8: Introdução às equações diferenciais
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Muitos fenômenos do mundo real podem ser modelados matematicamente usando equações diferenciais. Crescimento populacional, decaimento radioativo, modelos predador-presa e sistemas de massa primaveril são quatro exemplos desses fenômenos. Neste capítulo, estudamos algumas dessas aplicações. O objetivo deste capítulo é desenvolver técnicas de solução para diferentes tipos de equações diferenciais. À medida que as equações se tornam mais complicadas, as técnicas de solução também se tornam mais complicadas e, de fato, um curso inteiro poderia ser dedicado ao estudo dessas equações. Neste capítulo, estudamos vários tipos de equações diferenciais e seus métodos de solução correspondentes.
- 8.0: Prelúdio de equações diferenciais
- O objetivo deste capítulo é desenvolver técnicas de solução para diferentes tipos de equações diferenciais. À medida que as equações se tornam mais complicadas, as técnicas de solução também se tornam mais complicadas e, de fato, um curso inteiro poderia ser dedicado ao estudo dessas equações. Neste capítulo, estudamos vários tipos de equações diferenciais e seus métodos de solução correspondentes.
- 8.1: Noções básicas de equações diferenciais
- O cálculo é a matemática da mudança, e as taxas de mudança são expressas por derivadas. Assim, uma das formas mais comuns de usar o cálculo é configurar uma equação contendo uma função desconhecida y=f (x) e sua derivada, conhecida como equação diferencial. A resolução dessas equações geralmente fornece informações sobre como as quantidades mudam e frequentemente fornece uma visão sobre como e por que as mudanças ocorrem.
- 8.2: Campos de direção e métodos numéricos
- Em alguns casos, é possível prever as propriedades de uma solução para uma equação diferencial sem conhecer a solução real. Também estudaremos métodos numéricos para resolver equações diferenciais, que podem ser programados usando várias linguagens de computador ou até mesmo usando um programa de planilhas.
- 8.3: Equações separáveis
- Agora examinamos uma técnica de solução para encontrar soluções exatas para uma classe de equações diferenciais conhecidas como equações diferenciais separáveis. Essas equações são comuns em uma ampla variedade de disciplinas, incluindo física, química e engenharia. Ilustramos algumas aplicações no final da seção.
- 8.4: A equação logística
- Equações diferenciais podem ser usadas para representar o tamanho de uma população, pois ela varia ao longo do tempo. Vimos isso em um capítulo anterior na seção sobre crescimento e decaimento exponenciais, que é o modelo mais simples. Um modelo mais realista inclui outros fatores que afetam o crescimento da população. Nesta seção, estudamos a equação diferencial logística e vemos como ela se aplica ao estudo da dinâmica populacional no contexto da biologia.
- 8.5: Equações lineares de primeira ordem
- Qualquer equação diferencial linear de primeira ordem pode ser escrita na forma y′+p (x) y=q (x). Podemos usar uma estratégia de resolução de problemas em cinco etapas para resolver uma equação diferencial linear de primeira ordem que pode ou não incluir um valor inicial. As aplicações de equações diferenciais lineares de primeira ordem incluem determinar o movimento de um objeto ascendente ou descendente com resistência ao ar e encontrar corrente em um circuito elétrico.
Miniatura: Um modelo de crescimento exponencial da população.