7.7E: Exercícios para a Seção 7.7

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Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
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Nos exercícios 1 a 8, avalie as seguintes integrais. Se a integral não for convergente, responda “Ela diverge”.

1)\(\displaystyle ∫^4_2\frac{dx}{(x−3)^2}\)

Resposta: Isso diverge.

2)\(\displaystyle ∫^∞_0\frac{1}{4+x^2}\,dx\)

3)\(\displaystyle ∫^2_0\frac{1}{\sqrt{4−x^2}}\,dx\)

Resposta: Converge para\(\frac{π}{2}\)

4)\(\displaystyle ∫^∞_1\frac{1}{x\ln x}\,dx\)

5)\(\displaystyle ∫^∞_1xe^{−x}\,dx\)

Resposta: Converge para\(\frac{2}{e}\)

6)\(\displaystyle ∫^∞_{−∞}\frac{x}{x^2+1}\,dx\)

7) Sem integrar, determine se a integral\(\displaystyle ∫^∞_1\frac{1}{\sqrt{x^3+1}}\,dx\) converge ou diverge comparando a função\(f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x^3+1}}\) com\(g(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x^3}}\).

Resposta: Ele converge.

8) Sem integrar, determine se a integral\(\displaystyle ∫^∞_1\frac{1}{\sqrt{x+1}}\,dx\) converge ou diverge.

Nos exercícios 9 a 25, determine se as integrais impróprias convergem ou divergem. Se possível, determine o valor das integrais que convergem.

9)\(\displaystyle ∫^∞_0e^{−x}\cos x\,dx\)

Resposta: Converge para\(\frac{1}{2}\).

10)\(\displaystyle ∫^∞_1\frac{\ln x}{x}\,dx\)

11)\(\displaystyle ∫^1_0\frac{\ln x}{\sqrt{x}}\,dx\)

Resposta: Converge para\(-4\).

12)\(\displaystyle ∫^1_0\ln x\,dx\)

13)\(\displaystyle ∫^∞_{−∞}\frac{1}{x^2+1}\,dx\)

Resposta: Converge para\(π\).

14)\(\displaystyle ∫^5_1\frac{dx}{\sqrt{x−1}}\)

15)\(\displaystyle ∫^2_{−2}\frac{dx}{(1+x)^2}\)

Resposta: Isso diverge.

16)\(\displaystyle ∫^∞_0e^{−x}\,dx\)

17)\(\displaystyle ∫^∞_0\sin x\,dx\)

Resposta: Isso diverge.

18)\(\displaystyle ∫^∞_{−∞}\frac{e^x}{1+e^{2x}}\,dx\)

19)\(\displaystyle ∫^1_0\frac{dx}{\sqrt[3]{x}}\)

Resposta: Converge para\(1.5\).

20)\(\displaystyle ∫^2_0\frac{dx}{x^3}\)

21)\(\displaystyle ∫^2_{−1}\frac{dx}{x^3}\)

Resposta: Isso diverge.

22)\(\displaystyle ∫^1_0\frac{dx}{\sqrt{1−x^2}}\)

23)\(\displaystyle ∫^3_0\frac{1}{x−1}\,dx\)

Resposta: Isso diverge.

24)\(\displaystyle ∫^∞_1\frac{5}{x^3}\,dx\)

25)\(\displaystyle ∫^5_3\frac{5}{(x−4)^2}\,dx\)

Resposta: Isso diverge.

Nos exercícios 26 e 27, determine a convergência de cada uma das seguintes integrais por comparação com a integral dada. Se a integral convergir, encontre o número para o qual ela converge.

26)\(\displaystyle ∫^∞_1\frac{dx}{x^2+4x};\) compare com\(\displaystyle ∫^∞_1\frac{dx}{x^2}\).

27)\(\displaystyle ∫^∞_1\frac{dx}{\sqrt{x}+1};\) compare com\(\displaystyle ∫^∞_1\frac{dx}{2\sqrt{x}}\).

Resposta: Ambas as integrais divergem.

Nos exercícios 28 a 38, avalie as integrais. Se a integral divergir, responda “Ela diverge”.

28)\(\displaystyle ∫^∞_1\frac{dx}{x^e}\)

29)\(\displaystyle ∫^1_0\frac{dx}{x^π}\)

Resposta: Isso diverge.

30)\(\displaystyle ∫^1_0\frac{dx}{\sqrt{1−x}}\)

31)\(\displaystyle ∫^1_0\frac{dx}{1−x}\)

Resposta: Isso diverge.

32)\(\displaystyle ∫^0_{−∞}\frac{dx}{x^2+1}\)

33)\(\displaystyle ∫^1_{−1}\frac{dx}{\sqrt{1−x^2}}\)

Resposta: Converge para\(π\).

34)\(\displaystyle ∫^1_0\frac{\ln x}{x}\,dx\)

35)\(\displaystyle ∫^e_0\ln(x)\,dx\)

Resposta: Converge para\(0\).

36)\(\displaystyle ∫^∞_0xe^{−x}\,dx\)

37)\(\displaystyle ∫^∞_{−∞}\frac{x}{(x^2+1)^2}\,dx\)

Resposta: Converge para\(0\).

38)\(\displaystyle ∫^∞_0e^{−x}\,dx\)

Nos exercícios 39 a 44, avalie as integrais impróprias. Cada uma dessas integrais tem uma descontinuidade infinita em uma extremidade ou em um ponto interno do intervalo.

39)\(\displaystyle ∫^9_0\frac{dx}{\sqrt{9−x}}\)

Resposta: Converge para\(6\).

40)\(\displaystyle ∫^1_{−27}\frac{dx}{x^{2/3}}\)

41)\(\displaystyle ∫^3_0\frac{dx}{\sqrt{9−x^2}}\)

Resposta: Converge para\(\frac{π}{2}\).

42)\(\displaystyle ∫^{24}_6\frac{dt}{t\sqrt{t^2−36}}\)

43)\(\displaystyle ∫^4_0x\ln(4x)\,dx\)

Resposta: Converge para\(8\ln(16)−4\).

44)\(\displaystyle ∫^3_0\frac{x}{\sqrt{9−x^2}}\,dx\)

45) Avalie\(\displaystyle ∫^t_{.5}\frac{dx}{\sqrt{1−x^2}}.\) (Tenha cuidado!) (Expresse sua resposta usando três casas decimais.)

Resposta: Converge para cerca de\(1.047\).

46) Avalie\(\displaystyle ∫^4_1\frac{dx}{\sqrt{x^2−1}}.\) (expresse a resposta na forma exata.)

47) Avalie\(\displaystyle ∫^∞_2\frac{dx}{(x^2−1)^{3/2}}.\)

Resposta: Converge para\(−1+\frac{2}{\sqrt{3}}\).

48) Encontre a área da região no primeiro quadrante entre a curva\(y=e^{−6x}\) e o\(x\) eixo.

49) Encontre a área da região delimitada pela curva,\(y=\dfrac{7}{x^2},\) o\(x\) eixo -e, à esquerda, por\(x=1.\)

Resposta: \(A = 7.0\)unidades. ²

50) Encontre a área abaixo da curva\(y=\dfrac{1}{(x+1)^{3/2}},\) delimitada à esquerda por\(x=3.\)

51) Encontre a área abaixo\(y=\dfrac{5}{1+x^2}\) no primeiro quadrante.

Resposta: \(A = \dfrac{5π}{2}\)unidades. ²

52) Encontre o volume do sólido gerado girando em torno do\(x\) eixo -a região sob a curva\(y=\dfrac{3}{x}\) de\(x=1\) até\(x=∞.\)

53) Encontre o volume do sólido gerado girando em torno do\(y\) eixo -a região abaixo da curva\(y=6e^{−2x}\) no primeiro quadrante.

Resposta: \(V = 3π\,\text{units}^3\)

54) Encontre o volume do sólido gerado girando em torno do\(x\) eixo -a área sob a curva\(y=3e^{−x}\) no primeiro quadrante.

A transformação de Laplace de uma função contínua ao longo do intervalo\([0,∞)\) é definida por\(\displaystyle F(s)=∫^∞_0e^{−sx}f(x)\,dx\) (veja o Projeto Estudantil). Essa definição é usada para resolver alguns problemas importantes de valor inicial em equações diferenciais, conforme discutido posteriormente. O domínio de\(F\) é o conjunto de todos os números reais de tal forma que a integral imprópria converge. Encontre a transformação\(F\) de Laplace de cada uma das seguintes funções e forneça o domínio de\(F\).

55)\(f(x)=1\)

Resposta: \(\dfrac{1}{s},\quad s>0\)

56)\(f(x)=x\)

57)\(f(x)=\cos(2x)\)

Resposta: \(\dfrac{s}{s^2+4},\quad s>0\)

(58)\(f(x)=e^{ax}\)

59) Use a fórmula do comprimento do arco para mostrar que a circunferência do círculo\(x^2+y^2=1\) é\(2π\).

Resposta: As respostas podem variar.

Uma função é uma função de densidade de probabilidade se satisfizer a seguinte definição:\(\displaystyle ∫^∞_{−∞}f(t)\,dt=1\). A probabilidade de que uma variável aleatória\(x\) esteja entre a e b é dada por\(\displaystyle P(a≤x≤b)=∫^b_af(t)\,dt.\)

60) Mostre que\(\displaystyle f(x)=\begin{cases}0,&\text{if}\,x<0\\7e^{−7x},&\text{if}\,x≥0\end{cases}\) é uma função de densidade de probabilidade.

61) Encontre a probabilidade que\(x\) está entre\(0\)\(0.3\) e. (Use a função definida no problema anterior.) Use a precisão decimal de quatro casas.

Resposta: 0,8775