7.3: Substituição trigonométrica

objetivos de aprendizagem

• Resolva problemas de integração envolvendo a raiz quadrada de uma soma ou diferença de dois quadrados.

Nesta seção, exploramos integrais contendo expressões da forma\(\sqrt{a^2−x^2}\)\(\sqrt{a^2+x^2}\), e\(\sqrt{x^2−a^2}\), onde os valores de\(a\) são positivos. Já encontramos e avaliamos integrais contendo algumas expressões desse tipo, mas muitas ainda permanecem inacessíveis. A técnica de substituição trigonométrica é muito útil ao avaliar essas integrais. Essa técnica usa substituição para reescrever essas integrais como integrais trigonométricas.

Integrais envolvendo\(\sqrt{a^2−x^2}\)

Antes de desenvolver uma estratégia geral para integrais contendo\(\sqrt{a^2−x^2}\), considere a integral.\(\displaystyle ∫\textstyle\sqrt{9−x^2}dx.\) Essa integral não pode ser avaliada usando nenhuma das técnicas que discutimos até agora. No entanto, se fizermos a substituição\(x=3\sin θ\), temos\(dx=3\cos θ \, dθ.\) Depois de substituir na integral, temos

\[ ∫\sqrt{9−x^2}\,dx=∫\textstyle\sqrt{ 9−(3\sin θ)^2}\cdot 3\cos θ \,dθ. \nonumber \]

Depois de simplificar, temos

\[ ∫\sqrt{ 9−x^2}\,dx=∫ 9\textstyle\sqrt{1−\sin^2θ}\cdot\cos θ \, dθ. \nonumber \]

Deixando\(1−\sin^2θ=\cos^2θ,\) que agora tenhamos

\[ ∫\sqrt{ 9−x^2}\,dx=∫ 9\textstyle\sqrt{\cos^2θ}\cos θ \, dθ. \nonumber \]

Supondo que\(\cos θ≥0\), temos

\[ ∫\textstyle\sqrt{ 9−x^2}\,dx=∫ 9\cos^2θ \, dθ. \nonumber \]

Neste ponto, podemos avaliar a integral usando as técnicas desenvolvidas para integrar potências e produtos de funções trigonométricas. Antes de concluir este exemplo, vamos dar uma olhada na teoria geral por trás dessa ideia.

Para avaliar integrais envolvendo\(\sqrt{a^2−x^2}\), fazemos a substituição\(x=a\sin θ\)\(dx=a\cos θ\) e. Para ver se isso realmente faz sentido, considere o seguinte argumento: O domínio do\(\sqrt{a^2−x^2}\) é\([−a,a]\). Assim,

\[−a≤x≤a. \nonumber \]

Consequentemente,

\[−1≤\dfrac{x}{a}≤1. \nonumber \]

Como o alcance de\(\sin x\) mais\([−(π/2),π/2]\) é\([−1,1]\), há um ângulo único que\(θ\) satisfaz\(−(π/2)≤θ≤π/2\) isso\(\sin θ=x/a\), ou equivalentemente, para que\(x=a\sin θ\). Se substituirmos\(x=a\sin θ\) em\(\sqrt{a^2−x^2}\), obtemos

\ [\ begin {align*}\ sqrt {a^2−x^2} &=\ sqrt {a^2− (a\ sin θ) ^2} & &\ text {Let} x=a\ sin θ\ text {onde} −\ dfrac {π} {2} ≤θ≤\ dfrac {π} {2}.\\ [4pt]
& & &\ text {Simplifique.}\\ [4pt]
&=\ sqrt {a^2−a^2\ sin^2θ} & &\ text {Fator out} a^2.\\ [4pt]
&=\ sqrt {a^2 (1−\ sin^2θ)} & &\ text {Substitute} 1−\ sin^2x=\ cos^2x.\\ [4pt]
&=\ sqrt {a^2\ cos^2θ} & &\ text {Pegue a raiz quadrada.}\\ [4pt]
&=|a\ cos θ|\\ [4pt]
&=a\ cos θ\ end {align*}\]

Desde então\(\cos x≥0\),\(a>0, |a\cos θ|=a\cos θ.\) podemos ver, a partir desta discussão, que ao fazer a substituição\(x=a\sin θ\), somos capazes de converter uma integral envolvendo um radical em uma integral envolvendo funções trigonométricas.\(−\dfrac{π}{2}≤θ≤\dfrac{π}{2}\) Depois de avaliarmos a integral, podemos converter a solução novamente em uma expressão envolvendo\(x\). Para ver como fazer isso, vamos começar assumindo que\(0<x<a\). Nesse caso,\(0<θ<\dfrac{π}{2}\). Uma vez que\(\sin θ=\dfrac{x}{a}\), podemos desenhar o triângulo de referência na Figura\(\PageIndex{1}\) para ajudar a expressar os valores\(\cos θ, \, \tan θ,\) e as funções trigonométricas restantes em termos de x. Pode-se mostrar que esse triângulo realmente produz os valores corretos das funções trigonométricas avaliadas em\(θ\) para todos os\(θ\) satisfatórios\(−\dfrac{π}{2}≤θ≤\dfrac{π}{2}\). É útil observar que a expressão\(\sqrt{a^2−x^2}\) realmente aparece como o comprimento de um lado do triângulo. Por último, deve\(θ\) aparecer por si só, usamos\(θ=\sin^{−1}\left(\dfrac{x}{a}\right).\)

Figura\(\PageIndex{1}\): Um triângulo de referência pode ajudar a expressar as funções trigonométricas avaliadas\(θ\) em termos de\(x\).

A parte essencial dessa discussão está resumida na seguinte estratégia de resolução de problemas.

Estratégia de resolução de problemas: integração de expressões envolvendo\(\sqrt{a^2−x^2}\)

1. É uma boa ideia garantir que a integral não possa ser avaliada facilmente de outra forma. Por exemplo, embora esse método possa ser aplicado a integrais do formulário\(\displaystyle ∫\dfrac{1}{\sqrt{a^2−x^2}}dx\),\(\displaystyle ∫\dfrac{x}{\sqrt{a^2−x^2}}dx,\) cada um\(\displaystyle ∫x\sqrt{a^2−x^2}\,dx,\) deles possa ser integrado diretamente por fórmula ou por uma simples\(u\) substituição.
2. Faça a substituição\(x=a \sin θ\) e\(dx=a\cos θ \,dθ.\) Nota: Esta substituição produz\(\sqrt{a^2−x^2}=a\cos θ.\)
3. Simplifique a expressão.
4. Avalie a integral usando técnicas da seção sobre integrais trigonométricas.
5. Use o triângulo de referência da Figura 1 para reescrever o resultado em termos de\(x\). Você também pode precisar usar algumas identidades trigonométricas e a relação\(θ=\sin^{−1}\left(\dfrac{x}{a}\right).\)

O exemplo a seguir demonstra a aplicação dessa estratégia de solução de problemas.

Exemplo\(\PageIndex{1}\): Integrating an Expression Involving \(\sqrt{a^2−x^2}\)

Avalie

\[ ∫\sqrt{ 9−x^2}dx. \nonumber \]

Solução

Comece fazendo as substituições\(x=3\sin θ\) e\(\sin θ=\dfrac{x}{3}\),\(dx=3\cos θ \, dθ.\) desde então, podemos construir o triângulo de referência mostrado na Figura 2.

Figura\(\PageIndex{2}\): Um triângulo de referência pode ser construído por exemplo\(\PageIndex{1}\).

Assim,

\[ ∫\sqrt{9−x^2}\,dx=∫\sqrt{ 9−(3\sin θ)^2}3\cos θ\,dθ \nonumber \]

\(x=3\sin θ\)Substitua\(dx=3\cos θ \,dθ\) e.

\(=∫\sqrt{ 9(1−\sin^2θ)}\cdot 3\cos θ \, dθ\)Simplifique.

\(=∫\sqrt{ 9\cos^2θ}\cdot 3\cos θ \, dθ\)Substituto\(\cos^2θ=1−\sin^2θ\).

\(=∫ 3|\cos θ|3\cos θ \, dθ\)Pegue a raiz quadrada.

\(=∫ 9\cos^2θ \, dθ\)Simplifique. Desde\(−\dfrac{π}{2}≤θ≤\dfrac{π}{2},\cos θ≥0\) e\(|\cos θ|=\cos θ.\)

\(=∫ 9\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\cos(2θ)\right)\,dθ\)Use a estratégia para integrar um poder uniforme do\(\cos θ\).

\(=\dfrac{9}{2}θ+\dfrac{9}{4}\sin(2θ)+C\)Avalie a integral.

\(=\dfrac{9}{2}θ+\dfrac{9}{4}(2\sin θ\cos θ)+C\)

Substituto\(\sin(2θ)=2\sin θ\cos θ\).

\(=\dfrac{9}{2}\sin^{−1}\left(\dfrac{x}{3}\right)+\dfrac{9}{2}⋅\dfrac{x}{3}⋅\dfrac{\sqrt{9−x^2}}{3}+C\)\(\sin^{−1}\left(\dfrac{x}{3}\right)=θ\)Substitua\(\sin θ=\frac{x}{3}\) e. Use o triângulo de referência para ver isso\(\cos θ=\dfrac{\sqrt{9−x^2}}{3} \) e fazer essa substituição. Simplifique.

\(=\dfrac{9}{2}\sin^{−1}\left(\dfrac{x}{3}\right)+\dfrac{x\sqrt{9−x^2}}{2}+C.\)Simplifique.

Exemplo\(\PageIndex{2}\): Integrating an Expression Involving \(\sqrt{a^2−x^2}\)

Avalie

\[ ∫\dfrac{\sqrt{4−x^2}}{x}dx. \nonumber \]

Solução

Primeiro faça as substituições\(x=2\sin θ\)\(dx=2\cos θ\,dθ\) e. Desde então\(\sin θ=\dfrac{x}{2}\), podemos construir o triângulo de referência mostrado na Figura\(\PageIndex{3}\).

Figura\(\PageIndex{3}\): Um triângulo de referência pode ser construído por exemplo\(\PageIndex{2}\).

Assim,

\(∫\dfrac{\sqrt{4−x^2}}{x}dx=∫\dfrac{\sqrt{4−(2\sin θ)^2}}{2\sin θ}2\cos θ \, dθ\)Substituir\(x=2\sin θ\) e\(dx=2\cos θ\,dθ.\)

\(=∫\dfrac{2\cos^2θ}{\sin θ}\,dθ\)Substitua\(\cos^2θ=1−\sin^2θ\) e simplifique.

\(=∫\dfrac{2(1−\sin^2θ)}{\sin θ}\,dθ\)Substituto\(\cos^2θ=1−\sin^2θ\).

\(=∫ (2\csc θ−2\sin θ)\,dθ\)Separe o numerador, simplifique e use\(\csc θ=\dfrac{1}{\sin θ}\).

\(=2 \ln |\csc θ−\cot θ|+2\cos θ+C\)Avalie a integral.

\(=2 \ln \left|\dfrac{2}{x}−\dfrac{\sqrt{4−x^2}}{x}\right|+\sqrt{4−x^2}+C.\)Use o triângulo de referência para reescrever a expressão em termos de\(x\) e simplificar.

No exemplo a seguir, vemos que às vezes temos uma escolha de métodos.

Exemplo\(\PageIndex{3}\): Integrating an Expression Involving \(\sqrt{a^2−x^2}\) Two Ways

Avalie\(∫ x^3\sqrt{1−x^2}dx\) duas maneiras: primeiro usando a substituição\(u=1−x^2\) e depois usando uma substituição trigonométrica.

Método 1

Deixe\(u=1−x^2\) e daí\(x^2=1−u\). Assim,\(du=−2x\,dx.\) neste caso, a integral se torna

\(∫ x^3\sqrt{1−x^2}\,dx=−\dfrac{1}{2}∫ x^2\sqrt{1−x^2}(−2x\,dx)\)Faça a substituição.

\(=−\dfrac{1}{2}∫ (1−u)\sqrt{u}\,du\)Expanda a expressão.

\(=−\dfrac{1}{2}∫(u^{1/2}−u^{3/2})\,du\)Avalie a integral.

\(=−\dfrac{1}{2}(\dfrac{2}{3}u^{3/2}−\dfrac{2}{5}u^{5/2})+C\)Reescreva em termos de x.

\(=−\dfrac{1}{3}(1−x^2)^{3/2}+\dfrac{1}{5}(1−x^2)^{5/2}+C.\)

Método 2

Deixe\(x=\sin θ\). Nesse caso,\(dx=\cos θ \, dθ.\) usando essa substituição, temos

\(∫ x^3\sqrt{1−x^2}dx=∫ \sin^3θ\cos^2θ \, dθ\)

\(=∫ (1−\cos^2θ)\cos^2θ\sin θ \, dθ\)Deixe\(u=\cos θ\). Assim,\(du=−\sin θ \, dθ.\)

\(=∫ (u^4−u^2)\,du\)

\(=\dfrac{1}{5}u^5−\dfrac{1}{3}u^3+C\)Substituto\(\cos θ=u.\)

\(=\dfrac{1}{5}\cos^5θ−\dfrac{1}{3}\cos^3θ+C\)Use um triângulo de referência para ver isso\(\cos θ=\sqrt{1−x^2}.\)

\(=\dfrac{1}{5}(1−x^2)^{5/2}−\dfrac{1}{3}(1−x^2)^{3/2}+C.\)

Exercício\(\PageIndex{1}\)

Reescreva a integral\(\displaystyle ∫\dfrac{x^3}{\sqrt{25−x^2}}\,dx\) usando a substituição trigonométrica apropriada (não avalie a integral).

Dica

Substituir\(x=5\sin θ\) e\(dx=5\cos θ \, dθ.\)

Responda

\(\displaystyle ∫ 125\sin^3θ \, dθ\)

Integrando expressões envolvendo\(\sqrt{a^2+x^2}\)

Para integrais contendo\(\sqrt{a^2+x^2}\), vamos primeiro considerar o domínio dessa expressão. Como\(\sqrt{a^2+x^2}\) é definido para todos os valores reais de\(x\), restringimos nossa escolha às funções trigonométricas que têm um intervalo de todos os números reais. Portanto, nossa escolha se restringe à seleção de um\(x=a\tan θ\) ou\(x=a\cot θ\). Qualquer uma dessas substituições realmente funcionaria, mas a substituição padrão é\(x=a\tan θ\) ou, equivalentemente,\(\tan θ=x/a\). Com essa substituição, assumimos que\(−(π/2)<θ<π/2\), para que também tenhamos.\(θ=\tan^{−1}(x/a).\) O procedimento para usar essa substituição está descrito na seguinte estratégia de resolução de problemas.

Estratégia de resolução de problemas: integração de expressões envolvendo\(\sqrt{a^2+x^2}\)

1. Verifique se a integral pode ser avaliada facilmente usando outro método. Em alguns casos, é mais conveniente usar um método alternativo.
2. Substituir\(x=a\tan θ\) e\(dx=a\sec^2θ \, dθ.\) Esta substituição produz\(\sqrt{a^2+x^2}=\sqrt{a^2+(a\tan θ)^2}=\sqrt{a^2(1+\tan^2θ)}=\sqrt{a^2sec^2θ}=|a\sec θ|=a\sec θ.\) (Desde\(−\dfrac{π}{2}<θ<\dfrac{π}{2}\) e\(\sec θ>0\) ao longo desse intervalo,\(|a\sec θ|=a\sec θ\).)
3. Simplifique a expressão.
4. Avalie a integral usando técnicas da seção sobre integrais trigonométricas.
5. Use o triângulo de referência da Figura\(\PageIndex{4}\) para reescrever o resultado em termos de\(x\). Você também pode precisar usar algumas identidades trigonométricas e o relacionamento\(θ=\tan^{−1}\left(\dfrac{x}{a}\right)\). (Nota: O triângulo de referência é baseado na suposição de que\(x>0\); no entanto, as razões trigonométricas produzidas a partir do triângulo de referência são as mesmas das quais\(x≤0\).)

Figura\(\PageIndex{4}\): Um triângulo de referência pode ser construído para expressar as funções trigonométricas avaliadas\(θ\) em termos de\(x\).

Exemplo\(\PageIndex{4}\): Integrating an Expression Involving \(\sqrt{a^2+x^2}\)

Avalie\(\displaystyle ∫\dfrac{dx}{\sqrt{1+x^2}}\) e verifique a solução por meio da diferenciação.

Solução

Comece com a substituição\(x=\tan θ\)\(dx=sec^2θ\,dθ\) e. Desde então\(\tan θ=x\), desenhe o triângulo de referência na Figura\(\PageIndex{5}\).

Figura\(\PageIndex{5}\): O triângulo de referência, por exemplo\(\PageIndex{4}\).

Assim,

\ (\ displaystyle\ begin {align*} ∫\ dfrac {dx} {\ sqrt {1+x^2}} &=∫\ dfrac {\ sec^2θ} {\ sec θ} dθ & &\ text {Substitute} x=\ tan θ\ text {e} dx=\ sec^2θ\, dθ.\\ [4pt]
& &\ texto {Esta substituição faz com que}\ sqrt {1+x^2} =\ sec θ. \ text {Simplifique.}\\ [4pt]
&=∫\ sec θ\, dθ & &\ text {Avalie a integral.}\\ [4pt]
&=\ ln |\ sec θ+\ tan θ|+C & &\ text {Use o triângulo de referência para expressar o resultado em termos de} x.\\ [4pt]
&=\ ln |\ sqrt {1+x^2} +x|+c\ end {align*}\)

Para verificar a solução, diferencie:

\(\dfrac{d}{dx}\Big( \ln |\sqrt{1+x^2}+x|\Big)=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}+x}⋅\left(\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}+1\right) =\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}+x}⋅\dfrac{x+\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+x^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}.\)

Já que\(\sqrt{1+x^2}+x>0\) para todos os valores de\(x\), poderíamos reescrever\( \ln |\sqrt{1+x^2}+x|+C= \ln (\sqrt{1+x^2}+x)+C\), se quiséssemos.

Exemplo\(\PageIndex{5}\): Evaluating \(∫\dfrac{dx}{\sqrt{1+x^2}}\) Using a Different Substitution

Use a substituição\(x=\sinh θ\) para avaliar\(\displaystyle ∫\dfrac{dx}{\sqrt{1+x^2}}.\)

Solução

Porque\(\sinh θ\) tem um intervalo de todos os números reais\(1+\sinh^2θ=\cosh^2θ\), e também podemos usar a substituição\(x=\sinh θ\) para calcular essa integral. Nesse caso,\(dx=\cosh θ \,dθ.\) Consequentemente,

\ (\ displaystyle\ begin {align*} ∫\ dfrac {dx} {\ sqrt {1+x^2}} &=∫\ dfrac {\ cosh θ} {\ sqrt {1+\ sinh^2θ}} dθ & &\ text {Substitute} x=\ sinh θ\ text {e} dx=\ cosh θ\, dθ\.\ [4pt]
& & &\ texto {Substituto} 1+\ sinh^2θ=\ cosh^2θ.\\ [4pt]
&=∫\ dfrac {\ cosh θ} {\ sqrt {\ cosh^2θ}} dθ & amp; &\ text {Desde}\ sqrt {\ cosh^2θ} =|\ cosh θ|\\ [4pt]
&=∫\ dfrac {\ cosh θ} {|\ cosh θ|} dθ & & |\ cosh θ|=\ cosh θ\ text {since}\ cosh θ>0\ texto {para todos} θ.\\ [4pt]
∫\ dfrac {\ cosh θ} {\ cosh θ} dθ & &\ text {Simplifique.}\\ [4pt]
&=∫ 1\, dθ & & \ text {Calcule a integral.}\\ [4pt]
&=θ+C & &\ text {Desde} x=\ sinh θ,\ text {nós sabemos} θ=\ sinh^ {−1} x.\ [4pt]
&=\ sinh^ {−1} x+C.\ end {align*}\)

Análise

Essa resposta parece bem diferente da resposta obtida usando a substituição.\(x=\tan θ.\) Para ver se as soluções são as mesmas, defina\(y=\sinh^{−1}x\). Assim,\(\sinh y=x.\) a partir dessa equação, obtemos:

\[\dfrac{e^y−e^{−y}}{2}=x. \nonumber \]

Depois de multiplicar os dois lados\(2e^y\) e reescrever, essa equação se torna:

\[e^{2y}−2xe^y−1=0. \nonumber \]

Use a equação quadrática para resolver\(e^y\):

\[e^y=\dfrac{2x±\sqrt{4x^2+4}}{2}. \nonumber \]

Simplificando, temos:

\[e^y=x±\sqrt{x^2+1}. \nonumber \]

Desde então\(x−\sqrt{x^2+1}<0\), deve ser o caso de\(e^y=x+\sqrt{x^2+1}\). Assim,

\[y= \ln (x+\sqrt{x^2+1}). \nonumber \]

Por último, obtemos

\[\sinh^{−1}x= \ln (x+\sqrt{x^2+1}). \nonumber \]

Depois de fazermos a observação final de que, desde\(x+\sqrt{x^2+1}>0,\)

\[ \ln (x+\sqrt{x^2+1})= \ln ∣\sqrt{1+x^2}+x∣, \nonumber \]

vemos que os dois métodos diferentes produziram soluções equivalentes.

Exemplo\(\PageIndex{6}\): Finding an Arc Length

Encontre o comprimento da curva\(y=x^2\) ao longo do intervalo\([0,\dfrac{1}{2}]\).

Solução

Porque\(\dfrac{dy}{dx}=2x\), o comprimento do arco é dado por

\[∫^{1/2}_0\sqrt{1+(2x)^2}dx=∫^{1/2}_0\sqrt{1+4x^2}dx. \nonumber \]

Para avaliar essa integral, use a substituição\(x=\dfrac{1}{2}\tan θ\)\(dx=\tfrac{1}{2}\sec^2θ \, dθ\) e. Também precisamos mudar os limites da integração. Se\(x=0\), então\(θ=0\) e se\(x=\dfrac{1}{2}\), então\(θ=\dfrac{π}{4}.\) Assim,

\(∫^{1/2}_0\sqrt{1+4x^2}dx=∫^{π/4}_0\sqrt{1+\tan^2θ}\cdot \tfrac{1}{2}\sec^2θ \, dθ\)Após a substituição,\(\sqrt{1+4x^2}=\sec θ\). (Substitua\(1+\tan^2θ=\sec^2θ\) e simplifique.)

\(=\tfrac{1}{2}∫^{π/4}_0\sec^3θ \, dθ\)Derivamos essa integral na seção anterior.

\(=\tfrac{1}{2}(\dfrac{1}{2}\sec θ\tan θ+ \dfrac{1}{2}\ln |\sec θ+\tan θ|)∣^{π/4}_0\)Avalie e simplifique.

\(=\tfrac{1}{4}(\sqrt{2}+ \ln (\sqrt{2}+1)).\)

Exercício\(\PageIndex{2}\)

Reescreva\(\displaystyle ∫ x^3\sqrt{x^2+4}dx\) usando uma substituição envolvendo\(\tan θ\).

Dica

Use\(x=2\tan θ\) e\(dx=2\sec^2θ \, dθ.\)

Responda

\[ ∫ 32\tan^3θ\sec^3θ \, dθ \nonumber \]

Integrando expressões envolvendo\(\sqrt{x^2−a^2}\)

O domínio da expressão\(\sqrt{x^2−a^2}\) é\((−∞,−a]∪[a,+∞)\). Assim,\(x\le −a\) ou\(x\ge a.\) portanto,\(\dfrac{x}{a}≤−1\) ou\(\dfrac{x}{a}≥1\). Como esses intervalos correspondem ao intervalo de\(\sec θ\) no conjunto\([0,\dfrac{π}{2})∪(\dfrac{π}{2},π]\), faz sentido usar a substituição\(\sec θ=\dfrac{x}{a}\) ou, equivalentemente\(x=a\sec θ\), onde\(0≤θ<\dfrac{π}{2}\) ou\(\dfrac{π}{2}<θ≤π\). A substituição correspondente para\(dx\) é\(dx=a\sec θ\tan θ \, dθ\). O procedimento para usar essa substituição é descrito na seguinte estratégia de resolução de problemas.

Estratégia de resolução de problemas: integrais envolvendo\(\sqrt{x^2−a^2}\)

1. Verifique se a integral não pode ser avaliada usando outro método. Nesse caso, podemos considerar a aplicação de uma técnica alternativa.
2. \(x=a\sec θ\)Substitua\(dx=a\sec θ\tan θ \, dθ\) e. Essa substituição gera\[ \sqrt{x^2−a^2}=\sqrt{(a\sec θ)^2−a^2}=\sqrt{a^2(\sec^2θ-1)}=\sqrt{a^2\tan^2θ}=|a\tan θ|. \nonumber \] Para\(x≥a, |a\tan θ|=a\tan θ\) e para\(x≤−a, |a\tan θ|=−a\tan θ.\)
3. Simplifique a expressão.
4. Avalie a integral usando técnicas da seção sobre integrais trigonométricas.
5. Use os triângulos de referência da Figura\(\PageIndex{6}\) para reescrever o resultado em termos de\(x\).
6. Você também pode precisar usar algumas identidades trigonométricas e o relacionamento\(θ=\sec^{−1}\left(\dfrac{x}{a}\right)\). (Nota: Precisamos dos dois triângulos de referência, pois os valores de algumas das razões trigonométricas são diferentes dependendo se\(x>a\) ou não\(x<−a\).)

a. Há também as equações sin (teta) = a raiz quadrada de (x^2-a^2) /x, cos (teta) = a/x e tan (teta) = a raiz quadrada de (x^2-a^2) /a. O segundo triângulo está no segundo quadrante, com a hipotenusa rotulada —x. A perna horizontal é rotulado como —a e está no eixo x negativo. A perna vertical é chamada de raiz quadrada de (x^2-a^2). À direita do triângulo está a equação sec (theta) = x/a, x<-a. Há também as equações sin (theta) = a raiz quadrada negativa de (x^2-a^2) /x, cos (theta) = a/x e tan (teta) = a raiz quadrada negativa de (x^2-a^2) /a." src="https://math.libretexts.org/@api/dek...2447/7.3.4.png">

Figura\(\PageIndex{6}\): Use o triângulo de referência apropriado para expressar as funções trigonométricas avaliadas\(θ\) em termos de\(x\).

Exemplo\(\PageIndex{7}\): Finding the Area of a Region

Encontre a área da região entre o gráfico de\(f(x)=\sqrt{x^2−9}\) e o eixo x ao longo do intervalo\([3,5].\)

Solução

Primeiro, esboce um gráfico aproximado da região descrita no problema, conforme mostrado na figura a seguir.

Figura\(\PageIndex{7}\): O cálculo da área da região sombreada requer a avaliação de uma integral com uma substituição trigonométrica.

Podemos ver que a área é\(A=∫^5_3\sqrt{x^2−9}dx\). Para avaliar essa integral definida, substitua\(x=3\sec θ\)\(dx=3\sec θ\tan θ \, dθ\) e. Devemos também mudar os limites da integração. Se\(x=3\), então\(3=3\sec θ\) e daí em diante\(θ=0\). Se\(x=5\), então\(θ=\sec^{−1}(\dfrac{5}{3})\). Depois de fazer essas substituições e simplificar, temos

Área\(=∫^5_3\sqrt{x^2−9}dx\)

\(=∫^{\sec^{−1}(5/3)}_09\tan^2θ\sec θ \, dθ\)Use\(\tan^2θ=\sec^2θ - 1.\)

\(=∫^{\sec^{−1}(5/3)}_09(\sec^2θ−1)\sec θ \, dθ\)Expandir.

\(=∫^{\sec^{−1}(5/3)}_09(\sec^3θ−\sec θ)\,dθ\)Avalie a integral.

\(=(\dfrac{9}{2} \ln |\sec θ+\tan θ|+\dfrac{9}{2}\sec θ\tan θ)−9 \ln |\sec θ+\tan θ|∣^{\sec^{−1}(5/3)}_0\)Simplifique.

\(=\dfrac{9}{2}\sec θ\tan θ−\dfrac{9}{2} \ln |\sec θ+\tan θ|∣^{\sec^{−1}(5/3)}_0\)Avalie. Use\(\sec(\sec^{−1}\dfrac{5}{3})=\dfrac{5}{3}\) e\(\tan(\sec^{−1}\dfrac{5}{3})=\dfrac{4}{3}.\)

\(=\dfrac{9}{2}⋅\dfrac{5}{3}⋅\dfrac{4}{3}−\dfrac{9}{2} \ln ∣\dfrac{5}{3}+\dfrac{4}{3}∣−(\dfrac{9}{2}⋅1⋅0−\dfrac{9}{2} \ln |1+0|)\)

\(=10−\dfrac{9}{2} \ln 3\)

Exercício\(\PageIndex{3}\)

Avaliar\[∫\dfrac{dx}{\sqrt{x^2−4}}. \nonumber \] Suponha que\(x>2.\)

Dica

Substituir\(x=2\sec θ\) e\(dx=2\sec θ\tan θ \, dθ.\)

Responda

\[ \ln |\dfrac{x}{2}+\dfrac{\sqrt{x^2−4}}{2}|+C \nonumber \]

Conceitos-chave

• Para integrais envolvendo\(\sqrt{a^2−x^2}\), use a substituição\(x=a\sin θ\) e\(dx=a\cos θ \, dθ.\)
• Para integrais envolvendo\(\sqrt{a^2+x^2}\), use a substituição\(x=a\tan θ\)\(dx=a\sec^2θ \, dθ\) e.
• Para integrais envolvendo\(\sqrt{x^2−a^2}\), substitua\(x=a\sec θ\)\(dx=a\sec θ\tan θ \,dθ\) e.

Glossário

substituição trigonométrica

uma técnica de integração que converte uma integral algébrica contendo expressões da forma\(\sqrt{a^2−x^2}\)\(\sqrt{a^2+x^2}\), ou\(\sqrt{x^2−a^2}\) em uma integral trigonométrica