soma das áreas dos retângulos que se aproximam da área entre o gráfico de f(x) e ox eixo -acima[a,b]. O gráfico mostra os retângulos correspondentes aM_4 uma função não negativa em um intervalo fechado.[a,b].

Esta figura é um gráfico de uma função não negativa no primeiro quadrante. A função aumenta e diminui. O quadrante é dividido em uma grade. Começando no eixo x no ponto rotulado a = x sub 0, há retângulos sombreados cujas alturas são aproximadamente a altura da curva. O eixo x é dimensionado por incrementos de msub1, x sub 1, m sub 2, x sub 2, m sub 3, x sub 3, m sub 4 e b = x sub 4.
Figura\PageIndex{1}: A regra do ponto médio aproxima a área entre o gráfico def(x) e ox eixo -somando as áreas dos retângulos com os pontos médios que são pontosf(x).
Exemplo\PageIndex{1}: Using the Midpoint Rule with M_4

Use a regra do ponto médio para estimar\displaystyle ∫^1_0x^2\,dx usando quatro subintervalos. Compare o resultado com o valor real dessa integral.

Solução: Cada subintervalo tem comprimento Δx=\dfrac{1−0}{4}=\dfrac{1}{4}. Portanto, os subintervalos consistem em

\left[0,\tfrac{1}{4}\right],\,\left[\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{2}\right],\,\left[\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{4}\right],\, \text{and}\, \left[\tfrac{3}{4},1\right].\nonumber

Os pontos médios desses subintervalos são\left\{\frac{1}{8},\,\frac{3}{8},\,\frac{5}{8},\, \frac{7}{8}\right\}. Assim,

\begin{align*} M_4 &=\frac{1}{4}\cdot f\left(\frac{1}{8}\right)+\frac{1}{4}\cdot f\left(\frac{3}{8}\right)+\frac{1}{4}\cdot f\left(\frac{5}{8}\right)+\frac{1}{4}\cdot f\left(\frac{7}{8}\right) \\[4pt] &=\frac{1}{4}⋅\frac{1}{64}+\frac{1}{4}⋅\frac{9}{64}+\frac{1}{4}⋅\frac{25}{64}+\frac{1}{4}⋅\frac{49}{64}\\[4pt] &=\frac{21}{64} = 0.328125. \end{align*}

Desde

∫^1_0x^2\,dx=\frac{1}{3},\nonumber

o erro absoluto nessa aproximação é:

\left\lvert\dfrac{1}{3}−\dfrac{21}{64}\right\rvert=\dfrac{1}{192}≈0.0052, \nonumber

e vemos que a regra do ponto médio produz uma estimativa que é um pouco próxima do valor real da integral definida.

Exemplo\PageIndex{2}: Using the Midpoint Rule with M_6

UseM_6 para estimar o comprimento da curvay=\frac{1}{2}x^2 em[1,4].

Solução: O comprimento dey=\frac{1}{2}x^2 um[1,4] é

s = ∫^4_1\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\,dx.\nonumber

Uma vez que\dfrac{dy}{dx}=x, essa integral se torna\displaystyle ∫^4_1\sqrt{1+x^2}\,dx.

Se[1,4] for dividido em seis subintervalos, então cada subintervalo tem comprimentoΔx=\dfrac{4−1}{6}=\dfrac{1}{2} e os pontos médios dos subintervalos são\left\{\frac{5}{4},\frac{7}{4},\frac{9}{4},\frac{11}{4},\frac{13}{4},\frac{15}{4}\right\}. Se definirmosf(x)=\sqrt{1+x^2},

\begin{align*} M_6 &=\tfrac{1}{2}\cdot f\left(\frac{5}{4}\right)+\tfrac{1}{2}\cdot f\left(\frac{7}{4}\right)+\frac{1}{2}\cdot f\left(\frac{9}{4}\right)+\frac{1}{2}\cdot f\left(\frac{11}{4}\right)+\frac{1}{2}\cdot f\left(\frac{13}{4}\right)+\frac{1}{2}\cdot f\left(\frac{15}{4}\right) \\[4pt] &≈\frac{1}{2}(1.6008+2.0156+2.4622+2.9262+3.4004+3.8810)=8.1431 \, \text{ units}. \end{align*}

Exercício\PageIndex{1}

Use a regra do ponto médio com n=2 para estimar\displaystyle ∫^2_1\frac{1}{x}\,dx.

Dica

Δx=\frac{1}{2}, \quad m_1=\frac{5}{4},\quad \text{and} \quad m_2=\frac{7}{4}.

Resposta

\dfrac{24}{35}\approx 0.685714

A regra trapezoidal

Também podemos aproximar o valor de uma integral definida usando trapézios em vez de retângulos. Na Figura\PageIndex{2}, a área abaixo da curva é aproximada por trapézios em vez de retângulos.

Esta figura é um gráfico de uma função não negativa no primeiro quadrante. A função aumenta e diminui. O quadrante é dividido em uma grade. Começando no eixo x no ponto rotulado a = x sub 0, há trapézios sombreados cujas alturas são aproximadamente a altura da curva. O eixo x é dimensionado por incrementos de a = x sub 0, x sub 1, x sub 2, x sub 3 e b = x sub 4.
Figura\PageIndex{2}: Os trapézios podem ser usados para aproximar a área sob uma curva, aproximando assim a integral definida.

A regra trapezoidal para estimar integrais definidas usa trapézios em vez de retângulos para aproximar a área sob uma curva. Para obter informações sobre a forma final da regra, considere os trapézios mostrados na Figura\PageIndex{2}. Assumimos que a duração de cada subintervalo é dada porΔx. Primeiro, lembre-se de que a área de um trapézio com alturah e bases de comprimentob_1b_2 é dada por\text{Area}=\frac{1}{2}h(b_1+b_2). Vemos que o primeiro trapézio tem uma alturaΔx e bases paralelas de comprimento f(x_0) f(x_1) e. Assim, a área do primeiro trapézio na Figura\PageIndex{2} é

\frac{1}{2}Δx\Big(f(x_0)+f(x_1)\Big).\nonumber

As áreas dos três trapézios restantes são

\dfrac{1}{2}Δx\Big(f(x_1)+f(x_2)\Big),\, \dfrac{1}{2}Δx\Big(f(x_2)+f(x_3)\Big),e \dfrac{1}{2}Δx\Big(f(x_3)+f(x_4)\Big).

Consequentemente,

∫^b_af(x)\,dx≈\frac{1}{2}Δx\Big(f(x_0)+f(x_1)\Big)+\frac{1}{2}Δx\Big(f(x_1)+f(x_2)\Big)+\frac{1}{2}Δx\Big(f(x_2)+f(x_3)\Big)+\frac{1}{2}Δx\Big(f(x_3)+f(x_4)\Big).\nonumber

Depois de retirar um fator comum\frac{1}{2}Δx e combinar termos semelhantes, temos

∫^b_af(x)\,dx≈\frac{Δx}{2}\Big[f(x_0)+2\,f(x_1)+2\,f(x_2)+2\,f(x_3)+f(x_4)\Big].\nonumber

Generalizando, declaramos formalmente a seguinte regra.

A regra trapezoidal

Suponha quef(x) seja um fim contínuo[a,b]. nSeja um número inteiro positivoΔx=\dfrac{b−a}{n} e. Vamos [a,b] ser divididos emn subintervalos, cada um de comprimentoΔx, com pontos finais em P=\{x_0,x_1,x_2…,x_n\}.

Definir

T_n=\frac{Δx}{2}\Big[f(x_0)+2\, f(x_1)+2\, f(x_2)+⋯+2\, f(x_{n−1})+f(x_n)\Big]. \nonumber

Em seguida,\displaystyle \lim_{n→+∞}T_n=∫^b_af(x)\,dx.

Antes de continuar, vamos fazer algumas observações sobre a regra trapezoidal. Em primeiro lugar, é útil observar que

T_n=\dfrac{1}{2}(L_n+R_n)onde\displaystyle L_n=\sum_{i=1}^nf(x_{i−1})Δx e\displaystyle R_n=\sum_{i=1}^nf(x_i)Δx.

Ou seja,L_nR_n aproxime a integral usando as extremidades esquerda e direita de cada subintervalo, respectivamente. Além disso, um exame cuidadoso da Figura nos\PageIndex{3} leva a fazer as seguintes observações sobre o uso das regras trapezoidais e do ponto médio para estimar a integral definida de uma função não negativa. A regra trapezoidal tende a superestimar o valor de uma integral definida sistematicamente em intervalos em que a função é côncava para cima e a subestimar o valor de uma integral definida sistematicamente em intervalos em que a função é côncava para baixo. Por outro lado, a regra do ponto médio tende a calcular a média desses erros, superestimando parcialmente e subestimando parcialmente o valor da integral definida nesses mesmos tipos de intervalos. Isso nos leva a hipotetizar que, em geral, a regra do ponto médio tende a ser mais precisa do que a regra trapezoidal.

Essa figura tem dois gráficos, ambos com a mesma função não negativa no primeiro quadrante. A função aumenta e diminui. O quadrante é dividido em uma grade. O primeiro gráfico, começando no eixo x no ponto rotulado a = x sub 0, há trapézios sombreados cujas alturas são aproximadamente a altura da curva. O eixo x é dimensionado por incrementos de a = x sub 0, xsub1, x sub 2, x sub 3 e b = x sub 4. O segundo gráfico tem no eixo x no ponto rotulado a = x sub 0. Há retângulos sombreados cujas alturas são aproximadamente a altura da curva. O eixo x é dimensionado por incrementos de m sub 1, x sub 1, m sub 2, x sub 2, m sub 3, x sub 3, m sub 4 e b = x sub 4.
Figura: A regra\PageIndex{3} trapezoidal tende a ser menos precisa do que a regra do ponto médio.
Exemplo\PageIndex{3}: Using the Trapezoidal Rule

Use a regra trapezoidal para estimar\displaystyle ∫^1_0x^2\,dx usando quatro subintervalos.

Solução

Os pontos finais dos subintervalos consistem em elementos do conjuntoP=\left\{0,\frac{1}{4},\, \frac{1}{2},\, \frac{3}{4},1\right\} e,Δx=\frac{1−0}{4}=\frac{1}{4}. portanto,

\ [\ begin {align*} ^1_0x^2dx &≈\ frac {1} {2}\ frac {1} {4}\ Big [f (0) +2\, f\ left (\ tfrac {1} {4}\ direita) +2\, f\ left (\ tfrac {1} {2}\ direita) +2\, f\ esquerda (\ tfrac {1} {2}\ direita) +2\, f\ esquerda (\ tfrac {1} {2}\ direita) +2\, f\ esquerda (\ tfrac {1} {2}\ tfrac {3} {4}\ direita) +f (1)\ Grande]\\ [4pt]
&=\ tfrac {1} {8}\ big (0+2₽\ tfrac {1} {16} +2\ tfrac {1} {4} +2⁄tfrac {9} {16} +1\ big)\4pt] &=\frac{11}{32} = 0.34375\end{align*}

Exercício\PageIndex{2}

Use a regra trapezoidal com n=2 para estimar\displaystyle ∫^2_1\frac{1}{x}\,dx.

Dica

ConjuntoΔx=\dfrac{1}{2}. Os pontos finais dos subintervalos são os elementos do conjuntoP=\left\{1,\frac{3}{2},2\right\}.

Resposta

\dfrac{17}{24} \approx 0.708333

Erro absoluto e relativo

Um aspecto importante do uso dessas regras de aproximação numérica consiste em calcular o erro ao usá-las para estimar o valor de uma integral definida. Primeiro, precisamos definir erro absoluto e erro relativo.

Definição: erro absoluto e relativo

SeB for nossa estimativa de alguma quantidade com um valor real deA, então o erro absoluto é dado por|A−B|.

O erro relativo é o erro como uma porcentagem do valor real e é dado por\left\lvert\frac{A−B}{A}\right\rvert⋅100\%. \nonumber

Exemplo\PageIndex{4}: Calculating Error in the Midpoint Rule

Calcule o erro absoluto e relativo na estimativa do\displaystyle ∫^1_0x^2\,dx uso da regra do ponto médio, encontrada em Exemplo\PageIndex{1}.

Solução: O valor calculado é\displaystyle ∫^1_0x^2\,dx=\frac{1}{3} e nossa estimativa do exemplo éM_4=\frac{21}{64}. Assim, o erro absoluto é dado por\left\lvert\frac{1}{3}−\frac{21}{64}\right\rvert=\frac{1}{192}≈0.0052.

O erro relativo é\frac{1/192}{1/3}=\frac{1}{64}≈0.015625≈1.6\%.\nonumber

Exemplo\PageIndex{5}: Calculating Error in the Trapezoidal Rule

Calcule o erro absoluto e relativo na estimativa do\displaystyle ∫^1_0x^2\,dx uso da regra trapezoidal, encontrada em Exemplo\PageIndex{3}.

Solução: O valor calculado é\displaystyle ∫^1_0x^2\,dx=\frac{1}{3} e nossa estimativa do exemplo éT_4=\frac{11}{32}. Assim, o erro absoluto é dado por\left\lvert\frac{1}{3}−\frac{11}{32}\right\rvert=\frac{1}{96}≈0.0104.

O erro relativo é dado por\frac{1/96}{1/3}=0.03125≈3.1\%.\nonumber

Exercício\PageIndex{3}

Em um ponto de verificação anterior, estimamos\displaystyle ∫^2_1\frac{1}{x}\,dx estar\frac{24}{35} usandoM_2. O valor real dessa integral é\ln 2. Usando\frac{24}{35}≈0.6857 e\ln 2≈0.6931, calculando o erro absoluto e o erro relativo.

Dica

Use os exemplos anteriores como guia.

Resposta

erro absoluto\approx 0.0074, e erro relativo\approx 1.1\%

Limites de erro no ponto médio e nas regras trapezoidais

Nos dois exemplos anteriores, pudemos comparar nossa estimativa de uma integral com o valor real da integral; no entanto, normalmente não temos esse luxo. Em geral, se estamos nos aproximando de uma integral, estamos fazendo isso porque não podemos calcular facilmente o valor exato da integral em si. Portanto, muitas vezes é útil poder determinar um limite superior para o erro na aproximação de uma integral. O teorema a seguir fornece limites de erro para as regras do ponto médio e do trapezoidal. O teorema é declarado sem prova.

Limites de erro para as regras do ponto médio e trapezoidal

f(x)Seja uma função contínua encerrada[a,b], tendo uma segundaf''(x) derivada nesse intervalo. SeM for o valor máximo de|f''(x)| mais[a,b], então os limites superiores para o erro no usoM_n eT_n na estimativa\displaystyle ∫^b_af(x)\,dx são

\text{Error in}\, M_n≤\frac{M(b−a)^3}{24n^2}\label{MidError}

e

\text{Error in}\, T_n≤\frac{M(b−a)^3}{12n^2} \nonumber .

Podemos usar esses limites para determinar o valorn necessário para garantir que o erro em uma estimativa seja menor do que um valor especificado.

Exemplo\displaystyle \PageIndex{6}: Determining the Number of Intervals to Use

Qual valor den deve ser usado para garantir que uma estimativa de\displaystyle ∫^1_0e^{x^2}\,dx seja precisa dentro0.01 se usarmos a regra do ponto médio?

Solução

Começamos determinando o valor deM, o valor máximo de |f''(x)| over [0,1] for f(x)=e^{x^2}. Uma vez f′(x)=2xe^{x^2}, que temos

f''(x)=2e^{x^2}+4x^2e^{x^2}.\nonumber

Assim,

|f''(x)|=2e^{x^2}(1+2x^2)≤2⋅e⋅3=6e.\nonumber

A partir da equação vinculada a erros\ref{MidError}, temos

\text{Error in}\, M_n≤\frac{M(b−a)^3}{24n^2}≤\frac{6e(1−0)^3}{24n^2}=\frac{6e}{24n^2}.\nonumber

Agora resolvemos a seguinte desigualdade paran:

\frac{6e}{24n^2}≤0.01.\nonumber

Assim, uman≥\sqrt{\frac{600e}{24}}≈8.24. vez quen deve ser um número inteiro satisfazendo essa desigualdade, uma escolha den=9 garantiria que

\left\lvert ∫^1_0e^{x^2}\,dx−M_n \right\rvert <0.01.\nonumber

Análise

Talvez tenhamos sido tentados a arredondar para8.24 baixo e escolhern=8, mas isso seria incorreto porque devemos ter um número inteiro maior ou igual8.24 a. Precisamos ter em mente que as estimativas de erro fornecem um limite superior somente para o erro. A estimativa real pode, de fato, ser uma aproximação muito melhor do que a indicada pelo limite de erro.

Exercício\PageIndex{4}

Use a Equação\ref{MidError} para encontrar um limite superior para o erro de usoM_4 para estimar\displaystyle ∫^1_0x^2\,dx.

Dica

f''(x)=2,entãoM=2.

Resposta

\dfrac{1}{192}

Regra de Simpson

Com a regra do ponto médio, estimamos áreas de regiões sob curvas usando retângulos. Em certo sentido, aproximamos a curva com funções constantes por partes. Com a regra trapezoidal, aproximamos a curva usando funções lineares por partes. E se, em vez disso, aproximássemos uma curva usando funções quadráticas por partes? Com a regra de Simpson, fazemos exatamente isso. Nós dividimos o intervalo em um número par de subintervalos, cada um com a mesma largura. No primeiro par de subintervalos, nos aproximamos\displaystyle ∫^{x_2}_{x_0}f(x)\,dx de\displaystyle ∫^{x_2}_{x_0}p(x)\,dx, ondep(x)=Ax^2+Bx+C está a função quadrática passando por(x_0,f(x_0)), \,(x_1,f(x_1)), e(x_2,f(x_2)) (Figura\PageIndex{4}). No próximo par de subintervalos,\displaystyle ∫^{x_4}_{x_2}f(x)\,dx aproximamos a integral de outra função quadrática passando (x_2,f(x_2)), \,(x_3,f(x_3)), e(x_4,f(x_4)). esse processo é continuado com cada par sucessivo de subintervalos.

Essa figura tem dois gráficos, ambos com a mesma função não negativa no primeiro quadrante. A função aumenta e diminui. O quadrante é dividido em uma grade. O primeiro gráfico, começando no eixo x no ponto rotulado x sub 0, há trapézios sombreados cujas alturas são representadas pela função p (x), que é uma curva seguindo um caminho aproximado do gráfico original. O eixo x é dimensionado por incrementos de x sub 0, x sub 1, x sub 2. O segundo gráfico tem no eixo x no ponto rotulado x sub 0. Existem regiões sombreadas sob a curva, divididas por x sub 0, x sub 1, x sub 2, x sub 3 e x sub 4. A curva é dividida em duas partes diferentes acima das áreas sombreadas. Essas duas partes são rotuladas como p sub 1 (x) e p sub 2 (x).
Figura\PageIndex{4}: Com a regra de Simpson, aproximamos uma integral definida integrando uma função quadrática por partes.

Para entender a fórmula que obtemos para a regra de Simpson, começamos derivando uma fórmula para essa aproximação nos dois primeiros subintervalos. À medida que analisamos a derivação, precisamos ter em mente as seguintes relações:

f(x_0)=p(x_0)=Ax_0^2+Bx_0+C \nonumber

f(x_1)=p(x_1)=Ax_1^2+Bx_1+C \nonumber

f(x_2)=p(x_2)=Ax_2^2+Bx_2+C \nonumber

x_2−x_0=2Δx, ondeΔx é a duração de um subintervalo.

x_2+x_0=2x_1,desdex_1=\dfrac{(x_2+x_0)}{2}.

Assim,

\ [\ begin {align*} ^ {x_2} _ {x_0} f (x)\, dx &≈ ^ {x_2} _ {x_0} p (x)\, dx\\ [4pt]
&=^ {x_2} _ {x_0} (Ax^2+Bx+C)\, dx\\ [4pt]
&=\ left (\ frac {A} {3} x^3+\ frac {B} {2} x^2+cx\ right)\ bigg|^ {x_2} _ {x_0} & &\ text {Encontre a antiderivada.}\\ [4pt]
&=\ frac {A} {3} (x_2^3−x_0^3) +\ frac {B} {2} (x_2^2−x_0^2) +C (x_2−x_0) & &\ text {Avalie a antiderivada.}\\ [4pt]
&=\ frac {A} {3} (x_2−x_0) (x_2^2+x_2x_0+x_0^2)\ frac c {B} {2} (x_2−x_0) (x_2+x_0) +C (x_2−x_0)\\ [4pt]
&=\ frac {x_2−x_0} {6}\ bigg (2A (x_2^2+x_2x_0+x_0^2) +3B (x_2+x_x_0^2) +3B (x_2+x_x_0^2) 0) +6C\ bigg) & &\ text {Fator fora}\,\ frac {x_2−x_0} {6}.\\ [4pt]
&=\ frac {Δx} {3}\ bigg ((Ax_2^2+Bx_2+C) + (Ax_0^2+Bx_0+C) +A (x_2^2+2x_2x_0+x_0^2) +2B (x_2+x_0) +4C\ bigg) & &\ text {Reorganize os termos. Nota:}\ enspace Δx =\ frac {x_2−x_0} {2}\\ [4pt]
&=\ frac {Δx} {3}\ big (f (x_2) +f (x_0) +A (x_2+x_0) ^2+2B (x_2+x_0) +4C\ big) &\ text {Fator e substitua:}\\ [4pt]
& & &\ quad f (x_2) =Ax_2^2+Bx_2+C\ enspace\ text {e}\ enspace f (x_0) =Ax_0^2+Bx_0+C.\\ [4pt]
&=\ frac {Δx} {3}\ big (f (x_2) +f (x_0) +A (2x_1) ^2+2B (2x_1) +4C\ big) &\ texto {Substituto}\, x_2+x_0=2x_1.\\ [4pt]
& & &\ quad\ text {Nota:}, x_1 =\ frac {x_2+x_0} {2}\ enspace\ text {é o ponto médio.}\\ [4pt]
&=\ frac {Δx} {3}\ big (f (x_2) +4f (x_1) +f (x_0)\ big). & &\ text {Expandir e substituir}\, f (x_1) =Ax_1^2+Bx_1+C.\ end {align*}\]

Se aproximarmos\displaystyle ∫^{x_4}_{x_2}f(x)\,dx usando o mesmo método, vemos que temos

∫^{x_4}_{x_2}f(x)\,dx≈\frac{Δx}{3}(f(x_4)+4\,f(x_3)+f(x_2)).\nonumber

Combinando essas duas aproximações, obtemos

∫^{x_4}_{x_0}f(x)\,dx≈\frac{Δx}{3}(f(x_0)+4\,f(x_1)+2\,f(x_2)+4\,f(x_3)+f(x_4)).\nonumber

O padrão continua à medida que adicionamos pares de subintervalos à nossa aproximação. A regra geral pode ser declarada da seguinte forma.

Regra de Simpson

Suponha quef(x) seja um fim contínuo[a,b]. nSeja um número inteiro par positivoΔx=\dfrac{b−a}{n} e. Vamos[a,b] ser divididos emn subintervalos, cada um de comprimentoΔx, com pontos finais emP=\{x_0,x_1,x_2,…,x_n\}. Set

S_n=\frac{Δx}{3}\Big[f(x_0)+4\,f(x_1)+2\,f(x_2)+4\,f(x_3)+2\,f(x_4)+⋯+2\,f(x_{n−2})+4\,f(x_{n−1})+f(x_n)\Big]. \nonumber

Em seguida,

\lim_{n→+∞}S_n=∫^b_af(x)\,dx.\nonumber

Assim como a regra trapezoidal é a média das regras da mão esquerda e da direita para estimar integrais definidas, a regra de Simpson pode ser obtida a partir do ponto médio e das regras trapezoidais usando uma média ponderada. Pode-se mostrar queS_{2n}=\left(\frac{2}{3}\right)M_n+\left(\frac{1}{3}\right)T_n.

Também é possível limitar o erro ao usar a regra de Simpson para aproximar uma integral definida. O limite do erro é dado pela seguinte regra:

Regra: Erro vinculado à regra de Simpson

f(x)Seja uma função contínua sobre[a,b] ter uma quarta derivada f^{(4)}(x),, nesse intervalo. SeM for o valor máximo de∣f^{(4)}(x)∣ mais[a,b], então o limite superior para o erro de usoS_n para estimar\displaystyle ∫^b_af(x)\,dx é dado por

\text{Error in}\, S_n≤\frac{M(b−a)^5}{180n^4}. \nonumber

Exemplo\displaystyle \PageIndex{7}: Applying Simpson’s Rule 1

UseS_2 para aproximar\displaystyle ∫^1_0x^3\,dx. Estime um limite para o erro emS_2.

Solução

Como[0,1] é dividido em dois intervalos, cada subintervalo tem comprimentoΔx=\frac{1−0}{2}=\frac{1}{2}. Os pontos finais desses subintervalos são\left\{0,\frac{1}{2},1\right\}. Se definirmosf(x)=x^3, então

S_2=\frac{1}{3}⋅\frac{1}{2}(f(0)+4\,f(\frac{1}{2})+f(1))=\frac{1}{6}(0+4⋅\frac{1}{8}+1)=\frac{1}{4}.\nonumber

Desde então, f^{(4)}(x)=0 e consequentemente,M=0, vemos que

Erro emS_2≤\frac{0(1)^5}{180⋅2^4}=0.

Esse limite indica que o valor obtido por meio da regra de Simpson é exato. Uma verificação rápida verificará se, de fato,\displaystyle ∫^1_0x^3\,dx=\frac{1}{4}.

Exemplo\displaystyle \PageIndex{8}: Applying Simpson’s Rule 2

UseS_6 para estimar o comprimento da curvay=\frac{1}{2}x^2 acima[1,4].

Solução

O comprimento doy=\frac{1}{2}x^2 over[1,4] é\displaystyle ∫^4_1\sqrt{1+x^2}\,dx. Se[1,4] dividirmos em seis subintervalos, então cada subintervalo tem comprimentoΔx=\frac{4−1}{6}=\frac{1}{2} e os pontos finais dos subintervalos são \left\{1,\frac{3}{2},2,\frac{5}{2},3,\frac{7}{2},4\right\}. Setting f(x)=\sqrt{1+x^2},

S_6=\frac{1}{3}⋅\frac{1}{2}(f(1)+4f(\frac{3}{2})+2f(2)+4f(\frac{5}{2})+2f(3)+4f(\frac{7}{2})+f(4)).\nonumber

Depois de substituir, temos

S_6=\frac{1}{6}(1.4142+4⋅1.80278+2⋅2.23607+4⋅2.69258+2⋅3.16228+4⋅3.64005+4.12311)≈8.14594\,\text{units}. \nonumber

Exercício\PageIndex{5}

UseS_2 para estimar\displaystyle ∫^2_1\frac{1}{x}\,dx.

Dica

S_2=\frac{1}{3}Δx\left(f(x_0)+4f(x_1)+f(x_2)\right) \nonumber

Resposta

\frac{25}{36} \approx 0.694444


Conceitos-chave

  • Podemos usar a integração numérica para estimar os valores de integrais definidas quando uma forma fechada da integral é difícil de encontrar ou quando um valor aproximado somente da integral definida é necessário.
  • As técnicas mais usadas para integração numérica são a regra do ponto médio, a regra trapezoidal e a regra de Simpson.
  • A regra do ponto médio se aproxima da integral definida usando regiões retangulares, enquanto a regra trapezoidal se aproxima da integral definida usando aproximações trapezoidais.
  • A regra de Simpson se aproxima da integral definida aproximando primeiro a função original usando funções quadráticas por partes.

Equações-chave

  • Regra do ponto médio

\displaystyle M_n=\sum^n_{i=1}f(m_i)Δx

  • Regra trapezoidal

T_n=\frac{Δx}{2}\Big[f(x_0)+2\,f(x_1)+2\,f(x_2)+⋯+2\,f(x_{n−1})+f(x_n)\Big]

  • A regra de Simpson

S_n=\frac{Δx}{3}\Big[f(x_0)+4\,f(x_1)+2\,f(x_2)+4\,f(x_3)+2\,f(x_4)+4\,f(x_5)+⋯+2\,f(x_{n−2})+4\,f(x_{n−1})+f(x_n)\Big]

  • Erro vinculado à regra do ponto médio

Erro emM_n≤\dfrac{M(b−a)^3}{24n^2}, ondeM é o valor máximo de|f''(x)| over[a,b].

  • Limite de erro para regra trapezoidal

Erro emT_n≤\dfrac{M(b−a)^3}{12n^2}, ondeM é o valor máximo de|f''(x)| over[a,b].

  • Erro associado à regra de Simpson

Erro emS_n≤\dfrac{M(b−a)^5}{180n^4}, ondeM é o valor máximo de∣f^{(4)}(x)∣ over[a,b].


Glossário

erro absoluto
seB for uma estimativa de alguma quantidade com um valor real deA, então o erro absoluto é dado por |A−B|
regra do ponto médio
uma regra que usa uma soma de Riemann da forma\displaystyle M_n=\sum^n_{i=1}f(m_i)Δx, onde m_i é o ponto médio doi^{\text{th}} subintervalo a ser aproximado\displaystyle ∫^b_af(x)\,dx
integração numérica
a variedade de métodos numéricos usados para estimar o valor de uma integral definida, incluindo a regra do ponto médio, a regra trapezoidal e a regra de Simpson
erro relativo
erro como uma porcentagem do valor real, dado por\text{relative error}=\left|\frac{A−B}{A}\right|⋅100\%\nonumber
A regra de Simpson
uma regra que se aproxima\displaystyle ∫^b_af(x)\,dx usando a área sob uma função quadrática por partes.
A aproximaçãoS_n de\displaystyle ∫^b_af(x)\,dx é dada porS_n=\frac{Δx}{3}\big(f(x_0)+4\,f(x_1)+2\,f(x_2)+4\,f(x_3)+2\,f(x_4)+⋯+2\,f(x_{n−2})+4\,f(x_{n−1})+f(x_n)\big).\nonumber
regra trapezoidal
uma regra que se aproxima do\displaystyle ∫^b_af(x)\,dx uso da área dos trapézios.
A aproximaçãoT_n de\displaystyle ∫^b_af(x)\,dx é dada porT_n=\frac{Δx}{2}\big(f(x_0)+2\, f(x_1)+2\, f(x_2)+⋯+2\, f(x_{n−1})+f(x_n)\big).\nonumber

Contribuidores e atribuições

  • Template:ContribOpenStaxCalc
  • Edited by Paul Seeburger (Monroe Community College). Notes added to development of area under a parabola and typos fixed in original text.