7.3E: Exercícios para a Seção 7.3

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Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
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Simplifique as expressões nos exercícios 1 a 5 escrevendo cada uma usando uma única função trigonométrica.

1)\(4−4\sin^2θ\)

2)\(9\sec^2θ−9\)

Resposta: \(9\sec^2θ−9 \quad = \quad 9\tan^2θ\)

3)\(a^2+a^2\tan^2θ\)

4)\(a^2+a^2\sinh^2θ\)

Resposta: \(a^2+a^2\sinh^2θ \quad = \quad a^2\cosh^2θ\)

5)\(16\cosh^2θ−16\)

Use a técnica de completar o quadrado para expressar cada trinômio nos exercícios 6 a 8 como o quadrado de um binômio.

6)\(4x^2−4x+1\)

Resposta: \( 4(x−\frac{1}{2})^2\)

7)\(2x^2−8x+3\)

8)\(−x^2−2x+4\)

Resposta: \( −(x+1)^2+5\)

Nos exercícios 9 a 28, integre usando o método de substituição trigonométrica. Expresse a resposta final em termos da variável original.

9)\(\displaystyle ∫\frac{dx}{\sqrt{4−x^2}}\)

10)\(\displaystyle ∫\frac{dx}{\sqrt{x^2−a^2}}\)

Resposta: \(\displaystyle ∫\frac{dx}{\sqrt{x^2−a^2}} \quad = \quad \ln∣x+\sqrt{−a^2+x^2}∣+C\)

11)\(\displaystyle ∫\sqrt{4−x^2}\,dx\)

12)\(\displaystyle ∫\frac{dx}{\sqrt{1+9x^2}}\)

Resposta: \(\displaystyle ∫\frac{dx}{\sqrt{1+9x^2}} \quad = \quad \tfrac{1}{3}\ln∣\sqrt{9x^2+1}+3x∣+C\)

13)\(\displaystyle ∫\frac{x^2\,dx}{\sqrt{1−x^2}}\)

14)\(\displaystyle ∫\frac{dx}{x^2\sqrt{1−x^2}}\)

Resposta: \(\displaystyle ∫\frac{dx}{x^2\sqrt{1−x^2}} \quad = \quad −\frac{\sqrt{1−x^2}}{x}+C\)

15)\(\displaystyle ∫\frac{dx}{(1+x^2)^2}\)

16)\(\displaystyle ∫\sqrt{x^2+9}\,dx\)

Resposta: \(\displaystyle ∫\sqrt{x^2+9}\,dx \quad = \quad 9\left[\frac{x\sqrt{x^2+9}}{18}+\tfrac{1}{2}\ln\left|\frac{\sqrt{x^2+9}}{3}+\frac{x}{3}\right|\right]+C\)

17)\(\displaystyle ∫\frac{\sqrt{x^2−25}}{x}\,dx\)

18)\(\displaystyle ∫\frac{θ^3}{\sqrt{9−θ^2}}\,dθ\)

Resposta: \(\displaystyle ∫\frac{θ^3dθ}{\sqrt{9−θ^2}}\,dθ \quad = \quad −\tfrac{1}{3}\sqrt{9−θ^2}(18+θ^2)+C\)

19)\(\displaystyle ∫\frac{dx}{\sqrt{x^6−x^2}}\)

20)\(\displaystyle ∫\sqrt{x^6−x^8}\,dx\)

Resposta: \(\displaystyle ∫\sqrt{x^6−x^8}\,dx \quad = \quad \frac{(−1+x^2)(2+3x^2)\sqrt{x^6−x^8}}{15x^3}+C\)

21)\(\displaystyle ∫\frac{dx}{(1+x^2)^{3/2}}\)

22)\(\displaystyle ∫\frac{dx}{(x^2−9)^{3/2}}\)

Resposta: \(\displaystyle ∫\frac{dx}{(x^2−9)^{3/2}} \quad = \quad −\frac{x}{9\sqrt{x^2-9}}+C\)

23)\(\displaystyle ∫\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}\,dx\)

24)\(\displaystyle ∫\frac{x^2}{\sqrt{x^2−1}}\,dx\)

Resposta: \(\displaystyle ∫\frac{x^2}{\sqrt{x^2−1}}\,dx \quad = \quad \tfrac{1}{2}(\ln∣x+\sqrt{x^2−1}∣+x\sqrt{x^2−1})+C\)

25)\(\displaystyle ∫\frac{x^2}{x^2+4}\,dx\)

26)\(\displaystyle ∫\frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+1}}\)

Resposta: \(\displaystyle ∫\frac{dx}{x^2\sqrt{x^2+1}} \quad = \quad −\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}+C\)

27)\(\displaystyle ∫\frac{x^2}{\sqrt{1+x^2}}\,dx\)

28)\(\displaystyle ∫^1_{−1}(1−x^2)^{3/2}\,dx\)

Resposta: \(\displaystyle ∫^1_{−1}(1−x^2)^{3/2}\,dx \quad = \quad \tfrac{1}{8}\left(x(5−2x^2)\sqrt{1−x^2}+3\arcsin x\right)+C\)

Nos exercícios 29 a 34, use as substituições\(x=\sinh θ, \, \cosh θ,\) ou\(\tanh θ.\) expresse as respostas finais em termos da variável\(x\).

29)\(\displaystyle ∫\frac{dx}{\sqrt{x^2−1}}\)

30)\(\displaystyle ∫\frac{dx}{x\sqrt{1−x^2}}\)

Resposta: \(\displaystyle ∫\frac{dx}{x\sqrt{1−x^2}} \quad = \quad \ln x−\ln∣1+\sqrt{1−x^2}∣+C\)

31)\(\displaystyle ∫\sqrt{x^2−1}\,dx\)

32)\(\displaystyle ∫\frac{\sqrt{x^2−1}}{x^2}\,dx\)

Resposta: \(\displaystyle ∫\frac{\sqrt{x^2−1}}{x^2}\,dx \quad = \quad −\frac{\sqrt{−1+x^2}}{x}+\ln\left|x+\sqrt{−1+x^2}\right|+C\)

33)\(\displaystyle ∫\frac{dx}{1−x^2}\)

34)\(\displaystyle ∫\frac{\sqrt{1+x^2}}{x^2}\,dx\)

Resposta: \(\displaystyle ∫\frac{\sqrt{1+x^2}}{x^2}\,dx \quad = \quad −\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}+\text{arcsinh}\, x+C\)

Use a técnica de completar o quadrado para avaliar as integrais nos exercícios 35 - 39.

(35)\(\displaystyle ∫\frac{1}{x^2−6x}\,dx\)

36)\(\displaystyle ∫\frac{1}{x^2+2x+1}\,dx\)

Resposta: \(\displaystyle ∫\frac{1}{x^2+2x+1}\,dx \quad = \quad −\frac{1}{1+x}+C\)

37)\(\displaystyle ∫\frac{1}{\sqrt{−x^2+2x+8}}\,dx\)

38)\(\displaystyle ∫\frac{1}{\sqrt{−x^2+10x}}\,dx\)

Resposta: \(\displaystyle ∫\frac{1}{\sqrt{−x^2+10x}}\,dx \quad = \quad \arcsin\left( \frac{x-5}{5}\right)+C\)

39)\(\displaystyle ∫\frac{1}{\sqrt{x^2+4x−12}}\,dx\)

40) Avalie a integral sem usar o cálculo:\(\displaystyle ∫^3_{−3}\sqrt{9−x^2}\,dx.\)

Resposta: \(\displaystyle ∫^3_{−3}\sqrt{9−x^2}\,dx \quad = \quad \frac{9π}{2}\); área de um semicírculo com raio 3

41) Encontre a área delimitada pela elipse\(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{9}=1.\)

42) Avalie a integral\(\displaystyle ∫\frac{dx}{\sqrt{1−x^2}}\) usando duas substituições diferentes. Primeiro, deixe\(x=\cos θ\) e avalie usando a substituição trigonométrica. Em segundo lugar, deixe\(x=\sin θ\) e use a substituição trigonométrica. As respostas são as mesmas?

Resposta: \(\displaystyle ∫\frac{dx}{\sqrt{1−x^2}} \quad = \quad \arcsin(x)+C\)é a resposta comum.

43) Avalie a integral\(\displaystyle ∫\frac{dx}{x\sqrt{x^2−1}}\) usando a substituição\(x=\sec θ\). Em seguida, avalie a mesma integral usando a substituição\(x=\csc θ.\) Mostre que os resultados são equivalentes.

44) Avalie a integral\(\displaystyle ∫\frac{x}{x^2+1}\,dx\) usando o formulário\(\displaystyle ∫\frac{1}{u}\,du\). Em seguida, avalie a mesma integral usando\(x=\tan θ.\) Os resultados são os mesmos?

Resposta: \(\displaystyle ∫\frac{x}{x^2+1}\,dx \quad = \quad \frac{1}{2}\ln(1+x^2)+C\)é o resultado usando qualquer um dos métodos.

45) Declare o método de integração que você usaria para avaliar a integral\(\displaystyle ∫x\sqrt{x^2+1}\,dx.\) Por que você escolheu esse método?

46) Declare o método de integração que você usaria para avaliar a integral\(\displaystyle ∫x^2\sqrt{x^2−1}\,dx.\) Por que você escolheu esse método?

Resposta: Use a substituição trigonométrica. Deixe\(x=\sec(θ).\)

47) Avalie\(\displaystyle ∫^1_{−1}\frac{x}{x^2+1}\,dx\)

48) Encontre o comprimento do arco da curva no intervalo especificado:\(y=\ln x,\quad [1,5].\) arredonde a resposta para três casas decimais.

Resposta: \( s = 4.367\)unidades

49) Encontre a área da superfície do sólido gerado pela rotação da região delimitada pelos gráficos de\(y=x^2,\, y=0,\, x=0\) e em\(x=\sqrt{2}\) torno do\(x\) eixo. (Arredonde a resposta para três casas decimais).

50) A região delimitada pelo gráfico de\(f(x)=\dfrac{1}{1+x^2}\) e pelo\(x\) eixo -entre\(x=0\) e\(x=1\) é girada em torno do\(x\) eixo -. Encontre o volume do sólido que é gerado.

Resposta: \( V = \left(\frac{π^2}{8}+\frac{π}{4}\right) \, \text{units}^3\)

Nos exercícios 51 a 52, resolva o problema do valor inicial de\(y\) em função de\(x\).

51)\((x^2+36)\dfrac{dy}{dx}=1, \quad y(6)=0\)

52)\((64−x^2)\dfrac{dy}{dx}=1, \quad y(0)=3\)

Resposta: \( y=\tfrac{1}{16}\ln\left|\dfrac{x+8}{x−8}\right|+3\)

53) Encontre a área delimitada por\(y=\dfrac{2}{\sqrt{64−4x^2}},\, x=0,\, y=0\),\(x=2\) e.

54) Um tanque de armazenamento de óleo pode ser descrito como o volume gerado pela rotação da área delimitada por\(y=\dfrac{16}{\sqrt{64+x^2}},\, x=0,\, y=0,\, x=2\) cerca do\(x\) eixo. Encontre o volume do tanque (em metros cúbicos).

Resposta: \(V = 24.6\)m ³

55) Durante cada ciclo, a velocidade\(v\) (em pés por segundo) de um dispositivo robótico de soldagem é dada por\(v=2t−\dfrac{14}{4+t^2}\), onde\(t\) é o tempo em segundos. Encontre a expressão para o deslocamento\(s\) (em pés) em função de\(t\) if\(s=0\) when\(t=0\).

56) Encontre o comprimento da curva\(y=\sqrt{16−x^2}\) entre\(x=0\)\(x=2\) e.

Resposta: \( s = \frac{2π}{3}\)unidades