7.6E: Exercícios para a Seção 7.6
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Nos exercícios 1 a 5, aproxime as seguintes integrais usando a regra do ponto médio, a regra trapezoidal ou a regra de Simpson, conforme indicado. (Arredonde as respostas para três casas decimais.)
1) regra\( \displaystyle ∫^2_1\frac{dx}{x};\) trapezoidal;\( n=5\)
- Responda
- \( 0.696\)
2) regra\( \displaystyle ∫^3_0\sqrt{4+x^3}\;dx;\) trapezoidal;\( n=6\)
3) A regra de\( \displaystyle ∫^3_0\sqrt{4+x^3}\;dx;\) Simpson;\( n=6\)
- Responda
- \( 9.279\)
4) regra\( \displaystyle ∫^{12}_0x^2\;dx;\) do ponto médio;\( n=6\)
5) regra\( \displaystyle ∫^1_0\sin^2(\pi x)\;dx;\) do ponto médio;\( n=3\)
- Responda
- \( 0.500\)
6) Use a regra do ponto médio com oito subdivisões para estimar\( \displaystyle ∫^4_2x^2\;dx.\)
7) Use a regra trapezoidal com quatro subdivisões para estimar\( \displaystyle ∫^4_2x^2\;dx.\)
- Responda
- \( T_4=18.75\)
8) Encontre o valor exato de\( \displaystyle ∫^4_2x^2\;dx.\) Encontre o erro de aproximação entre o valor exato e o valor calculado usando a regra trapezoidal com quatro subdivisões. Desenhe um gráfico para ilustrar.
Aproxime a integral para quatro casas decimais usando a regra indicada.
9) regra\( \displaystyle ∫^1_0\sin^2(\pi x)\;dx;\) trapezoidal;\( n=6\)
- Responda
- \( 0.5000\)
10) regra\( \displaystyle ∫^3_0\frac{1}{1+x^3}\;dx;\) trapezoidal;\( n=6\)
11) A regra de\( \displaystyle ∫^3_0\frac{1}{1+x^3}\;dx;\) Simpson;\( n=6\)
- Responda
- \( 1.1614\)
12) regra\( \displaystyle ∫^{0.8}_0e^{−x^2}\;dx;\) trapezoidal;\( n=4\)
13) A regra de\( \displaystyle ∫^{0.8}_0e^{−x^2}\;dx;\) Simpson;\( n=4\)
- Responda
- \(0.6577\)
14) regra\(\displaystyle ∫^{0.4}_0\sin(x^2)\;dx;\) trapezoidal;\( n=4\)
15) A regra de\(\displaystyle ∫^{0.4}_0\sin(x^2)\;dx;\) Simpson;\( n=4\)
- Responda
- \(0.0213\)
16) regra\( \displaystyle ∫^{0.5}_{0.1}\frac{\cos x}{x}\;dx;\) trapezoidal;\(n=4\)
17) A regra de\( \displaystyle ∫^{0.5}_{0.1}\frac{\cos x}{x}\;dx;\) Simpson;\(n=4\)
- Responda
- \(1.5629\)
18) Avalie\( \displaystyle ∫^1_0\frac{dx}{1+x^2}\) exatamente e mostre que o resultado é\( π/4\). Em seguida, encontre o valor aproximado da integral usando a regra trapezoidal com\( n=4\) subdivisões. Use o resultado para aproximar o valor de\( π\).
19) Aproximado\( \displaystyle ∫^4_2\frac{1}{\ln x}\;dx\) usando a regra do ponto médio com quatro subdivisões até quatro casas decimais.
- Responda
- \( 1.9133\)
20) Aproximado\( \displaystyle ∫^4_2\frac{1}{\ln x}\;dx\) usando a regra trapezoidal com oito subdivisões com quatro casas decimais.
21) Use a regra trapezoidal com quatro subdivisões para estimar\( \displaystyle ∫^{0.8}_0x^3\;dx\) até quatro casas decimais.
- Resposta
- \( T(4)=0.1088\)
22) Use a regra trapezoidal com quatro subdivisões para estimar\( \displaystyle ∫^{0.8}_0x^3\;dx.\) Compare esse valor com o valor exato e encontre a estimativa de erro.
23) Usando a regra de Simpson com quatro subdivisões, encontre\( \displaystyle ∫^{π/2}_0\cos(x)\;dx.\)
- Resposta
- \( \displaystyle ∫^{π/2}_0\cos(x)\;dx\approx \quad 1.0\)
24) Mostre que o valor exato de\( \displaystyle ∫^1_0xe^{−x}\;dx=1−\frac{2}{e}\). Encontre o erro absoluto se você aproximar a integral usando a regra do ponto médio com 16 subdivisões.
25) Dado\( \displaystyle ∫^1_0xe^{−x}\;dx=1−\frac{2}{e},\) usar a regra trapezoidal com 16 subdivisões para aproximar a integral e encontrar o erro absoluto.
- Resposta
- O erro aproximado é\( 0.000325.\)
26) Encontre um limite superior para o erro na estimativa\( \displaystyle ∫^3_0(5x+4)\;dx\) usando a regra trapezoidal com seis etapas.
27) Encontre um limite superior para o erro na estimativa\( \displaystyle ∫^5_4\frac{1}{(x−1)^2}\;dx\) usando a regra trapezoidal com sete subdivisões.
- Resposta
- \( \frac{1}{7938}\)
28) Encontre um limite superior para o erro na estimativa\( \displaystyle ∫^3_0(6x^2−1)\;dx\) usando a regra de Simpson com\( n=10\) etapas.
29) Encontre um limite superior para o erro na estimativa\( \displaystyle ∫^5_2\frac{1}{x−1}\;dx\) usando a regra de Simpson com\( n=10\) etapas.
- Resposta
- \( \frac{81}{25,000}\)
30) Encontre um limite superior para o erro na estimativa\( \displaystyle ∫^π_02x\cos(x)\;dx\) usando a regra de Simpson com quatro etapas.
31) Estime o número mínimo de subintervalos necessários para aproximar a integral\( \displaystyle ∫^4_1(5x^2+8)\;dx\) com uma magnitude de erro menor que 0,0001 usando a regra trapezoidal.
- Resposta
- \( 475\)
32) Determine um valor de n de forma que a regra trapezoidal se aproxime\( \displaystyle ∫^1_0\sqrt{1+x^2}\;dx\) com um erro não superior a 0,01.
33) Estime o número mínimo de subintervalos necessários para aproximar a integral\( \displaystyle ∫^3_2(2x^3+4x)\;dx\) com um erro de magnitude menor que 0,0001 usando a regra trapezoidal.
- Resposta
- \( 174\)
34) Estime o número mínimo de subintervalos necessários para aproximar a integral\( \displaystyle ∫^4_3\frac{1}{(x−1)^2}\;dx\) com uma magnitude de erro menor que 0,0001 usando a regra trapezoidal.
35) Use a regra de Simpson com quatro subdivisões para aproximar a área sob a função\( y=\frac{1}{\sqrt{2π}}e^{−x^2/2}\) de densidade de probabilidade\( x=0\) de\( x=0.4\) a.
- Resposta
- \( 0.1544\)
36) Use a regra de Simpson com\( n=14\) para aproximar (até três casas decimais) a área da região delimitada pelos gráficos de\( y=0, x=0,\) e\( x=π/2.\)
37) O comprimento de um arco da curva\( y=3\sin(2x)\) é dado pela\( L=∫^{π/2}_0\sqrt{1+36\cos^2(2x)}\;dx.\) Estimativa L usando a regra trapezoidal com\( n=6\).
- Resposta
- \( 6.2807\)
38) O comprimento da elipse\( x=a\cos(t),y=b\sin(t),0≤t≤2π\) é dado por\( L=4a∫^{π/2}_0\sqrt{1−e^2\cos^2(t)}dt\), onde e é a excentricidade da elipse. Use a regra de Simpson com\( n=6\) subdivisões para estimar o comprimento da elipse quando\( a=2\) e\( e=1/3.\)
39) Estime a área da superfície gerada pela rotação da curva em\( y=\cos(2x),0≤x≤\frac{π}{4}\) torno do eixo x. Use a regra trapezoidal com seis subdivisões.
- Resposta
- \( 4.606\)
40) Estime a área da superfície gerada pela rotação da curva em\( y=2x^2, 0≤x≤3\) torno do eixo x. Use a regra de Simpson com\( n=6.\)
41) A taxa de crescimento de uma determinada árvore (em pés) é dada por\( y=\dfrac{2}{t+1}+e^{−t^2/2},\) onde t é o tempo em anos. Estime o crescimento da árvore até o final do segundo ano usando a regra de Simpson, usando dois subintervalos. (Arredonde a resposta para o centésimo mais próximo.)
- Resposta
- \( 3.41\)pés
42) [T] Use uma calculadora para aproximar\( \displaystyle ∫^1_0\sin(πx)\;dx\) usando a regra do ponto médio com 25 subdivisões. Calcule o erro relativo de aproximação.
43) [T]\( \displaystyle ∫^5_1(3x^2−2x)\;dx=100,\) Dado o valor aproximado dessa integral usando a regra do ponto médio com 16 subdivisões e determine o erro absoluto.
- Resposta
- \( T_{16}=100.125;\)erro absoluto =\( 0.125\)
44) Dado que conhecemos o Teorema Fundamental do Cálculo, por que quereríamos desenvolver métodos numéricos para integrais definidas?
45) A tabela representa as coordenadas\( (x,y)\) que dão o limite de um lote. As unidades de medida são metros. Use a regra trapezoidal para estimar o número de metros quadrados de terra que está nesse lote.
| \( x\) | \( y\) | \( x\) | \( y\) |
| 0 | 125 | 600 | 95 |
| 100 | 125 | 700 | 88 |
| 200 | 120 | 800 | 75 |
| 300 | 112 | 900 | 35 |
| 400 | 90 | 1000 | 0 |
| 500 | 90 |
- Resposta
- cerca de 89.250 m 2
46) Escolha a resposta correta. Quando a regra de Simpson é usada para aproximar a integral definida, é necessário que o número de partições seja ____
a. um número par
b. número ímpar
c. um número par ou ímpar
d. um múltiplo de 4
47) A soma de “Simpson” é baseada na área abaixo de ____.
- Resposta
- parábola
48) A fórmula de erro da regra de Simpson depende de ___.
uma.\( f(x)\)
b.\( f′(x)\)
c.\( f^{(4)}(x)\)
d. o número de etapas