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7.2E: Exercícios para a Seção 7.2

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    • Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
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    Preencha o espaço em branco para fazer uma afirmação verdadeira.

    1)\(\sin^2x+\) _______\( =1\)

    Responda
    \(\cos^2x\)

    2)\(\sec^2x−1=\) _______

    Responda
    \(\tan^2x\)

    Use uma identidade para reduzir a potência da função trigonométrica a uma função trigonométrica elevada à primeira potência.

    3)\(\sin^2x=\) _______

    Responda
    \(\dfrac{1−\cos(2x)}{2}\)

    4)\(\cos^2x=\) _______

    Responda
    \(\dfrac{1+\cos(2x)}{2}\)

    Avalie cada uma das seguintes integrais por\(u\) -substituição.

    5)\(\displaystyle ∫\sin^3x\cos x\,dx\)

    Responda
    \(\displaystyle ∫\sin^3x\cos x\,dx \quad = \quad \frac{\sin^4x}{4}+C\)

    6)\(\displaystyle ∫\sqrt{\cos x}\sin x\,dx\)

    7)\(\displaystyle ∫\tan^5(2x)\sec^2(2x)\,dx\)

    Responda
    \(\displaystyle ∫\tan^5(2x)\sec^2(2x)\,dx \quad = \quad \tfrac{1}{12}\tan^6(2x)+C\)

    8)\(\displaystyle ∫\sin^7(2x)\cos(2x)\,dx\)

    9)\(\displaystyle ∫\tan(\frac{x}{2})\sec^2(\frac{x}{2})\,dx\)

    Responda
    \(\displaystyle ∫\tan(\frac{x}{2})\sec^2(\frac{x}{2})\,dx \quad = \quad \tan^2(\frac{x}{2})+C\)

    10)\(\displaystyle ∫\tan^2x\sec^2x\,dx\)

    Calcule as seguintes integrais usando as diretrizes para integrar poderes de funções trigonométricas. Use um CAS para verificar as soluções. (Nota: Alguns dos problemas podem ser resolvidos usando técnicas de integração aprendidas anteriormente.)

    11)\(\displaystyle ∫\sin^3x\,dx\)

    Responda
    \(\displaystyle ∫\sin^3x\,dx \quad = \quad −\frac{3\cos x}{4}+\tfrac{1}{12}\cos(3x)+C=−\cos x+\frac{\cos^3x}{3}+C\)

    12)\(\displaystyle ∫\cos^3x\,dx\)

    13)\(\displaystyle ∫\sin x\cos x\,dx\)

    Responda
    \(\displaystyle ∫\sin x\cos x\,dx \quad = \quad −\tfrac{1}{2}\cos^2x+C\)

    14)\(\displaystyle ∫\cos^5x\,dx\)

    15)\(\displaystyle ∫\sin^5x\cos^2x\,dx\)

    Responda
    \(\displaystyle ∫\sin^5x\cos^2x\,dx \quad = \quad −\frac{5\cos x}{64}−\tfrac{1}{192}\cos(3x)+\tfrac{3}{320}\cos(5x)−\tfrac{1}{448}\cos(7x)+C\)

    16)\(\displaystyle ∫\sin^3x\cos^3x\,dx\)

    17)\(\displaystyle ∫\sqrt{\sin x}\cos x\,dx\)

    Responda
    \(\displaystyle ∫\sqrt{\sin x}\cos x\,dx \quad = \quad \tfrac{2}{3}(\sin x)^{3/2}+C\)

    18)\(\displaystyle ∫\sqrt{\sin x}\cos^3x\,dx\)

    19)\(\displaystyle ∫\sec x\tan x\,dx\)

    Responda
    \(\displaystyle ∫\sec x\tan x\,dx \quad = \quad \sec x+C\)

    20)\(\displaystyle ∫\tan(5x)\,dx\)

    21)\(\displaystyle ∫\tan^2x\sec x\,dx\)

    Responda
    \(\displaystyle ∫\tan^2x\sec x\,dx \quad = \quad \tfrac{1}{2}\sec x\tan x−\tfrac{1}{2}\ln(\sec x+\tan x)+C\)

    22)\(\displaystyle ∫\tan x\sec^3x\,dx\)

    23)\(\displaystyle ∫\sec^4x\,dx\)

    Responda
    \(\displaystyle ∫\sec^4x\,dx \quad = \quad \frac{2\tan x}{3}+\tfrac{1}{3}\sec^2 x\tan x=\tan x+\frac{\tan^3x}{3}+C\)

    24)\(\displaystyle ∫\cot x\,dx\)

    25)\(\displaystyle ∫\csc x\,dx\)

    Responda
    \(\displaystyle ∫\csc x\,dx \quad = \quad −\ln|\cot x+\csc x|+C\)

    26)\(\displaystyle ∫\frac{\tan^3x}{\sqrt{\sec x}}\,dx\)

    Para os exercícios 27 a 28, encontre uma fórmula geral para as integrais.

    27)\(\displaystyle ∫\sin^2ax\cos ax\,dx\)

    Responda
    \(\displaystyle ∫\sin^2ax\cos ax\,dx \quad = \quad \frac{\sin^3(ax)}{3a}+C\)

    28)\(\displaystyle ∫\sin ax\cos ax\,dx.\)

    Use as fórmulas de ângulo duplo para avaliar as integrais nos exercícios 29 - 34.

    29)\(\displaystyle ∫^π_0\sin^2x\,dx\)

    Responda
    \(\displaystyle ∫^π_0\sin^2x\,dx \quad = \quad \frac{π}{2}\)

    30)\(\displaystyle ∫^π_0\sin^4 x\,dx\)

    31)\(\displaystyle ∫\cos^2 3x\,dx\)

    Responda
    \(\displaystyle ∫\cos^2 3x\,dx \quad = \quad \frac{x}{2}+\tfrac{1}{12}\sin(6x)+C\)

    32)\(\displaystyle ∫\sin^2x\cos^2x\,dx\)

    33)\(\displaystyle ∫\sin^2x\,dx+∫\cos^2x\,dx\)

    Responda
    \(\displaystyle ∫\sin^2x\,dx+∫\cos^2x\,dx \quad = \quad x+C\)

    34)\(\displaystyle ∫\sin^2 x\cos^2(2x)\,dx\)

    Para os exercícios 35 a 43, avalie as integrais definidas. Expresse as respostas na forma exata sempre que possível.

    (35)\(\displaystyle ∫^{2π}_0\cos x\sin 2x\,dx\)

    Responda
    \(\displaystyle ∫^{2π}_0\cos x\sin 2x\,dx \quad = \quad 0\)

    36)\(\displaystyle ∫^π_0\sin 3x\sin 5x\,dx\)

    37)\(\displaystyle ∫^π_0\cos(99x)\sin(101x)\,dx\)

    Responda
    \(\displaystyle ∫^π_0\cos(99x)\sin(101x)\,dx \quad = \quad 0\)

    38)\(\displaystyle ∫^π_{−π}\cos^2(3x)\,dx\)

    39)\(\displaystyle ∫^{2π}_0\sin x\sin(2x)\sin(3x)\,dx\)

    Responda
    \(\displaystyle ∫^{2π}_0\sin x\sin(2x)\sin(3x)\,dx \quad = \quad 0\)

    40)\(\displaystyle ∫^{4π}_0\cos(x/2)\sin(x/2)\,dx\)

    41)\(\displaystyle ∫^{π/3}_{π/6}\frac{\cos^3x}{\sqrt{\sin x}}\,dx\) (Arredonde essa resposta para três casas decimais.)

    Responda
    \(\displaystyle ∫^{π/3}_{π/6}\frac{\cos^3x}{\sqrt{\sin x}}\,dx \quad \approx \quad 0.239\)

    (42)\(\displaystyle ∫^{π/3}_{−π/3}\sqrt{\sec^2x−1}\,dx\)

    43)\(\displaystyle ∫^{π/2}_0\sqrt{1−\cos(2x)}\,dx\)

    Responda
    \(\displaystyle ∫^{π/2}_0\sqrt{1−\cos(2x)}\,dx \quad = \quad \sqrt{2}\)

    44) Encontre a área da região delimitada pelos gráficos das equações\(y=\sin x,\, y=\sin^3x,\, x=0,\) e\(x=\frac{π}{2}.\)

    45) Encontre a área da região delimitada pelos gráficos das equações\(y=\cos^2x,\, y=\sin^2x,\, x=−\frac{π}{4},\) e\(x=\frac{π}{4}.\)

    Responda
    \(A = 1 \,\text{unit}^2\)

    46) Uma partícula se move em linha reta com a função de velocidade\(v(t)=\sin(ωt)\cos^2(ωt).\) Encontre sua função de posição\(x=f(t)\) se\( f(0)=0.\)

    47) Encontre o valor médio da função\(f(x)=\sin^2x\cos^3x\) ao longo do intervalo\([−π,π].\)

    Responda
    \(0\)

    Para os exercícios 48 a 49, resolva as equações diferenciais.

    48)\(\dfrac{dy}{\,dx}=\sin^2x.\) A curva passa pelo ponto\((0,0).\)

    49)\(\dfrac{dy}{dθ}=\sin^4(πθ)\)

    Responda
    \(f(x) = \dfrac{3θ}{8}−\tfrac{1}{4π}\sin(2πθ)+\tfrac{1}{32π}\sin(4πθ)+C\)

    50) Encontre o comprimento da curva\(y=\ln(\csc x),\, \text{for}\,\tfrac{π}{4}≤x≤\tfrac{π}{2}.\)

    51) Encontre o comprimento da curva\(y=\ln(\sin x),\, \text{for}\,\tfrac{π}{3}≤x≤\tfrac{π}{2}.\)

    Responda
    \(s = \ln(\sqrt{3})\)

    52) Encontre o volume gerado girando a curva em\(y=\cos(3x)\) torno do\(x\) eixo -, para\( 0≤x≤\tfrac{π}{36}.\)

    Para os exercícios 53 a 54, use estas informações: O produto interno de duas funções\(f\) e\(g\) mais\([a,b]\) é definido por\(\displaystyle f(x)⋅g(x)=⟨f,g⟩=∫^b_af⋅g\,dx.\) Duas funções distintas\(f\) e\(g\) é considerado ortogonal se\(⟨f,g⟩=0.\)

    53) Mostre que\({\sin(2x),\, \cos(3x)}\) são ortogonais ao longo do intervalo\([−π,\, π]\).

    Responda
    \(\displaystyle ∫^π_{−π}\sin(2x)\cos(3x)\,dx=0\)

    54) Avalie\(\displaystyle ∫^π_{−π}\sin(mx)\cos(nx)\,dx.\)

    55) Integrar\(y′=\sqrt{\tan x}\sec^4x.\)

    Responda
    \(\displaystyle y = \int \sqrt{\tan x}\sec^4x \, dx \quad = \quad \tfrac{2}{3}\left(\tan x\right)^{3/2} + \tfrac{2}{7}\left(\tan x\right)^{7/2}+C= \tfrac{2}{21}\left(\tan x\right)^{3/2}\left[ 7 + 3\tan^2 x \right]+C\)

    Para cada par de integrais nos exercícios 56 a 57, determine qual é mais difícil de avaliar. Explique seu raciocínio.

    56)\(\displaystyle ∫\sin^{456}x\cos x\,dx\) ou\(\displaystyle ∫\sin^2x\cos^2x\,dx\)

    57)\(\displaystyle ∫\tan^{350}x\sec^2x\,dx\) ou\(\displaystyle ∫\tan^{350}x\sec x\,dx\)

    Responda
    A segunda integral é mais difícil porque a primeira integral é simplesmente um tipo\(u\) de substituição.