7.2: Integrais trigonométricas
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- Resolva problemas de integração envolvendo produtos e poderes de\(\sin x\)\(\cos x\) e.
- Resolva problemas de integração envolvendo produtos e poderes de\(\tan x\)\(\sec x\) e.
- Use fórmulas de redução para resolver integrais trigonométricas.
Nesta seção, veremos como integrar uma variedade de produtos de funções trigonométricas. Essas integrais são chamadas de integrais trigonométricas. Eles são uma parte importante da técnica de integração chamada substituição trigonométrica, que é apresentada em Substituição trigonométrica. Essa técnica nos permite converter expressões algébricas que talvez não consigamos integrar em expressões envolvendo funções trigonométricas, que talvez possamos integrar usando as técnicas descritas nesta seção. Além disso, esses tipos de integrais aparecem com frequência quando estudamos sistemas de coordenadas polares, cilíndricas e esféricas posteriormente. Vamos começar nosso estudo com produtos de\(\sin x\) e\(\cos x.\)
Integrando produtos e poderes de sin x e cos x
Uma ideia-chave por trás da estratégia usada para integrar combinações de produtos\(\sin x\) e poderes de e\(\cos x\) envolve reescrever essas expressões como somas e diferenças de integrais da forma\(∫\sin^jx\cos x\,dx\) ou\(∫\cos^jx\sin x\,dx\). Depois de reescrever essas integrais, nós as avaliamos usando\(u\) -substitution. Antes de descrever o processo geral em detalhes, vamos dar uma olhada nos exemplos a seguir.
Avalie\(\displaystyle ∫\cos^3x\sin x\,dx.\)
Solução
Use\(u\) -substitution e deixe\(u=\cos x\). Nesse caso,\(du=−\sin x\,dx.\)
Assim,
\[∫\cos^3x\sin x\,dx=−∫u^3\,du=−\frac{1}{4}u^4+C=−\frac{1}{4}\cos^4x+C.\nonumber \]
Avalie\(\displaystyle ∫\sin^4x\cos x\,dx.\)
- Dica
-
Deixe\(u=\sin x.\)
- Responda
-
\(\displaystyle ∫\sin^4x\cos x\,dx = \frac{1}{5}\sin^5x+C\)
Avalie\(\displaystyle ∫\cos^2x\sin^3x\,dx.\)
Solução
Para converter essa integral em integrais da forma,\(\displaystyle ∫\cos^jx\sin x\,dx,\) reescreva\(\sin^3x=\sin^2x\sin x\) e faça a substituição\(\sin^2x=1−\cos^2x.\)
Assim,
\ (\ displaystyle\ begin {align*} ∫\ cos^2x\ sin^3x\, dx &=∫\ cos^2x (1−\ cos^2x)\ sin x\, dx & &\ text {Let} u=\ cos x;\ text {then} du=−\ sin x\, dx.\\ [4pt]
&=−uu^2 (1−u^2)\, du\\ [4pt]
&=∫ (u^4−u^2)\, du\\ [4pt]
&=\ frac {1} {5} u^5−\ frac {1} {3} U^3+c\\ [4pt]
&=\ frac {1} {5}\ cos^5x−\ frac {1} {3}\ cos^3x+C.\ end {align*}\)
Avalie\(\displaystyle ∫\cos^3x\sin^2x\,dx.\)
- Dica
-
Escreva\(\cos^3x=\cos^2x\cos x=(1−\sin^2x)\cos x\) e deixe\(u=\sin x\).
- Responda
-
\(\displaystyle ∫\cos^3x\sin^2x\,dx = \frac{1}{3}\sin^3x−\frac{1}{5}\sin^5x+C\)
No próximo exemplo, vemos a estratégia que deve ser aplicada quando há apenas poderes pares de\(\sin x\)\(\cos x\) e. Para integrais desse tipo, as identidades
\[\sin^2x=\frac{1}{2}−\frac{1}{2}\cos(2x)=\frac{1−\cos(2x)}{2} \nonumber \]
e
\[\cos^2x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos(2x)=\frac{1+\cos(2x)}{2} \nonumber \]
são inestimáveis. Essas identidades às vezes são conhecidas como identidades redutoras de poder e podem ser derivadas da identidade de ângulo duplo\(\cos(2x)=\cos^2x−\sin^2x\) e da identidade pitagórica.\(\cos^2x+\sin^2x=1.\)
Avalie\(\displaystyle ∫\sin^2x\,dx\).
Solução
Para avaliar essa integral, vamos usar a identidade trigonométrica.\(\sin^2x=\frac{1}{2}−\frac{1}{2}\cos(2x).\) Assim,
\(\displaystyle ∫\sin^2x\,dx=∫\left(\frac{1}{2}−\frac{1}{2}\cos(2x)\right)\,dx=\frac{1}{2}x−\frac{1}{4}\sin(2x)+C.\)
Avalie\(\displaystyle ∫\cos^2x\,dx.\)
- Dica
-
\(\cos^2x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos(2x)\)
- Responda
-
\(\displaystyle ∫\cos^2x\,dx = \frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\sin(2x)+C\)
O processo geral de integração de produtos de poderes de\(\sin x\) e\(\cos x\) está resumido no seguinte conjunto de diretrizes.
Para integrar,\(\displaystyle \int \cos^jx\sin^kx\,dx\) use as seguintes estratégias:
1. Se\(k\) for estranho, reescreva\(\sin^kx=\sin^{k−1}x\sin x\) e use a identidade\(\sin^2x=1−\cos^2x\) para reescrever\(\sin^{k−1}x\) em termos de\(\cos x\). Integre usando a substituição\(u=\cos x\). Essa substituição faz com que\(du=−\sin x\,dx.\)
2. Se\(j\) for estranho, reescreva\(\cos^jx=\cos^{j−1}x\cos x\) e use a identidade\(\cos^2x=1−\sin^2x\) para reescrever\(\cos^{j−1}x\) em termos de\(\sin x\). Integre usando a substituição\(u=\sin x\). Essa substituição faz\(du=\cos x\,dx.\) (Nota: Se ambos\(j\) e\(k\) forem ímpares, a estratégia 1 ou a estratégia 2 podem ser usadas.)
3. Se ambos\(j\)\(k\) estiverem empatados, use\(\sin^2x=\dfrac{1−\cos(2x)}{2}\)\(\cos^2x=\dfrac{1+\cos(2x)}{2}\) e. Depois de aplicar essas fórmulas, simplifique e reaplique as estratégias 1 a 3, conforme apropriado.
Avalie\(\displaystyle ∫\cos^8x\sin^5x\,dx.\)
Solução
Como a ativação\(\sin x\) é estranha, use a estratégia 1. Assim,
\ (\ displaystyle\ begin {align*} ∫\ cos^8x\ sin^5x\, dx &=∫\ cos^8x\ sin^4x\ sin x\, dx & &\ text {Break off}\ sin x.\\ [4pt]
&=∫\ cos^8x (\ sin^2x) ^2\ sin x\, dx & &\ text {Rex Escreva}\ sin^4x= (\ sin^2x) ^2.\\ [4pt]
&=∫\ cos^8x (1−\ cos^2x) ^2\ sin x\, dx & &\ text { Substitua}\ sin^2x=1−\ cos^2x.\\ [4pt]
&=u^8 (1−u^2) ^2 (−du) & &\ text {Let} u=\ cos x\ text {e} du=−\ sin x\, dx.\\ [4pt]
&=∫ (−u^8+2u^ {10} −u^ {10} −u^ {10} −u^ {12}) du & &\ text {Expandir.}\\ [4pt]
&=−\ frac {1} {9} u^9+\ frac {2} {11} u^ {11} −\ frac {1} {13} u^ {13} +C & & ;\ text {Calcule a integral.}\\ [4pt]
&=−\ frac {1} {9}\ cos^9x+\ frac {2} {11}\ cos^ {11} x−\ frac {1} {13}\ cos^ {13} x+C & &\ text {Substitute} u=\ cos x.\ end {align*}\)
Avalie\(\displaystyle ∫\sin^4x\,dx.\)
Solução: Como a ativação\(\sin x\) é uniforme\((k=4)\) e a ativação\(\cos x\) está equilibrada,\((j=0),\) devemos usar a estratégia 3. Assim,
\ (\ begin {align*}\ estilo de exibição ∫\ sin^4x\, dx &=∫\ left (\ sin^2x\ right) ^2\, dx & &\ text {Reescrever}\ sin^4x=\ left (\ sin^2x\ right) ^2.\\ [4pt]
&=∫\ left (\ frac {1} {2} −\ frac {1} {2}\ cos (2x)\ right) ^2\, dx & &\ text {Substituto}\ sin^2x=\ frac {1} {2} −\ frac {1} {2}\ cos (2x).\\ [4pt]
& =∫\ left (\ frac {1} {4} −\ frac {1} {2}\ cos (2x) +\ frac {1} {4}\ cos^2 (2x)\ direita)\, dx & &\ texto {Expandir}\ left (\ frac {1} {2} −\ frac {1} {2}\ cos (2x)\ direita) ^2.\\ [4pt]
&=∫\ left (\ frac {1} {4} −\ frac {1} {2}\ cos (2x) +\ frac {1} {4}\ left (\ frac {1} {2} +\ frac {1} {2}\ cos (4x)\ direita)\, dx & &\ text {Desde}\ cosmos ^2 (2) x )\ text {tem uma potência par, substitua}\ cos^2 (2x) =\ frac {1} {2} +\ frac {1} {2}\ cos (4x).\\ [4pt]
&=∫\ left (\ frac {3} {8} −\ frac {1} {2}\ cos (2x) +\ frac {1} {8} cos (4x)\ right)\, dx & &\ text {Simplifique.}\\ [4pt]
&=\ frac {3} {8} x−\ frac {1} {4}\ sin (2x) +\ frac {1} {32}\ sin (4x) +C & &\ text { Calcule a integral.}\\ [4pt]\ end {align*}\)
Avalie\(\displaystyle ∫\cos^3x\,dx.\)
- Dica
-
Use a estratégia 2. Escreva\(\cos^3x=\cos^2x\cos x\) e substitua\(\cos^2x=1−\sin^2x.\)
- Responda
-
\(\displaystyle ∫\cos^3x\,dx = \sin x−\frac{1}{3}\sin^3x+C\)
Avalie\(\displaystyle ∫\cos^2(3x)\,dx.\)
- Dica
-
Use a estratégia 3. Substituto\(\cos^2(3x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos(6x)\)
- Responda
-
\(\displaystyle ∫\cos^2(3x)\,dx = \frac{1}{2}x+\frac{1}{12}\sin(6x)+C\)
Em algumas áreas da física, como mecânica quântica, processamento de sinais e computação de séries de Fourier, muitas vezes é necessário integrar produtos que incluem\(sin(ax), sin(bx), cos(ax),\) e\(cos(bx).\) Essas integrais são avaliadas pela aplicação de identidades trigonométricas, conforme descrito na regra a seguir.
Integrar produtos envolvendo\(\sin(ax), \,\sin(bx), \,\cos(ax),\) e\(\cos(bx),\) usar as substituições
\[\sin(ax)\sin(bx)=\frac{1}{2}\cos((a−b)x)−\frac{1}{2}\cos((a+b)x) \nonumber \]
\[\sin(ax)\cos(bx)=\frac{1}{2}\sin((a−b)x)+\frac{1}{2}\sin((a+b)x) \nonumber \]
\[\cos(ax)\cos(bx)=\frac{1}{2}\cos((a−b)x)+\frac{1}{2}\cos((a+b)x) \nonumber \]
Essas fórmulas podem ser derivadas das fórmulas de soma dos ângulos para seno e cosseno.
Avalie\(\displaystyle ∫\sin(5x)\cos(3x)\,dx.\)
Solução: aplique a identidade\(\sin(5x)\cos(3x)=\frac{1}{2}\sin(2x)+\frac{1}{2}\sin(8x).\) Assim,
\(\displaystyle ∫\sin(5x)\cos(3x)\,dx=∫\frac{1}{2}\sin(2x)+\frac{1}{2}\sin(8x)\,dx=−\frac{1}{4}\cos(2x)−\frac{1}{16}\cos(8x)+C.\)
Avalie\(\displaystyle ∫\cos(6x)\cos(5x)\,dx.\)
- Dica
-
Substituto\(\cos(6x)\cos(5x)=\frac{1}{2}\cos x+\frac{1}{2}\cos(11x).\)
- Responda
-
\(\displaystyle ∫\cos(6x)\cos(5x)\,dx = \frac{1}{2}\sin x+\frac{1}{22}\sin(11x)+C\)
Integrando produtos e poderes de\(\tan x\) e\(\sec x\)
Antes de discutir a integração de produtos e poderes do\(\tan x\) e\(\sec x\), é útil relembrar as integrais que envolvem\(\tan x\) e\(\sec x\) já aprendemos:
1. \(\displaystyle ∫\sec^2x\,dx=\tan x+C\)
2. \(\displaystyle ∫\sec x\tan x\,dx=\sec x+C\)
3. \(\displaystyle ∫\tan x\,dx=\ln|\sec x|+C\)
4. \(\displaystyle ∫\sec x\,dx=\ln|\sec x+\tan x|+C.\)
Para a maioria das integrais de produtos\(\tan x\) e poderes de e\(\sec x\), reescrevemos a expressão que desejamos integrar como a soma ou diferença das integrais da forma\(\displaystyle ∫\tan^jx\sec^2x\,dx\) ou\(\displaystyle ∫\sec^jx\tan x\,dx\). Como vemos no exemplo a seguir, podemos avaliar essas novas integrais usando a substituição u.
Avalie\(\displaystyle ∫\sec^5 x\tan x\,dx.\)
Solução: comece reescrevendo\(\sec^5 x\tan x\) como\(\sec^4 x\sec x\tan x.\)
\ (\ displaystyle\ begin {align*} ∫\ sec^5x\ tan x\, dx &= ∫\ sec^4 x\ sec x\ tan x\, dx\\ [4pt]
&=u^4\, du & &\ text {Let} u=\ sec x;\,\ text {then},\, du=\ sec x\ tan x\, dx\.\ [4pt]
&=\ tfrac {1} {5} U^5+c & &\ text {Calcule a integral.}\\ [4pt]
&=\ tfrac {1} {5}\ sec^5 x+C & &\ text {Substituto}\ sec x=u.\ end {align*}\)
Você pode ler algumas informações interessantes neste site para aprender sobre uma integral comum envolvendo a secante.
Avalie\(\displaystyle ∫\tan^5x\sec^2x\,dx.\)
- Dica
-
Deixe\(u=\tan x\) e\(du=\sec^2 x.\)
- Responda
-
\(\displaystyle ∫\tan^5x\sec^2x\,dx = \tfrac{1}{6}\tan^6x+C\)
Agora, examinamos as várias estratégias para integrar produtos e poderes de\(\sec x\) e\(\tan x.\)
Para integrar,\(\displaystyle ∫\tan^kx\sec^jx\,dx,\) use as seguintes estratégias:
1. \(j\)É uniforme e\(j≥2,\) reescreva\(\sec^jx=\sec^{j−2}x\sec^2x\) e use\(\sec^2x=\tan^2x+1\) para reescrever\(\sec^{j−2}x\) em termos de\(\tan x\). Deixe\(u=\tan x\) e\(du=\sec^2x.\)
2. Se\(k\) for estranho e\(j≥1\), reescreva\(\tan^kx\sec^jx=\tan^{k−1}x\sec^{j−1}x\sec x\tan x\) e use\(\tan^2x=\sec^2x−1\) para reescrever\(\tan^{k−1}x\) em termos de\(\sec x\). Deixe\(u=\sec x\) e\(du=\sec x\tan x\,dx.\) (Nota: Se\(j\) for par e\(k\) for ímpar, então a estratégia 1 ou a estratégia 2 podem ser usadas.)
3. Se\(k\) é estranho onde\(k≥3\) e\(j=0\), reescreva\(\tan^kx=\tan^{k−2}x\tan^2x=\tan^{k−2}x(\sec^2x−1)=\tan^{k−2}x\sec^2x−\tan^{k−2}x.\) Pode ser necessário repetir esse processo no\(\tan^{k−2}x\) termo.
4. Se\(k\) for par e\(j\) for ímpar, use\(\tan^2x=\sec^2x−1\) para expressar\(\tan^kx\) em termos de\(\sec x\). Use a integração por partes para integrar poderes ímpares de\(\sec x.\)
Avalie\(\displaystyle ∫\tan^6x\sec^4x\,dx.\)
Solução
Como a ativação\(\sec x\) é uniforme, reescreva\(\sec^4x=\sec^2x\sec^2x\) e use\(\sec^2x=\tan^2x+1\) para reescrever a primeira\(\sec^2x\) em termos de\(\tan x.\) Assim,
\ (\ begin {align*}\ estilo de exibição ∫\ tan^6x\ sec^4x\, dx &=∫\ tan^6x (\ tan^2x+1)\ sec^2x\, dx\\ [4pt]
&=u^6 (u^2+1)\, du & &\ text {Let} u=\ tan x\ text {e} du=\ sec^^2x.\\ [4pt]
&=∫ (u^8+u^6)\, du & &\ text {Expandir.}\\ [4pt]
&=\ frac {1} {9} u^9+\ frac {1} {7} u^ 7+C & &\ text {Calcule a integral.}\\ [4pt]
&=\ frac {1} {9}\ tan^9x+\ frac {1} {7}\ Tan^7x+C. & &\ text {Substitute}\ tan x=u.\ end {align*}\)
Avalie\(\displaystyle ∫\tan^5x\sec^3x\,dx.\)
Solução
Como a ativação\(\tan x\) é estranha, comece reescrevendo\(\tan^5x\sec^3x=\tan^4x\sec^2x\sec x\tan x.\) Assim,
\ (\ begin {align*}\ estilo de exibição ∫\ tan^5x\ sec^3x\, dx&=\ tan^4x\ sec^2x\ sec x\ tan x.\\ [4pt]
&=∫ (\ tan^2x) ^2\ sec^2x\ sec x\ tan x\, dx & &\ texto {Escrever}\ tan^4x =(\ tan^4x) 2x) ^2.\\ [4pt]
&=∫ (\ sec^2x−1) ^2\ sec^2x\ sec x\ tan x\, dx & &\ text {Usar}\ tan^2x=\ sec^2x−1.\\ [4pt]
&=∫ (u^2−1) ^2u^2du & &\ text {Let} u=\ sec x\ text {e} du=\ sec x\ tan x\, dx\\ [4pt]
&=∫ (u^6−2u^4+u^2) du & &\ text {Expandir.}\\ [4pt]
&=\ frac {1} {7} u^2 ^7−\ frac {2} {5} u^5+\ frac {1} {3} U^3+c &\ text {Integrar.}\\ [4pt]
&=\ frac {1 } {7}\ sec^7x−\ frac {2} {5}\ sec^5x+\ frac {1} {3}\ sec^3x+C & &\ text {Substituto}\ sec x=u.\ end {align*}\)
Avalie\(\displaystyle ∫\tan^3x\,dx.\)
Solução
Comece reescrevendo\(\tan^3x=\tan x\tan^2x=\tan x(\sec^2x−1)=\tan x\sec^2x−\tan x.\) Assim,
\ (\ begin {align*}\ estilo de exibição ∫\ tan^3x\, dx &= ∫ (\ tan x\ sec^2x−\ tan x)\, dx\\ [4pt]
&=∫\ tan x\ sec^2x\, dx−∫\ tan x\, dx\\ [4pt]
&=\ frac {1} {2}\ tan^2x−\ ln |\ sec x|+c.\ end {align*}\)
Para a primeira integral, use a substituição\(u=\tan x.\) Para a segunda integral, use a fórmula.
Integrar\(\displaystyle ∫\sec^3x\,dx.\)
Solução
Essa integral requer integração por partes. Para começar, deixe\(u=\sec x\)\(dv=\sec^2x\) e. Essas escolhas fazem\(du=\sec x\tan x\)\(v=\tan x\) e. Assim,
\ (\ begin {align*}\ estilo de exibição ∫\ sec^3x\, dx &=\ sec x\ tan x−∫\ tan x\ sec x\ tan x\, dx\\ [4pt]
&=\ sec x\ tan x−∫\ tan^2x\ sec x\, dx & &\ text {Simplifique.}\\ [4pt]
&=\ sec x\ tan xn −∫ (\ sec^2x−1)\ sec x\, dx & &\ text {Substituto}\ tan^2x=\ sec^2x−1.\\ [4pt]
& amp; =\ sec x\ tan x+∫\ sec x\, dx−∫\ sec^3x\, dx & &\ text {Reescrever.}\\ [4pt]
&=\ sec x\ tan x+\ ln|\ sec x+\ tan x|−∫\ sec^3x\, dx. & &\ text {Avaliar} ∫\ sec x\, dx. \ end {align*}\)
Agora temos
\[∫\sec^3x\,dx=\sec x\tan x+\ln|\sec x+\tan x|−∫\sec^3x\,dx.\nonumber \]
Como a integral\(\displaystyle ∫\sec^3x\,dx\) reapareceu no lado direito, podemos resolvê-la\(\displaystyle ∫\sec^3x\,dx\) adicionando-a aos dois lados. Ao fazer isso, obtemos
\[2∫\sec^3x\,dx=\sec x\tan x+\ln|\sec x+\tan x|.\nonumber \]
Dividindo por 2, chegamos a
\[∫\sec^3x\,dx=\frac{1}{2}\sec x\tan x+\frac{1}{2}\ln|\sec x+\tan x|+C\nonumber \]
Avalie\(\displaystyle ∫\tan^3x\sec^7x\,dx.\)
- Dica
-
Use o exemplo\(\PageIndex{9}\) como guia.
- Responda
-
\(\displaystyle ∫\tan^3x\sec^7x\,dx = \frac{1}{9}\sec^9x−\frac{1}{7}\sec^7x+C\)
Fórmulas de redução
A avaliação\(\displaystyle ∫\sec^nx\,dx\) de valores de\(n\) onde\(n\) é ímpar requer integração por partes. Além disso, também devemos saber o valor de\(\displaystyle ∫\sec^{n−2}x\,dx\) avaliar\(\displaystyle ∫\sec^nx\,dx\). A avaliação de\(\displaystyle ∫\tan^nx\,dx\) também requer a capacidade de integração\(\displaystyle ∫\tan^{n−2}x\,dx\). Para facilitar o processo, podemos derivar e aplicar as seguintes fórmulas de redução de potência. Essas regras nos permitem substituir a integral de uma potência de\(\sec x\) ou\(\tan x\) pela integral de uma potência inferior de\(\sec x\) ou\(\tan x.\)
\[∫\sec^n x\,dx=\frac{1}{n−1}\sec^{n−2}x\tan x+\frac{n−2}{n−1}∫\sec^{n−2}x\,dx \nonumber \]
\[∫\tan^n x\,dx=\frac{1}{n−1}\tan^{n−1}x−∫\tan^{n−2}x\,dx \nonumber \]
A primeira regra de redução de energia pode ser verificada aplicando a integração por peças. O segundo pode ser verificado seguindo a estratégia delineada para integrar poderes ímpares de\(\tan x.\)
Aplique uma fórmula de redução para avaliar\(\displaystyle ∫\sec^3x\,dx.\)
Solução: Ao aplicar a primeira fórmula de redução, obtemos
\ (\ begin {align*}\ estilo de exibição ∫\ sec^3x\, dx &=\ frac {1} {2}\ sec x\ tan x+\ frac {1} {2} ∫\ sec x\, dx\\ [4pt]
&=\ frac {1} {2}\ sec x\ tan x+\ frac {1} {2}\ ln| sec x+\ tan x|+c.\ end {align*}\)
Avalie\(\displaystyle ∫\tan^4x\,dx.\)
Solução: Aplicando a fórmula de redução,\(∫\tan^4x\,dx\) pois temos
\ (\ begin {align*}\ displaystyle ∫\ tan^4x\, dx &=\ frac {1} {3}\ tan^3x−∫\ tan^2x\, dx\\ [4pt]
&=\ frac {1} {3}\ tan^3x− (\ tan x−∫\ tan^0x\, dx) & &\ text {Aplicar o fórmula de redução para} ∫\ tan^2x\, dx.\\ [4pt]
&=\ frac {1} {3}\ tan^3x−\ tan x+1\, dx & &\ text {Simplifique.}\\ [4pt]
&=\ frac {1} {3}\ tan^3x−\ tan x+x+C & &\ text {Avaliar} 1\, dx\ end {align*}\)
Aplique a fórmula de redução em\(\displaystyle ∫\sec^5x\,dx.\)
- Dica
-
Use a fórmula de redução 1 e deixe\(n=5.\)
- Responda
-
\(\displaystyle ∫\sec^5x\,dx=\frac{1}{4}\sec^3x\tan x+\frac{3}{4}∫\sec^3x\)
Conceitos-chave
Integrais de funções trigonométricas podem ser avaliadas pelo uso de várias estratégias. Essas estratégias incluem
- Aplicação de identidades trigonométricas para reescrever a integral para que ela possa ser\(u\) avaliada por substituição
- Usando a integração por peças
- Aplicação de identidades trigonométricas para reescrever produtos de senos e cossenos com argumentos diferentes como a soma de funções individuais de seno e cosseno
- Aplicação de fórmulas de redução
Equações-chave
Integrar produtos envolvendo\(\sin(ax), \,\sin(bx), \,\cos(ax),\) e\(\cos(bx),\) usar as substituições.
- Produtos senoidais
\(\sin(ax)\sin(bx)=\frac{1}{2}\cos((a−b)x)−\frac{1}{2}\cos((a+b)x)\)
- Produtos de seno e cosseno
\(\sin(ax)\cos(bx)=\frac{1}{2}\sin((a−b)x)+\frac{1}{2}\sin((a+b)x)\)
- Produtos de cosseno
\(\cos(ax)\cos(bx)=\frac{1}{2}\cos((a−b)x)+\frac{1}{2}\cos((a+b)x)\)
- Fórmula de redução de potência
\(\displaystyle ∫\sec^nx\,dx=\frac{1}{n−1}\sec^{n−2}x \tan x+\frac{n−2}{n−1}∫\sec^{n−2}x\,dx\)
- Fórmula de redução de potência
\(\displaystyle ∫\tan^nx\,dx=\frac{1}{n−1}\tan^{n−1}x−∫\tan^{n−2}x\,dx\)
Glossário
- fórmula de redução de potência
- uma regra que permite que uma integral de uma potência de uma função trigonométrica seja trocada por uma integral envolvendo uma potência menor
- integral trigonométrico
- uma integral envolvendo potências e produtos de funções trigonométricas