7.8: Exercícios de revisão do capítulo 7

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Edwin “Jed” Herman & Gilbert Strang
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Nos exercícios 1 a 4, determine se a afirmação é verdadeira ou falsa. Justifique sua resposta com uma prova ou um contra-exemplo.

1)$\displaystyle ∫e^x\sin(x)\,dx$ não pode ser integrado por peças.

2)$\displaystyle ∫\frac{1}{x^4+1}\,dx$ não pode ser integrado usando frações parciais.

Resposta: Falso

3) Na integração numérica, aumentar o número de pontos diminui o erro.

4) A integração por peças sempre pode produzir a integral.

Resposta: Falso

Nos exercícios 5 a 10, avalie a integral usando o método especificado.

5)$\displaystyle ∫x^2\sin(4x)\,dx,$ usando a integração por peças

6)$\displaystyle ∫\frac{1}{x^2\sqrt{x^2+16}}\,dx,$ usando substituição trigonométrica

Resposta: $\displaystyle ∫\frac{1}{x^2\sqrt{x^2+16}}\,dx = −\frac{\sqrt{x^2+16}}{16x}+C$

7)$\displaystyle ∫\sqrt{x}\ln x\,dx,$ usando a integração por peças

8)$\displaystyle ∫\frac{3x}{x^3+2x^2−5x−6}\,dx,$ usando frações parciais

Resposta: $\displaystyle ∫\frac{3x}{x^3+2x^2−5x−6}\,dx = \frac{1}{10}\big(4\ln|2−x|+5\ln|x+1|−9\ln|x+3|\big)+C$

9)$\displaystyle ∫\frac{x^5}{(4x^2+4)^{5/2}}\,dx,$ usando substituição trigonométrica

10)$\displaystyle ∫\frac{\sqrt{4−\sin^2(x)}}{\sin^2(x)}\cos(x)\,dx,$ usando uma tabela de integrais ou um CAS

Resposta: $\displaystyle ∫\frac{\sqrt{4−\sin^2(x)}}{\sin^2(x)}\cos(x)\,dx = −\frac{\sqrt{4−\sin^2(x)}}{\sin(x)}−\frac{x}{2}+C$

Nos exercícios 11 a 15, integre usando qualquer método que você escolher.

11)$\displaystyle ∫\sin^2 x\cos^2 x\,dx$

12)$\displaystyle ∫x^3\sqrt{x^2+2}\,dx$

Resposta: $\displaystyle ∫x^3\sqrt{x^2+2}\,dx = \frac{1}{15}(x^2+2)^{3/2}(3x^2−4)+C$

13)$\displaystyle ∫\frac{3x^2+1}{x^4−2x^3−x^2+2x}\,dx$

14)$\displaystyle ∫\frac{1}{x^4+4}\,dx$

Resposta: $\displaystyle ∫\frac{1}{x^4+4}\,dx = \frac{1}{16}\ln(\frac{x^2+2x+2}{x^2−2x+2})−\frac{1}{8}\tan^{−1}(1−x)+\frac{1}{8}\tan^{−1}(x+1)+C$

15)$\displaystyle ∫\frac{\sqrt{3+16x^4}}{x^4}\,dx$

Nos exercícios 16 a 18, aproxime as integrais usando a regra do ponto médio, a regra trapezoidal e a regra de Simpson usando quatro subintervalos, arredondando para três decimais.

16) [T]$\displaystyle ∫^2_1\sqrt{x^5+2}\,dx$

Resposta: $M_4=3.312,$
$T_4=3.354,$
$S_4=3.326$

17) [T]$\displaystyle ∫^{\sqrt{π}}_0e^{−\sin(x^2)}\,dx$

18) [T]$\displaystyle ∫^4_1\frac{\ln(1/x)}{x}\,dx$

Resposta: $M_4=−0.982,$
$T_4=−0.917,$
$S_4=−0.952$

Nos exercícios 19 a 20, avalie as integrais, se possível.

19)$\displaystyle ∫^∞_1\frac{1}{x^n}\,dx,$ para quais valores$n$ essa integral converge ou diverge?

20)$\displaystyle ∫^∞_1\frac{e^{−x}}{x}\,dx$

Resposta: aproximadamente 0,2194

Nos exercícios 21 a 22, considere a função gama dada por$\displaystyle Γ(a)=∫^∞_0e^{−y}y^{a−1}\,dy.$

21) Mostre que$\displaystyle Γ(a)=(a−1)Γ(a−1).$

22) Estenda para mostrar que$\displaystyle Γ(a)=(a−1)!,$ supor$a$ é um número inteiro positivo.

O carro mais rápido do mundo, o Bugati Veyron, pode atingir uma velocidade máxima de 408 km/h. O gráfico representa sua velocidade.

$Esta figura tem um gráfico no primeiro quadrante. Ele aumenta até onde x é aproximadamente 03:00 mm:ss e depois desce abruptamente. A altura máxima do gráfico, aqui ocorre a queda, é de aproximadamente 420 km/h.$

23) [T] Use o gráfico para estimar a velocidade a cada 20 segundos e ajustá-la a um gráfico do formulário$v(t)=ae^{bx}\sin(cx)+d.$ (Dica: considere as unidades de tempo.)

24) [T] Usando sua função do problema anterior, descubra exatamente até onde o Bugati Veyron percorreu nos 1 min e 40 segundos incluídos no gráfico.

Resposta: As respostas podem variar. Ex:$9.405$ km