7.4: Frações parciais

Objetivos de

• Integre uma função racional usando o método de frações parciais.
• Reconheça fatores lineares simples em uma função racional.
• Reconheça fatores lineares repetidos em uma função racional.
• Reconheça fatores quadráticos em uma função racional.

Vimos algumas técnicas que nos permitem integrar funções racionais específicas. Por exemplo, sabemos que

$$\int \dfrac{du}{u}=\ln |u|+C \nonumber$$

e

$$\int \dfrac{du}{u^2+a^2}=\dfrac{1}{a}\tan^{−1} \left(\dfrac{u}{a}\right)+C.\nonumber$$

No entanto, ainda não temos uma técnica que nos permita lidar com quocientes arbitrários desse tipo. Portanto, não é imediatamente óbvio como proceder para avaliar

$$\int \dfrac{3x}{x^2−x−2}\,dx.\nonumber$$

No entanto, sabemos pelo material desenvolvido anteriormente que

$$\int \left(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{2}{x−2}\right)\,dx=\ln |x+1|+2\ln |x−2|+C.\nonumber$$

Na verdade, ao obter um denominador comum, vemos que

$$\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{2}{x−2}=\dfrac{3x}{x^2−x−2}.\nonumber$$

Consequentemente,

$$\int \dfrac{3x}{x^2−x−2}\,dx=\int \left(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{2}{x−2}\right)\,dx.\nonumber$$

Nesta seção, examinamos o método de decomposição parcial de frações, que nos permite decompor funções racionais em somas de funções racionais mais simples e mais facilmente integradas. Usando esse método, podemos reescrever uma expressão como:

$$\dfrac{3x}{x^2−x−2}\nonumber$$

como uma expressão como

$$\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{2}{x−2}.\nonumber$$

A chave para o método de decomposição parcial de frações é ser capaz de antecipar a forma que a decomposição de uma função racional assumirá. Como veremos, essa forma é previsível e altamente dependente da fatoração do denominador da função racional. Também é extremamente importante ter em mente que a decomposição parcial de frações$\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ só pode ser aplicada a uma função racional se$deg(P(x))<deg(Q(x))$. No caso em que$deg(P(x))≥deg(Q(x))$, devemos primeiro realizar uma divisão longa para reescrever o quociente$\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ na forma$A(x)+\dfrac{R(x)}{Q(x)}$, onde$deg(R(x))<deg(Q(x))$. Em seguida, fazemos uma decomposição parcial da fração em$\dfrac{R(x)}{Q(x)}$. O exemplo a seguir, embora não exija decomposição parcial de frações, ilustra nossa abordagem às integrais de funções racionais da forma$\int \dfrac{P(x)}{Q(x)}\,dx$, onde$deg(P(x))≥deg(Q(x)).$

Exemplo$\PageIndex{1}$: Integrating $\displaystyle \int \frac{P(x)}{Q(x)}\,dx$, where $deg(P(x))≥deg(Q(x))$

Avalie

$$\int \dfrac{x^2+3x+5}{x+1}\,dx. \nonumber$$

Solução

Uma vez$deg(x^2+3x+5)≥deg(x+1),$ que realizamos uma divisão longa para obter

$$\dfrac{x^2+3x+5}{x+1}=x+2+\dfrac{3}{x+1}. \nonumber$$

Assim,

$$\int \dfrac{x^2+3x+5}{x+1}\,dx=\int \left(x+2+\dfrac{3}{x+1}\right)\,dx=\dfrac{1}{2}x^2+2x+3\ln |x+1|+C. \nonumber$$

Visite este site para uma análise da divisão longa de polinômios.

Exercício$\PageIndex{1}$

Avalie

$$\int \dfrac{x−3}{x+2}\,dx. \nonumber$$

Dica

Use a divisão longa para obter$\dfrac{x−3}{x+2}=1−\dfrac{5}{x+2}. \nonumber$

Responda

$$x−5\ln |x+2|+C \nonumber$$

Para integrar$\displaystyle \int \dfrac{P(x)}{Q(x)}\,dx$, onde$deg(P(x))<deg(Q(x))$, devemos começar por fatorar$Q(x)$.

Fatores lineares não repetidos

Se$Q(x)$ pode ser fatorado como$(a_1x+b_1)(a_2x+b_2)…(a_nx+b_n)$, onde cada fator linear é distinto, então é possível encontrar constantes$A_1,A_2,…A_n$ satisfatórias

$$\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{A_1}{a_1x+b_1}+\dfrac{A_2}{a_2x+b_2}+⋯+\dfrac{A_n}{a_nx+b_n}. \label{eq:7.4.1}$$

A prova de que essas constantes existem está além do escopo deste curso.

No próximo exemplo, veremos como usar frações parciais para integrar uma função racional desse tipo.

Exemplo$\PageIndex{2}$: Partial Fractions with Nonrepeated Linear Factors

Avalie$\displaystyle \int \dfrac{3x+2}{x^3−x^2−2x}\,dx.$

Solução

Desde então$deg(3x+2)<deg(x^3−x^2−2x)$, começamos fatorando o denominador de$\dfrac{3x+2}{x^3−x^2−2x}$. Nós podemos ver isso$x^3−x^2−2x=x(x−2)(x+1)$. Assim, existem constantes$A$ e$C$ satisfatórias Equação\ ref {eq:7.4.1} tal que$B$

$$\dfrac{3x+2}{x(x−2)(x+1)}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x−2}+\dfrac{C}{x+1}. \nonumber$$

Agora devemos encontrar essas constantes. Para fazer isso, começamos obtendo um denominador comum à direita. Assim,

$$\dfrac{3x+2}{x(x−2)(x+1)}=\dfrac{A(x−2)(x+1)+Bx(x+1)+Cx(x−2)}{x(x−2)(x+1)}. \nonumber$$

Agora, definimos os numeradores iguais entre si, obtendo

$$3x+2=A(x−2)(x+1)+Bx(x+1)+Cx(x−2).\label{Ex2Numerator}$$

Existem duas estratégias diferentes para encontrar os coeficientes$A$$B$,$C$ e. Nós nos referimos a eles como o método de equalizar coeficientes e o método de substituição estratégica.

Estratégia 1: Método de equalização de coeficientes

Reescreva a equação$\ref{Ex2Numerator}$ no formulário

$$3x+2=(A+B+C)x^2+(−A+B−2C)x+(−2A). \nonumber$$

A equação de coeficientes produz o sistema de equações

$$\begin{align*} A+B+C &=0 \\[4pt] −A+B−2C &= 3 \\[4pt] −2A &=2. \end{align*}$$

Para resolver esse sistema, primeiro observamos que$−2A=2⇒A=−1.$ a substituição desse valor nas duas primeiras equações nos dá o sistema

$B+C=1$

$B−2C=2$.

Multiplicar a segunda equação por$−1$ e adicionar a equação resultante à primeira produz

$−3C=1,$

o que, por sua vez, implica isso$C=−\dfrac{1}{3}$. Substituir esse valor na equação$B+C=1$ resulta em$B=\dfrac{4}{3}$. Assim, resolver essas equações produz$A=−1, B=\dfrac{4}{3}$,$C=−\dfrac{1}{3}$ e.

É importante observar que o sistema produzido por esse método é consistente se e somente se tivermos configurado a decomposição corretamente. Se o sistema for inconsistente, há um erro em nossa decomposição.

Estratégia dois: Método de substituição estratégica

O método de substituição estratégica é baseado na suposição de que configuramos a decomposição corretamente. Se a decomposição estiver configurada corretamente, então deve haver valores de$A, B,$ e$C$ que satisfaçam a Equação$\ref{Ex2Numerator}$ para todos os valores de$x$. Ou seja, essa equação deve ser verdadeira para qualquer valor$x$ que desejemos substituí-la. Portanto, escolhendo valores de$x$ cuidadosamente e substituindo-os na equação, podemos encontrar$A, B$ e$C$ facilmente. Por exemplo, se substituirmos$x=0$, a equação se reduz para$2=A(−2)(1)$. Solução para obter$A$ rendimentos$A=−1$. Em seguida, ao substituir$x=2$, a equação se reduz para$8=B(2)(3)$, ou equivalentemente$B=4/3$. Por último, substituímos$x=−1$ a equação e obtemos a$−1=C(−1)(−3).$ Solução, temos$C=−\dfrac{1}{3}$.

É importante ter em mente que, se tentarmos usar esse método com uma decomposição que não foi configurada corretamente, ainda poderemos encontrar valores para as constantes, mas essas constantes não têm sentido. Se optarmos por usar o método de substituição estratégica, é uma boa ideia verificar o resultado recombinando os termos algebricamente.

Agora que temos os valores de$A, B,$ e$C,$ reescrevemos a integral original:

$$\int \dfrac{3x+2}{x^3−x^2−2x}\,dx=\int \left(−\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{3}⋅\dfrac{1}{x−2}−\dfrac{1}{3}⋅\dfrac{1}{x+1}\right)\,dx. \nonumber$$

Avaliar a integral nos dá

$$\int \dfrac{3x+2}{x^3−x^2−2x}\,dx=−\ln |x|+\dfrac{4}{3}\ln |x−2|−\dfrac{1}{3}\ln |x+1|+C. \nonumber$$

No próximo exemplo, integramos uma função racional na qual o grau do numerador não é menor que o grau do denominador.

Exemplo$\PageIndex{3}$: Dividing before Applying Partial Fractions

Avalie$\displaystyle \int \dfrac{x^2+3x+1}{x^2−4}\,dx.$

Solução

Uma vez que$deg(x^2+3x+1)≥deg(x^2−4),$ devemos realizar uma divisão longa de polinômios. Isso resulta em

$$\dfrac{x^2+3x+1}{x^2−4}=1+\dfrac{3x+5}{x^2−4} \nonumber$$

Em seguida, realizamos a decomposição parcial de frações em$\dfrac{3x+5}{x^2−4}=\dfrac{3x+5}{(x+2)(x−2)}$. Nós temos

$$\dfrac{3x+5}{(x−2)(x+2)}=\dfrac{A}{x−2}+\dfrac{B}{x+2}. \nonumber$$

Assim,

$$3x+5=A(x+2)+B(x−2). \nonumber$$

Resolvendo$A$ e$B$ usando qualquer um dos métodos, obtemos$A=11/4$ e$B=1/4.$

Reescrevendo a integral original, temos

$$\int \dfrac{x^2+3x+1}{x^2−4}\,dx=\int \left(1+\dfrac{11}{4}⋅\dfrac{1}{x−2}+\dfrac{1}{4}⋅\dfrac{1}{x+2}\right)\,dx. \nonumber$$

Avaliar a integral produz

$$\int \dfrac{x^2+3x+1}{x^2−4}\,dx=x+\dfrac{11}{4}\ln |x−2|+\dfrac{1}{4}\ln |x+2|+C. \nonumber$$

Como vemos no próximo exemplo, pode ser possível aplicar a técnica de decomposição parcial de frações a uma função não racional. O truque é converter a função não racional em uma função racional por meio de uma substituição.

Exemplo$\PageIndex{4}$: Applying Partial Fractions after a Substitution

Avalie$\displaystyle \int \dfrac{\cos x}{\sin^2x−\sin x}\,dx.$

Solução

Vamos começar deixando$u=\sin x.$ Consequentemente,$du=\cos x\,dx.$ depois de fazer essas substituições, temos

$$\int \dfrac{\cos x}{\sin^2x−\sin x}\,dx=\int \dfrac{du}{u^2−u}=\int \dfrac{du}{u(u−1)}. \nonumber$$

Aplicando decomposição parcial de frações em$\dfrac{1}{u(u−1)}$ dá$\dfrac{1}{u(u−1)}=−\dfrac{1}{u}+\dfrac{1}{u−1}.$

Assim,

$$\int \dfrac{\cos x}{\sin^2x−\sin x}\,dx=−\ln |u|+\ln |u−1|+C=−\ln |\sin x|+\ln |\sin x−1|+C. \nonumber$$

Exercício$\PageIndex{2}$

Avalie$\displaystyle \int \dfrac{x+1}{(x+3)(x−2)}\,dx.$

Dica

$$\dfrac{x+1}{(x+3)(x−2)}=\dfrac{A}{x+3}+\dfrac{B}{x−2} \nonumber$$

Responda

$$\dfrac{2}{5}\ln |x+3|+\dfrac{3}{5}\ln |x−2|+C \nonumber$$

Fatores lineares repetidos

Para algumas aplicações, precisamos integrar expressões racionais que tenham denominadores com fatores lineares repetidos, ou seja, funções racionais com pelo menos um fator da forma em$(ax+b)^n,$ que$n$ seja um número inteiro positivo maior ou igual$2$ a. Se o denominador contiver o fator linear repetido$(ax+b)^n$, a decomposição deverá conter

$$\dfrac{A_1}{ax+b}+\dfrac{A_2}{(ax+b)^2}+⋯+\dfrac{A_n}{(ax+b)^n}. \label{eq:7.4.2}$$

Como vemos em nosso próximo exemplo, a técnica básica usada para resolver os coeficientes é a mesma, mas requer mais álgebra para determinar os numeradores das frações parciais.

Exemplo$\PageIndex{5}$: Partial Fractions with Repeated Linear Factors

Avalie$\displaystyle \int \dfrac{x−2}{(2x−1)^2(x−1)}\,dx.$

Solução

Nós temos$deg(x−2)<deg((2x−1)^2(x−1)),$ para que possamos prosseguir com a decomposição. Como$(2x−1)^2$ é um fator linear repetido, inclua

$$\dfrac{A}{2x−1}+\dfrac{B}{(2x−1)^2} \nonumber$$

na decomposição na Equação\ ref {eq:7.4.2}. Assim,

$$\dfrac{x−2}{(2x−1)^2(x−1)}=\dfrac{A}{2x−1}+\dfrac{B}{(2x−1)^2}+\dfrac{C}{x−1}. \nonumber$$

Depois de obter um denominador comum e igualar os numeradores, temos

$$x−2=A(2x−1)(x−1)+B(x−1)+C(2x−1)^2. \label{Ex5Numerator}$$

Em seguida, usamos o método de equalizar coeficientes para encontrar os valores de$A, B,$$C$ e.

$$x−2=(2A+4C)x^2+(−3A+B−4C)x+(A−B+C). \nonumber$$

A equação de coeficientes rende$2A+4C=0$$−3A+B−4C=1$,$A−B+C=−2$ e. Resolver esse sistema gera$A=2, B=3,$ e$C=−1.$

Como alternativa, podemos usar o método de substituição estratégica. Nesse caso, substituir$x=1$ e$x=1/2$ em Equation produz$\ref{Ex5Numerator}$ facilmente os valores$B=3$$C=−1$ e. Nesse ponto, pode parecer que estamos sem boas escolhas, pois$x$, como já temos valores para$B$ e$C$, podemos substituí-los e escolher qualquer valor que$x$ não tenha sido usado anteriormente. O valor$x=0$ é uma boa opção. Nesse caso, obtemos a equação$−2=A(−1)(−1)+3(−1)+(−1)(−1)^2$ ou, equivalentemente,$A=2.$

Agora que temos os valores de$A, B,$ e$C$, reescrevemos a integral original e a avaliamos:

\ [\ begin {align*}\ int\ dfrac {x−2} {(2x−1) ^2 (x−1)}\, dx &=\ int\ left (\ dfrac {2} {2x−1} +\ dfrac {3} {(2x−1) ^2} −\ dfrac {1} {x−1}\ direita)\, x\\ [4pt]
&=\ ln |2x−1|−\ dfrac {3} {2 (2x−1)} −\ ln |X−1|+c.\ end {align*}\]

Exercício$\PageIndex{3}$

Configure a decomposição parcial da fração para

$$\int \dfrac{x+2}{(x+3)^3(x−4)^2}\,dx. \nonumber$$

(Não resolva os coeficientes nem conclua a integração.)

Dica

Use o método de resolução de problemas do Example$\PageIndex{5}$ para obter orientação.

Responda

$$\dfrac{x+2}{(x+3)^3(x−4)^2}=\dfrac{A}{x+3}+\dfrac{B}{(x+3)^2}+\dfrac{C}{(x+3)^3}+\dfrac{D}{(x−4)}+\dfrac{E}{(x−4)^2} \nonumber$$

O método geral

Agora que estamos começando a ter uma ideia de como funciona a técnica de decomposição parcial de frações, vamos descrever o método básico na seguinte estratégia de resolução de problemas.

Estratégia de resolução de problemas: decomposição parcial de frações

Para decompor a função racional$P(x)/Q(x)$, use as seguintes etapas:

1. Certifique-se de que,$deg(P(x))<deg(Q(x)).$ caso contrário, realize uma divisão longa dos polinômios.
2. $Q(x)$Inclua o produto de fatores quadráticos lineares e irredutíveis. Uma quadrática irredutível é uma quadrática que não tem zeros reais.
3. Supondo que$deg(P(x))<deg(Q(x)$, os fatores$Q(x)$ determinam a forma da decomposição de$P(x)/Q(x).$
   1. Se$Q(x)$ pode ser fatorado como$(a_1x+b_1)(a_2x+b_2)…(a_nx+b_n)$, onde cada fator linear é distinto, então é possível encontrar constantes$A_1,A_2,...A_n$ satisfatórias $$\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{A_1}{a_1x+b_1}+\dfrac{A_2}{a_2x+b_2}+⋯+\dfrac{A_n}{a_nx+b_n}. \nonumber$$
   2. Se$Q(x)$ contiver o fator linear repetido$(ax+b)^n$, a decomposição deve conter $$\dfrac{A_1}{ax+b}+\dfrac{A_2}{(ax+b)^2}+⋯+\dfrac{A_n}{(ax+b)^n}. \nonumber$$
   3. Para cada fator quadrático irredutível$ax^2+bx+c$ que$Q(x)$ contém, a decomposição deve incluir $$\dfrac{Ax+B}{ax^2+bx+c}. \nonumber$$
   4. Para cada fator quadrático irredutível repetido,$(ax^2+bx+c)^n,$ a decomposição deve incluir: $$\dfrac{A_1x+B_1}{ax^2+bx+c}+\dfrac{A_2x+B_2}{(ax^2+bx+c)^2}+⋯+\dfrac{A_nx+B_n}{(ax^2+bx+c)^n}. \nonumber$$
   5. Depois que a decomposição apropriada for determinada, resolva as constantes.
   6. Por fim, reescreva a integral em sua forma decomposta e avalie-a usando técnicas previamente desenvolvidas ou fórmulas de integração.

Fatores quadráticos simples

Agora vamos analisar a integração de uma expressão racional na qual o denominador contém um fator quadrático irredutível. Lembre-se de que a quadrática$ax^2+bx+c$ é irredutível se não$ax^2+bx+c=0$ tiver zeros reais, ou seja, se$b^2−4ac<0.$

Exemplo$\PageIndex{6}$: Rational Expressions with an Irreducible Quadratic Factor

Avalie

$$\int \dfrac{2x−3}{x^3+x}\,dx.\nonumber$$

Solução

Uma vez$deg(2x−3)<deg(x^3+x),$ fatore o denominador e prossiga com a decomposição parcial da fração. Como$x^3+x=x(x^2+1)$ contém o fator quadrático irredutível$x^2+1$, inclua$\dfrac{Ax+B}{x^2+1}$ como parte da decomposição, junto com$\dfrac{C}{x}$ o termo linear$x$. Assim, a decomposição tem a forma

$$\dfrac{2x−3}{x(x^2+1)}=\dfrac{Ax+B}{x^2+1}+\dfrac{C}{x}.\nonumber$$

Depois de obter um denominador comum e igualar os numeradores, obtemos a equação

$$2x−3=(Ax+B)x+C(x^2+1).\nonumber$$

Resolvendo$A,B,$ e$C,$ obtemos$A=3, B=2,$ e$C=−3.$

Assim,

$$\dfrac{2x−3}{x^3+x}=\dfrac{3x+2}{x^2+1}−\dfrac{3}{x}.\nonumber$$

Substituindo de volta na integral, obtemos

\ [\ begin {align*}\ int\ dfrac {2x−3} {x^3+x}\, dx &=\ int\ left (\ dfrac {3x+2} {x^2+1} −\ dfrac {3} {x}\ direita)\, dx\ nonumber\\ [4pt]
&=3\ int\ dfrac {x} {x^2+1}\, dx+2\ int\ dfrac {1} {x^2+1}\, dx−3\ int\ dfrac {1} {x}\, dx & &\ text {Divida a integral}\\ [4pt]
&=\ dfrac {3} {2}\ ln x^2 +1+2\ tan^ {−1} x−3\ ln |x|+c. & &\ text {Avalie cada integral}\ end {align*}\]

Nota: Podemos reescrever$\ln ∣x^2+1∣=\ln (x^2+1)$, se quisermos fazer isso, já que$x^2+1>0.$

Exemplo$\PageIndex{7}$: Partial Fractions with an Irreducible Quadratic Factor

Avalie$\displaystyle \int \dfrac{\,dx}{x^3−8}.$

Solução: Podemos começar fatorando.$x^3−8=(x−2)(x^2+2x+4).$ Vemos que o fator quadrático$x^2+2x+4$ é irredutível, pois$2^2−4(1)(4)=−12<0.$ usando a decomposição descrita na estratégia de resolução de problemas, obtemos

$$\dfrac{1}{(x−2)(x^2+2x+4)}=\dfrac{A}{x−2}+\dfrac{Bx+C}{x^2+2x+4}. \nonumber$$

Depois de obter um denominador comum e igualar os numeradores, isso se torna

$$1=A(x^2+2x+4)+(Bx+C)(x−2). \nonumber$$

Aplicando qualquer um dos métodos, obtemos$A=\dfrac{1}{12},B=−\dfrac{1}{12},$ e$C=−\dfrac{1}{3}.$

Reescrevendo$\int \dfrac{\,dx}{x^3−8},$, temos

$$\int \dfrac{\,dx}{x^3−8}=\dfrac{1}{12}\int \dfrac{1}{x−2}\,dx−\dfrac{1}{12}\int \dfrac{x+4}{x^2+2x+4}\,dx. \nonumber$$

Nós podemos ver isso

$$\int \dfrac{1}{x−2}\,dx=\ln |x−2|+C,\nonumber$$

mas

$$\int \dfrac{x+4}{x^2+2x+4}\,dx \nonumber$$

exige um pouco mais de esforço. Vamos começar completando o quadrado$x^2+2x+4$ para obter

$$x^2+2x+4=(x+1)^2+3. \nonumber$$

Ao deixar$u=x+1$ e, consequentemente$du=\,dx,$, vemos isso

\ [\ begin {align*}\ int\ dfrac {x+4} {x^2+2x+4}\, dx &=\ int\ dfrac {x+4} {(x+1) ^2+3}\, dx & &\ text {Complete o quadrado no denominador}\\ [4pt]
&=\ int\ dfrac {u+3} {u^u ^ 2+3}\, du & &\ text {Substitute} u=x+1,\, x=u−1,\ text {e} du=dx\\ [4pt]
&=\ int\ dfrac {u} {u^2+3 } du+\ int\ dfrac {3} {u^2+3} du & &\ text {Divida o numerador à parte}\\ [4pt]
&=\ dfrac {1} {2}\ ln u^2+3+\ dfrac {3} {\ sqrt {3}}\ tan^ {−1}\ dfrac {u} {\ sqrt {3}} +C & &\ text {Calcule cada integral}\\ [4pt]
&=\ dfrac {1} {2}\ ln x^2+2x+4+\ sqrt {3}\ tan^ {−1}\ left (\ dfrac {x+1} {\ sqrt {3}}\ right) +C & &\ text {Reescreva em termos de} x\ text {e simplifique}\ end {align*}\]

Substituindo de volta pela integral original e simplificando, dá

$$\int \dfrac{ \,dx}{x^3−8}=\dfrac{1}{12}\ln |x−2|−\dfrac{1}{24}\ln |x^2+2x+4|−\dfrac{\sqrt{3}}{12}\tan^{−1}\left(\dfrac{x+1}{\sqrt{3}}\right)+C. \nonumber$$

Aqui, novamente, podemos reduzir o valor absoluto se quisermos fazer isso, já que$x^2+2x+4>0$ para todos$x$.

Exemplo$\PageIndex{8}$: Finding a Volume

Encontre o volume do sólido de revolução obtido girando a região delimitada pelo gráfico de$f(x)=\dfrac{x^2}{(x^2+1)^2}$ e o eixo x$[0,1]$ sobre o intervalo em torno do eixo y.

Solução

Vamos começar desenhando a região a ser revolvida (veja a Figura$\PageIndex{1}$). A partir do esboço, vemos que o método shell é uma boa opção para resolver esse problema.

Figura$\PageIndex{1}$: Podemos usar o método shell para encontrar o volume de revolução obtido pela rotação da região mostrada em torno do$y$ eixo.

O volume é dado por

$$V=2π\int ^1_0x⋅\dfrac{x^2}{(x^2+1)^2}\,dx=2π\int ^1_0\dfrac{x^3}{(x^2+1)^2}\,dx. \nonumber$$

Uma vez que$deg((x^2+1)^2)=4>3=deg(x^3),$ podemos prosseguir com a decomposição parcial de frações. Observe que$(x^2+1)^2$ é uma quadrática irredutível repetida. Usando a decomposição descrita na estratégia de resolução de problemas, obtemos

$$\dfrac{x^3}{(x^2+1)^2}=\dfrac{Ax+B}{x^2+1}+\dfrac{Cx+D}{(x^2+1)^2}. \nonumber$$

Encontrar um denominador comum e igualar os numeradores dá

$$x^3=(Ax+B)(x^2+1)+Cx+D. \nonumber$$

Resolvendo, obtemos$A=1, B=0, C=−1,$ e$D=0.$ substituindo de volta na integral, temos

$$V=2π\int _0^1\dfrac{x^3}{(x^2+1)^2}\,dx=2π\int _0^1\left(\dfrac{x}{x^2+1}−\dfrac{x}{(x^2+1)^2}\right)\,dx=2π\left(\dfrac{1}{2}\ln (x^2+1)+\dfrac{1}{2}⋅\dfrac{1}{x^2+1}\right)\Big|^1_0=π\left(\ln 2−\tfrac{1}{2}\right). \nonumber$$

Exercício$\PageIndex{4}$

Configure a decomposição parcial da fração para $$\int \dfrac{x^2+3x+1}{(x+2)(x−3)^2(x^2+4)^2}\,dx. \nonumber$$

Dica

Use a estratégia de resolução de problemas.

Responda

$$\dfrac{x^2+3x+1}{(x+2)(x−3)^2(x^2+4)^2}=\dfrac{A}{x+2}+\dfrac{B}{x−3}+\dfrac{C}{(x−3)^2}+\dfrac{Dx+E}{x^2+4}+\dfrac{Fx+G}{(x^2+4)^2} \nonumber$$

Conceitos-chave

• A decomposição parcial de frações é uma técnica usada para dividir uma função racional em uma soma de funções racionais simples que podem ser integradas usando técnicas aprendidas anteriormente.
• Ao aplicar a decomposição parcial de frações, devemos garantir que o grau do numerador seja menor que o grau do denominador. Caso contrário, precisamos realizar uma divisão longa antes de tentar a decomposição parcial da fração.
• A forma da decomposição depende do tipo de fatores no denominador. Os tipos de fatores incluem fatores lineares não repetidos, fatores lineares repetidos, fatores quadráticos irredutíveis não repetidos e fatores quadráticos irredutíveis repetidos.

Glossário

decomposição de frações parciais

uma técnica usada para dividir uma função racional na soma de funções racionais simples