7.2: Integrais trigonométricas

Objetivos de

• Resolva problemas de integração envolvendo produtos e poderes de$\sin x$$\cos x$ e.
• Resolva problemas de integração envolvendo produtos e poderes de$\tan x$$\sec x$ e.
• Use fórmulas de redução para resolver integrais trigonométricas.

Nesta seção, veremos como integrar uma variedade de produtos de funções trigonométricas. Essas integrais são chamadas de integrais trigonométricas. Eles são uma parte importante da técnica de integração chamada substituição trigonométrica, que é apresentada em Substituição trigonométrica. Essa técnica nos permite converter expressões algébricas que talvez não consigamos integrar em expressões envolvendo funções trigonométricas, que talvez possamos integrar usando as técnicas descritas nesta seção. Além disso, esses tipos de integrais aparecem com frequência quando estudamos sistemas de coordenadas polares, cilíndricas e esféricas posteriormente. Vamos começar nosso estudo com produtos de$\sin x$ e$\cos x.$

Integrando produtos e poderes de sin x e cos x

Uma ideia-chave por trás da estratégia usada para integrar combinações de produtos$\sin x$ e poderes de e$\cos x$ envolve reescrever essas expressões como somas e diferenças de integrais da forma$∫\sin^jx\cos x\,dx$ ou$∫\cos^jx\sin x\,dx$. Depois de reescrever essas integrais, nós as avaliamos usando$u$ -substitution. Antes de descrever o processo geral em detalhes, vamos dar uma olhada nos exemplos a seguir.

Exemplo$\PageIndex{1}$: Integrating $\displaystyle ∫\cos^j x\sin x\,dx$

Avalie$\displaystyle ∫\cos^3x\sin x\,dx.$

Solução

Use$u$ -substitution e deixe$u=\cos x$. Nesse caso,$du=−\sin x\,dx.$

Assim,

$$∫\cos^3x\sin x\,dx=−∫u^3\,du=−\frac{1}{4}u^4+C=−\frac{1}{4}\cos^4x+C.\nonumber$$

Exercício$\PageIndex{1}$

Avalie$\displaystyle ∫\sin^4x\cos x\,dx.$

Dica

Deixe$u=\sin x.$

Responda

$\displaystyle ∫\sin^4x\cos x\,dx = \frac{1}{5}\sin^5x+C$

Exemplo$\PageIndex{2}$: A Preliminary Example: Integrating $∫\cos^jx\sin^kx\,dx$ where $k$ is Odd

Avalie$\displaystyle ∫\cos^2x\sin^3x\,dx.$

Solução

Para converter essa integral em integrais da forma,$\displaystyle ∫\cos^jx\sin x\,dx,$ reescreva$\sin^3x=\sin^2x\sin x$ e faça a substituição$\sin^2x=1−\cos^2x.$

Assim,

\ (\ displaystyle\ begin {align*} ∫\ cos^2x\ sin^3x\, dx &=∫\ cos^2x (1−\ cos^2x)\ sin x\, dx & &\ text {Let} u=\ cos x;\ text {then} du=−\ sin x\, dx.\\ [4pt]
&=−uu^2 (1−u^2)\, du\\ [4pt]
&=∫ (u^4−u^2)\, du\\ [4pt]
&=\ frac {1} {5} u^5−\ frac {1} {3} U^3+c\\ [4pt]
&=\ frac {1} {5}\ cos^5x−\ frac {1} {3}\ cos^3x+C.\ end {align*}\)

Exercício$\PageIndex{2}$

Avalie$\displaystyle ∫\cos^3x\sin^2x\,dx.$

Dica

Escreva$\cos^3x=\cos^2x\cos x=(1−\sin^2x)\cos x$ e deixe$u=\sin x$.

Responda

$\displaystyle ∫\cos^3x\sin^2x\,dx = \frac{1}{3}\sin^3x−\frac{1}{5}\sin^5x+C$

No próximo exemplo, vemos a estratégia que deve ser aplicada quando há apenas poderes pares de$\sin x$$\cos x$ e. Para integrais desse tipo, as identidades

$$\sin^2x=\frac{1}{2}−\frac{1}{2}\cos(2x)=\frac{1−\cos(2x)}{2} \nonumber$$

e

$$\cos^2x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos(2x)=\frac{1+\cos(2x)}{2} \nonumber$$

são inestimáveis. Essas identidades às vezes são conhecidas como identidades redutoras de poder e podem ser derivadas da identidade de ângulo duplo$\cos(2x)=\cos^2x−\sin^2x$ e da identidade pitagórica.$\cos^2x+\sin^2x=1.$

Exemplo$\PageIndex{3}$: Integrating an Even Power of $\sin x$

Avalie$\displaystyle ∫\sin^2x\,dx$.

Solução

Para avaliar essa integral, vamos usar a identidade trigonométrica.$\sin^2x=\frac{1}{2}−\frac{1}{2}\cos(2x).$ Assim,

$\displaystyle ∫\sin^2x\,dx=∫\left(\frac{1}{2}−\frac{1}{2}\cos(2x)\right)\,dx=\frac{1}{2}x−\frac{1}{4}\sin(2x)+C.$

Exercício$\PageIndex{3}$

Avalie$\displaystyle ∫\cos^2x\,dx.$

Dica

$\cos^2x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos(2x)$

Responda

$\displaystyle ∫\cos^2x\,dx = \frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\sin(2x)+C$

O processo geral de integração de produtos de poderes de$\sin x$ e$\cos x$ está resumido no seguinte conjunto de diretrizes.

Estratégia de resolução de problemas: integrando produtos e poderes do$\sin x$ and $cos x$

Para integrar,$\displaystyle \int \cos^jx\sin^kx\,dx$ use as seguintes estratégias:

1. Se$k$ for estranho, reescreva$\sin^kx=\sin^{k−1}x\sin x$ e use a identidade$\sin^2x=1−\cos^2x$ para reescrever$\sin^{k−1}x$ em termos de$\cos x$. Integre usando a substituição$u=\cos x$. Essa substituição faz com que$du=−\sin x\,dx.$

2. Se$j$ for estranho, reescreva$\cos^jx=\cos^{j−1}x\cos x$ e use a identidade$\cos^2x=1−\sin^2x$ para reescrever$\cos^{j−1}x$ em termos de$\sin x$. Integre usando a substituição$u=\sin x$. Essa substituição faz$du=\cos x\,dx.$ (Nota: Se ambos$j$ e$k$ forem ímpares, a estratégia 1 ou a estratégia 2 podem ser usadas.)

3. Se ambos$j$$k$ estiverem empatados, use$\sin^2x=\dfrac{1−\cos(2x)}{2}$$\cos^2x=\dfrac{1+\cos(2x)}{2}$ e. Depois de aplicar essas fórmulas, simplifique e reaplique as estratégias 1 a 3, conforme apropriado.

Exemplo$\PageIndex{4}$: Integrating $∫\cos^jx\sin^kx\,dx$ where $k$ is Odd

Avalie$\displaystyle ∫\cos^8x\sin^5x\,dx.$

Solução

Como a ativação$\sin x$ é estranha, use a estratégia 1. Assim,

\ (\ displaystyle\ begin {align*} ∫\ cos^8x\ sin^5x\, dx &=∫\ cos^8x\ sin^4x\ sin x\, dx & &\ text {Break off}\ sin x.\\ [4pt]
&=∫\ cos^8x (\ sin^2x) ^2\ sin x\, dx & &\ text {Rex Escreva}\ sin^4x= (\ sin^2x) ^2.\\ [4pt]
&=∫\ cos^8x (1−\ cos^2x) ^2\ sin x\, dx & &\ text { Substitua}\ sin^2x=1−\ cos^2x.\\ [4pt]
&=u^8 (1−u^2) ^2 (−du) & &\ text {Let} u=\ cos x\ text {e} du=−\ sin x\, dx.\\ [4pt]
&=∫ (−u^8+2u^ {10} −u^ {10} −u^ {10} −u^ {12}) du & &\ text {Expandir.}\\ [4pt]
&=−\ frac {1} {9} u^9+\ frac {2} {11} u^ {11} −\ frac {1} {13} u^ {13} +C & & ;\ text {Calcule a integral.}\\ [4pt]
&=−\ frac {1} {9}\ cos^9x+\ frac {2} {11}\ cos^ {11} x−\ frac {1} {13}\ cos^ {13} x+C & &\ text {Substitute} u=\ cos x.\ end {align*}\)

Exemplo$\PageIndex{5}$: Integrating $∫\cos^jx\sin^kx\,dx$ where $k$ and $j$ are Even

Avalie$\displaystyle ∫\sin^4x\,dx.$

Solução: Como a ativação$\sin x$ é uniforme$(k=4)$ e a ativação$\cos x$ está equilibrada,$(j=0),$ devemos usar a estratégia 3. Assim,

\ (\ begin {align*}\ estilo de exibição ∫\ sin^4x\, dx &=∫\ left (\ sin^2x\ right) ^2\, dx & &\ text {Reescrever}\ sin^4x=\ left (\ sin^2x\ right) ^2.\\ [4pt]
&=∫\ left (\ frac {1} {2} −\ frac {1} {2}\ cos (2x)\ right) ^2\, dx & &\ text {Substituto}\ sin^2x=\ frac {1} {2} −\ frac {1} {2}\ cos (2x).\\ [4pt]
& =∫\ left (\ frac {1} {4} −\ frac {1} {2}\ cos (2x) +\ frac {1} {4}\ cos^2 (2x)\ direita)\, dx & &\ texto {Expandir}\ left (\ frac {1} {2} −\ frac {1} {2}\ cos (2x)\ direita) ^2.\\ [4pt]
&=∫\ left (\ frac {1} {4} −\ frac {1} {2}\ cos (2x) +\ frac {1} {4}\ left (\ frac {1} {2} +\ frac {1} {2}\ cos (4x)\ direita)\, dx & &\ text {Desde}\ cosmos ^2 (2) x )\ text {tem uma potência par, substitua}\ cos^2 (2x) =\ frac {1} {2} +\ frac {1} {2}\ cos (4x).\\ [4pt]
&=∫\ left (\ frac {3} {8} −\ frac {1} {2}\ cos (2x) +\ frac {1} {8} cos (4x)\ right)\, dx & &\ text {Simplifique.}\\ [4pt]
&=\ frac {3} {8} x−\ frac {1} {4}\ sin (2x) +\ frac {1} {32}\ sin (4x) +C & &\ text { Calcule a integral.}\\ [4pt]\ end {align*}\)

Exercício$\PageIndex{4}$

Avalie$\displaystyle ∫\cos^3x\,dx.$

Dica

Use a estratégia 2. Escreva$\cos^3x=\cos^2x\cos x$ e substitua$\cos^2x=1−\sin^2x.$

Responda

$\displaystyle ∫\cos^3x\,dx = \sin x−\frac{1}{3}\sin^3x+C$

Exercício$\PageIndex{5}$

Avalie$\displaystyle ∫\cos^2(3x)\,dx.$

Dica

Use a estratégia 3. Substituto$\cos^2(3x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos(6x)$

Responda

$\displaystyle ∫\cos^2(3x)\,dx = \frac{1}{2}x+\frac{1}{12}\sin(6x)+C$

Em algumas áreas da física, como mecânica quântica, processamento de sinais e computação de séries de Fourier, muitas vezes é necessário integrar produtos que incluem$sin(ax), sin(bx), cos(ax),$ e$cos(bx).$ Essas integrais são avaliadas pela aplicação de identidades trigonométricas, conforme descrito na regra a seguir.

Regra: Integrando produtos de senos e cossenos de diferentes ângulos

Integrar produtos envolvendo$\sin(ax), \,\sin(bx), \,\cos(ax),$ e$\cos(bx),$ usar as substituições

$$\sin(ax)\sin(bx)=\frac{1}{2}\cos((a−b)x)−\frac{1}{2}\cos((a+b)x) \nonumber$$

$$\sin(ax)\cos(bx)=\frac{1}{2}\sin((a−b)x)+\frac{1}{2}\sin((a+b)x) \nonumber$$

$$\cos(ax)\cos(bx)=\frac{1}{2}\cos((a−b)x)+\frac{1}{2}\cos((a+b)x) \nonumber$$

Essas fórmulas podem ser derivadas das fórmulas de soma dos ângulos para seno e cosseno.

Exemplo$\PageIndex{6}$: Evaluating $∫\sin(ax)\cos(bx)\,dx$

Avalie$\displaystyle ∫\sin(5x)\cos(3x)\,dx.$

Solução: aplique a identidade$\sin(5x)\cos(3x)=\frac{1}{2}\sin(2x)+\frac{1}{2}\sin(8x).$ Assim,

$\displaystyle ∫\sin(5x)\cos(3x)\,dx=∫\frac{1}{2}\sin(2x)+\frac{1}{2}\sin(8x)\,dx=−\frac{1}{4}\cos(2x)−\frac{1}{16}\cos(8x)+C.$

Exercício$\PageIndex{6}$

Avalie$\displaystyle ∫\cos(6x)\cos(5x)\,dx.$

Dica

Substituto$\cos(6x)\cos(5x)=\frac{1}{2}\cos x+\frac{1}{2}\cos(11x).$

Responda

$\displaystyle ∫\cos(6x)\cos(5x)\,dx = \frac{1}{2}\sin x+\frac{1}{22}\sin(11x)+C$

Integrando produtos e poderes de$\tan x$ e$\sec x$

Antes de discutir a integração de produtos e poderes do$\tan x$ e$\sec x$, é útil relembrar as integrais que envolvem$\tan x$ e$\sec x$ já aprendemos:

1. $\displaystyle ∫\sec^2x\,dx=\tan x+C$

2. $\displaystyle ∫\sec x\tan x\,dx=\sec x+C$

3. $\displaystyle ∫\tan x\,dx=\ln|\sec x|+C$

4. $\displaystyle ∫\sec x\,dx=\ln|\sec x+\tan x|+C.$

Para a maioria das integrais de produtos$\tan x$ e poderes de e$\sec x$, reescrevemos a expressão que desejamos integrar como a soma ou diferença das integrais da forma$\displaystyle ∫\tan^jx\sec^2x\,dx$ ou$\displaystyle ∫\sec^jx\tan x\,dx$. Como vemos no exemplo a seguir, podemos avaliar essas novas integrais usando a substituição u.

Exemplo$\PageIndex{7}$: Evaluating $∫\sec^jx\tan x\,dx$

Avalie$\displaystyle ∫\sec^5 x\tan x\,dx.$

Solução: comece reescrevendo$\sec^5 x\tan x$ como$\sec^4 x\sec x\tan x.$

\ (\ displaystyle\ begin {align*} ∫\ sec^5x\ tan x\, dx &= ∫\ sec^4 x\ sec x\ tan x\, dx\\ [4pt]
&=u^4\, du & &\ text {Let} u=\ sec x;\,\ text {then},\, du=\ sec x\ tan x\, dx\.\ [4pt]
&=\ tfrac {1} {5} U^5+c & &\ text {Calcule a integral.}\\ [4pt]
&=\ tfrac {1} {5}\ sec^5 x+C & &\ text {Substituto}\ sec x=u.\ end {align*}\)

Você pode ler algumas informações interessantes neste site para aprender sobre uma integral comum envolvendo a secante.

Exercício$\PageIndex{7}$

Avalie$\displaystyle ∫\tan^5x\sec^2x\,dx.$

Dica

Deixe$u=\tan x$ e$du=\sec^2 x.$

Responda

$\displaystyle ∫\tan^5x\sec^2x\,dx = \tfrac{1}{6}\tan^6x+C$

Agora, examinamos as várias estratégias para integrar produtos e poderes de$\sec x$ e$\tan x.$

Estratégia de resolução de problemas: Integrando$\displaystyle ∫\tan^kx\sec^jx\,dx$

Para integrar,$\displaystyle ∫\tan^kx\sec^jx\,dx,$ use as seguintes estratégias:

1. $j$É uniforme e$j≥2,$ reescreva$\sec^jx=\sec^{j−2}x\sec^2x$ e use$\sec^2x=\tan^2x+1$ para reescrever$\sec^{j−2}x$ em termos de$\tan x$. Deixe$u=\tan x$ e$du=\sec^2x.$

2. Se$k$ for estranho e$j≥1$, reescreva$\tan^kx\sec^jx=\tan^{k−1}x\sec^{j−1}x\sec x\tan x$ e use$\tan^2x=\sec^2x−1$ para reescrever$\tan^{k−1}x$ em termos de$\sec x$. Deixe$u=\sec x$ e$du=\sec x\tan x\,dx.$ (Nota: Se$j$ for par e$k$ for ímpar, então a estratégia 1 ou a estratégia 2 podem ser usadas.)

3. Se$k$ é estranho onde$k≥3$ e$j=0$, reescreva$\tan^kx=\tan^{k−2}x\tan^2x=\tan^{k−2}x(\sec^2x−1)=\tan^{k−2}x\sec^2x−\tan^{k−2}x.$ Pode ser necessário repetir esse processo no$\tan^{k−2}x$ termo.

4. Se$k$ for par e$j$ for ímpar, use$\tan^2x=\sec^2x−1$ para expressar$\tan^kx$ em termos de$\sec x$. Use a integração por partes para integrar poderes ímpares de$\sec x.$

Exemplo$\PageIndex{8}$: Integrating $∫\tan^kx\sec^jx\,dx$ when $j$ is Even

Avalie$\displaystyle ∫\tan^6x\sec^4x\,dx.$

Solução

Como a ativação$\sec x$ é uniforme, reescreva$\sec^4x=\sec^2x\sec^2x$ e use$\sec^2x=\tan^2x+1$ para reescrever a primeira$\sec^2x$ em termos de$\tan x.$ Assim,

\ (\ begin {align*}\ estilo de exibição ∫\ tan^6x\ sec^4x\, dx &=∫\ tan^6x (\ tan^2x+1)\ sec^2x\, dx\\ [4pt]
&=u^6 (u^2+1)\, du & &\ text {Let} u=\ tan x\ text {e} du=\ sec^^2x.\\ [4pt]
&=∫ (u^8+u^6)\, du & &\ text {Expandir.}\\ [4pt]
&=\ frac {1} {9} u^9+\ frac {1} {7} u^ 7+C & &\ text {Calcule a integral.}\\ [4pt]
&=\ frac {1} {9}\ tan^9x+\ frac {1} {7}\ Tan^7x+C. & &\ text {Substitute}\ tan x=u.\ end {align*}\)

Exemplo$\PageIndex{9}$: Integrating $∫\tan^kx\sec^jx\,dx$ when $k$ is Odd

Avalie$\displaystyle ∫\tan^5x\sec^3x\,dx.$

Solução

Como a ativação$\tan x$ é estranha, comece reescrevendo$\tan^5x\sec^3x=\tan^4x\sec^2x\sec x\tan x.$ Assim,

\ (\ begin {align*}\ estilo de exibição ∫\ tan^5x\ sec^3x\, dx&=\ tan^4x\ sec^2x\ sec x\ tan x.\\ [4pt]
&=∫ (\ tan^2x) ^2\ sec^2x\ sec x\ tan x\, dx & &\ texto {Escrever}\ tan^4x =(\ tan^4x) 2x) ^2.\\ [4pt]
&=∫ (\ sec^2x−1) ^2\ sec^2x\ sec x\ tan x\, dx & &\ text {Usar}\ tan^2x=\ sec^2x−1.\\ [4pt]
&=∫ (u^2−1) ^2u^2du & &\ text {Let} u=\ sec x\ text {e} du=\ sec x\ tan x\, dx\\ [4pt]
&=∫ (u^6−2u^4+u^2) du & &\ text {Expandir.}\\ [4pt]
&=\ frac {1} {7} u^2 ^7−\ frac {2} {5} u^5+\ frac {1} {3} U^3+c &\ text {Integrar.}\\ [4pt]
&=\ frac {1 } {7}\ sec^7x−\ frac {2} {5}\ sec^5x+\ frac {1} {3}\ sec^3x+C & &\ text {Substituto}\ sec x=u.\ end {align*}\)

Exemplo$\PageIndex{10}$: Integrating $∫\tan^kx\,dx$ where $k$ is Odd and $k≥3$

Avalie$\displaystyle ∫\tan^3x\,dx.$

Solução

Comece reescrevendo$\tan^3x=\tan x\tan^2x=\tan x(\sec^2x−1)=\tan x\sec^2x−\tan x.$ Assim,

\ (\ begin {align*}\ estilo de exibição ∫\ tan^3x\, dx &= ∫ (\ tan x\ sec^2x−\ tan x)\, dx\\ [4pt]
&=∫\ tan x\ sec^2x\, dx−∫\ tan x\, dx\\ [4pt]
&=\ frac {1} {2}\ tan^2x−\ ln |\ sec x|+c.\ end {align*}\)

Para a primeira integral, use a substituição$u=\tan x.$ Para a segunda integral, use a fórmula.

Exemplo$\PageIndex{11}$: Integrating $\displaystyle ∫\sec^3x\,dx$

Integrar$\displaystyle ∫\sec^3x\,dx.$

Solução

Essa integral requer integração por partes. Para começar, deixe$u=\sec x$$dv=\sec^2x$ e. Essas escolhas fazem$du=\sec x\tan x$$v=\tan x$ e. Assim,

\ (\ begin {align*}\ estilo de exibição ∫\ sec^3x\, dx &=\ sec x\ tan x−∫\ tan x\ sec x\ tan x\, dx\\ [4pt]
&=\ sec x\ tan x−∫\ tan^2x\ sec x\, dx & &\ text {Simplifique.}\\ [4pt]
&=\ sec x\ tan xn −∫ (\ sec^2x−1)\ sec x\, dx & &\ text {Substituto}\ tan^2x=\ sec^2x−1.\\ [4pt]
& amp; =\ sec x\ tan x+∫\ sec x\, dx−∫\ sec^3x\, dx & &\ text {Reescrever.}\\ [4pt]
&=\ sec x\ tan x+\ ln|\ sec x+\ tan x|−∫\ sec^3x\, dx. & &\ text {Avaliar} ∫\ sec x\, dx. \ end {align*}\)

Agora temos

$$∫\sec^3x\,dx=\sec x\tan x+\ln|\sec x+\tan x|−∫\sec^3x\,dx.\nonumber$$

Como a integral$\displaystyle ∫\sec^3x\,dx$ reapareceu no lado direito, podemos resolvê-la$\displaystyle ∫\sec^3x\,dx$ adicionando-a aos dois lados. Ao fazer isso, obtemos

$$2∫\sec^3x\,dx=\sec x\tan x+\ln|\sec x+\tan x|.\nonumber$$

Dividindo por 2, chegamos a

$$∫\sec^3x\,dx=\frac{1}{2}\sec x\tan x+\frac{1}{2}\ln|\sec x+\tan x|+C\nonumber$$

Exercício$\PageIndex{8}$

Avalie$\displaystyle ∫\tan^3x\sec^7x\,dx.$

Dica

Use o exemplo$\PageIndex{9}$ como guia.

Responda

$\displaystyle ∫\tan^3x\sec^7x\,dx = \frac{1}{9}\sec^9x−\frac{1}{7}\sec^7x+C$

Fórmulas de redução

A avaliação$\displaystyle ∫\sec^nx\,dx$ de valores de$n$ onde$n$ é ímpar requer integração por partes. Além disso, também devemos saber o valor de$\displaystyle ∫\sec^{n−2}x\,dx$ avaliar$\displaystyle ∫\sec^nx\,dx$. A avaliação de$\displaystyle ∫\tan^nx\,dx$ também requer a capacidade de integração$\displaystyle ∫\tan^{n−2}x\,dx$. Para facilitar o processo, podemos derivar e aplicar as seguintes fórmulas de redução de potência. Essas regras nos permitem substituir a integral de uma potência de$\sec x$ ou$\tan x$ pela integral de uma potência inferior de$\sec x$ ou$\tan x.$

Regra: Fórmulas de redução para$∫\sec^nx\,dx$ and $∫\tan^nx\,dx$

$$∫\sec^n x\,dx=\frac{1}{n−1}\sec^{n−2}x\tan x+\frac{n−2}{n−1}∫\sec^{n−2}x\,dx \nonumber$$

$$∫\tan^n x\,dx=\frac{1}{n−1}\tan^{n−1}x−∫\tan^{n−2}x\,dx \nonumber$$

A primeira regra de redução de energia pode ser verificada aplicando a integração por peças. O segundo pode ser verificado seguindo a estratégia delineada para integrar poderes ímpares de$\tan x.$

Exemplo$\PageIndex{12}$: Revisiting $∫\sec^3x\,dx$

Aplique uma fórmula de redução para avaliar$\displaystyle ∫\sec^3x\,dx.$

Solução: Ao aplicar a primeira fórmula de redução, obtemos

\ (\ begin {align*}\ estilo de exibição ∫\ sec^3x\, dx &=\ frac {1} {2}\ sec x\ tan x+\ frac {1} {2} ∫\ sec x\, dx\\ [4pt]
&=\ frac {1} {2}\ sec x\ tan x+\ frac {1} {2}\ ln| sec x+\ tan x|+c.\ end {align*}\)

Exemplo$\PageIndex{13}$: Using a Reduction Formula

Avalie$\displaystyle ∫\tan^4x\,dx.$

Solução: Aplicando a fórmula de redução,$∫\tan^4x\,dx$ pois temos

\ (\ begin {align*}\ displaystyle ∫\ tan^4x\, dx &=\ frac {1} {3}\ tan^3x−∫\ tan^2x\, dx\\ [4pt]
&=\ frac {1} {3}\ tan^3x− (\ tan x−∫\ tan^0x\, dx) & &\ text {Aplicar o fórmula de redução para} ∫\ tan^2x\, dx.\\ [4pt]
&=\ frac {1} {3}\ tan^3x−\ tan x+1\, dx & &\ text {Simplifique.}\\ [4pt]
&=\ frac {1} {3}\ tan^3x−\ tan x+x+C & &\ text {Avaliar} 1\, dx\ end {align*}\)

Exercício$\PageIndex{9}$

Aplique a fórmula de redução em$\displaystyle ∫\sec^5x\,dx.$

Dica

Use a fórmula de redução 1 e deixe$n=5.$

Responda

$\displaystyle ∫\sec^5x\,dx=\frac{1}{4}\sec^3x\tan x+\frac{3}{4}∫\sec^3x$

Conceitos-chave

Integrais de funções trigonométricas podem ser avaliadas pelo uso de várias estratégias. Essas estratégias incluem

1. Aplicação de identidades trigonométricas para reescrever a integral para que ela possa ser$u$ avaliada por substituição
2. Usando a integração por peças
3. Aplicação de identidades trigonométricas para reescrever produtos de senos e cossenos com argumentos diferentes como a soma de funções individuais de seno e cosseno
4. Aplicação de fórmulas de redução

Equações-chave

Integrar produtos envolvendo$\sin(ax), \,\sin(bx), \,\cos(ax),$ e$\cos(bx),$ usar as substituições.

• Produtos senoidais

$\sin(ax)\sin(bx)=\frac{1}{2}\cos((a−b)x)−\frac{1}{2}\cos((a+b)x)$

• Produtos de seno e cosseno

$\sin(ax)\cos(bx)=\frac{1}{2}\sin((a−b)x)+\frac{1}{2}\sin((a+b)x)$

• Produtos de cosseno

$\cos(ax)\cos(bx)=\frac{1}{2}\cos((a−b)x)+\frac{1}{2}\cos((a+b)x)$

• Fórmula de redução de potência

$\displaystyle ∫\sec^nx\,dx=\frac{1}{n−1}\sec^{n−2}x \tan x+\frac{n−2}{n−1}∫\sec^{n−2}x\,dx$

• Fórmula de redução de potência

$\displaystyle ∫\tan^nx\,dx=\frac{1}{n−1}\tan^{n−1}x−∫\tan^{n−2}x\,dx$

Glossário

fórmula de redução de potência

uma regra que permite que uma integral de uma potência de uma função trigonométrica seja trocada por uma integral envolvendo uma potência menor

integral trigonométrico

uma integral envolvendo potências e produtos de funções trigonométricas