8.1E: Exercícios para a Seção 8.1

Nos exercícios 1 a 7, determine a ordem de cada equação diferencial.

1)\(y′+y=3y^2\)

Resposta

1º pedido

2)\((y′)^2=y′+2y\)

3)\(y'''+y''y′=3x^2\)

Resposta

3ª ordem

4)\(y′=y''+3t^2\)

5)\(\dfrac{dy}{dt}=t\)

Resposta

1º pedido

6)\(\dfrac{dy}{dx}+\dfrac{d^2y}{dx^2}=3x^4\)

7)\(\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2+8\dfrac{dy}{dt}+3y=4t\)

Resposta

1º pedido

Nos exercícios 8 a 17, verifique se a função dada é uma solução para a equação diferencial dada.

8)\(y=\dfrac{x^3}{3}\quad\) resolve\(\quad y′=x^2\)

9)\(y=2e^{−x}+x−1\quad\) resolve\(\quad y′=x−y\)

10)\(y=e^{3x}−\dfrac{e^x}{2}\quad\) resolve\(\quad y′=3y+e^x\)

11)\(y=\dfrac{1}{1−x}\quad\) resolve\(\quad y′=y^2\)

12)\(y=\dfrac{e^{x^2}}{2}\quad\) resolve\(\quad y′=xy\)

13)\(y=4+\ln x\quad\) resolve\(\quad xy′=1\)

14)\(y=3−x+x\ln x\quad\) resolve\(\quad y′=\ln x\)

15)\(y=2e^x−x−1\quad\) resolve\(\quad y′=y+x\)

16)\(y=e^x+\dfrac{\sin x}{2}−\dfrac{\cos x}{2}\quad\) resolve\(\quad y′=\cos x+y\)

17)\(y=πe^{−\cos x}\quad\) resolve\(\quad y′=y\sin x\)

Nos exercícios 18 a 27, verifique a solução geral fornecida e encontre a solução específica.

18) Encontre a solução específica para a equação diferencial\(y′=4x^2\) que passa\((−3,−30)\), já que essa\(y=C+\dfrac{4x^3}{3}\) é uma solução geral.

19) Encontre a solução específica para a equação diferencial\(y′=3x^3\) que passa\((1,4.75)\), já que essa\(y=C+\dfrac{3x^4}{4}\) é uma solução geral.

Resposta

\(y=4+\dfrac{3x^4}{4}\)

20) Encontre a solução específica para a equação diferencial\(y′=3x^2y\) que passa\((0,12)\), dado que\(y=Ce^{x^3}\) é uma solução geral.

21) Encontre a solução específica para a equação diferencial\(y′=2xy\) que passa\(\left(0,\frac{1}{2}\right)\), já que essa\(y=Ce^{x^2}\) é uma solução geral.

Resposta

\(y=\frac{1}{2}e^{x^2}\)

22) Encontre a solução específica para a equação diferencial\(y′=\big(2xy\big)^2\) que passa\(\left(1,−\frac{1}{2}\right)\), dado que\(y=−\dfrac{3}{C+4x^3}\) é uma solução geral.

23) Encontre a solução específica para a equação diferencial\(y′x^2=y\) que passa\(\left(1,\frac{2}{e}\right)\), já que essa\(y=Ce^{−1/x}\) é uma solução geral.

Resposta

\(y=2e^{−1/x}\)

24) Encontre a solução específica para a equação diferencial\(8\dfrac{dx}{dt}=−2\cos(2t)−\cos(4t)\) que passa\((π,π)\), uma vez que\(x=C−\frac{1}{8}\sin(2t)−\frac{1}{32}\sin(4t)\) é uma solução geral.

25) Encontre a solução específica para a equação diferencial\(\dfrac{du}{dt}=\tan u\) que passa\(\left(1,\frac{π}{2}\right)\), já que essa\(u=\sin^{−1}\big(e^{C+t}\big)\) é uma solução geral.

Responda

\(u=\sin^{−1}\big(e^{−1+t}\big)\)

26) Encontre a solução específica para a equação diferencial\(\dfrac{dy}{dt}=e^{t+y}\) que passa\((1,0)\), uma vez que essa\(y=−\ln(C−e^t)\) é uma solução geral.

27) Encontre a solução específica para a equação diferencial\(y′(1−x^2)=1+y\) que passa,\((0,−2),\) dado que\(y=C\dfrac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{1−x}}−1\) é uma solução geral.

Responda

\(y=−\dfrac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{1−x}}−1\)

Nos exercícios 28 a 37, encontre a solução geral para a equação diferencial.

28)\(y′=3x+e^x\)

29)\(y′=\ln x+\tan x\)

Responda

\(y=C−x+x\ln x−\ln(\cos x)\)

30)\(y′=\sin x e^{\cos x}\)

31)\(y′=4^x\)

Responda

\(y=C+\dfrac{4^x}{\ln 4}\)

32)\(y′=\sin^{−1}(2x)\)

33)\(y′=2t\sqrt{t^2+16}\)

Responda

\(y=\frac{2}{3}\sqrt{t^2+16}\big(t^2+16\big)+C\)

34)\(x′=\coth t+\ln t+3t^2\)

35)\(x′=t\sqrt{4+t}\)

Responda

\(x=\frac{2}{15}\sqrt{4+t}\big(3t^2+4t−32\big)+C\)

36)\(y′=y\)

37)\(y′=\dfrac{y}{x}\)

Responda

\(y=Cx\)

Nos exercícios 38 a 42, resolva os problemas do valor inicial a partir de\(y(t=0)=1\) e\(y(t=0)=−1.\) desenhe as duas soluções no mesmo gráfico.

38)\(\dfrac{dy}{dt}=2t\)

39)\(\dfrac{dy}{dt}=−t\)

Responda

\(y=1−\dfrac{t^2}{2},\)e\(y=−\dfrac{t^2}{2}−1\)

40)\(\dfrac{dy}{dt}=2y\)

41)\(\dfrac{dy}{dt}=−y\)

Responda

\(y=e^{−t}\)e\(y=−e^{−t}\)

42)\(\dfrac{dy}{dt}=2\)

Nos exercícios 43 a 47, resolva os problemas do valor inicial a partir de\(y_0=10\). Em que momento\(y\) aumenta\(100\) ou diminui para\(1\)?

43)\(\dfrac{dy}{dt}=4t\)

Responda

\(y=2(t^2+5),\)Quando\(t=3\sqrt{5},\)\(y\) aumentará para\(100\).

44)\(\dfrac{dy}{dt}=4y\)

45)\(\dfrac{dy}{dt}=−2y\)

Responda

\(y=10e^{−2t},\)Quando\(t=−\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1}{10}\right),\)\(y\) diminuirá para\(1\).

46)\(\dfrac{dy}{dt}=e^{4t}\)

47)\(\dfrac{dy}{dt}=e^{−4t}\)

Responda

\(y=\frac{1}{4}(41−e^{−4t}),\)Nenhuma das condições jamais acontecerá.

Lembre-se de que uma família de soluções inclui soluções para uma equação diferencial que diferem por uma constante. Para os exercícios 48 a 52, use sua calculadora para representar graficamente uma família de soluções para a equação diferencial dada. Use as condições iniciais de\(y(t=0)=−10\) para\(y(t=0)=10\) aumentar em\(2\). Existe algum ponto crítico em que o comportamento da solução começa a mudar?

48) [T]\(y′=y(x)\)

49) [T]\(xy′=y\)

Responda

A solução muda de aumento para diminuição em\(y(0)=0\).

50) [T]\(y′=t^3\)

51) [T]\(y′=x+y\) (Dica:\(y=Ce^x−x−1\) é a solução geral)

Responda

A solução muda de aumento para diminuição em\(y(0)=0\).

52) [T]\(y′=x\ln x+\sin x\)

53) Encontre a solução geral para descrever a velocidade de uma bola de massa\(1\) lb que é lançada para cima a uma taxa de\(a\) pés/seg.

Responda

\(v(t)=−32t+a\)

54) No problema anterior, se a velocidade inicial da bola lançada no ar for\(a=25\) ft/s, escreva a solução específica para a velocidade da bola. Resolva para descobrir a hora em que a bola atinge o chão.

55) Você joga dois objetos com massas diferentes\(m_1\) e\(m_2\) para cima no ar com a mesma velocidade inicial de\(a\) pés/s. Qual é a diferença em sua velocidade após o\(1\) segundo?

Responda

\(0\)pés/s

56) [T] Você joga uma bola de massa\(1\) quilograma para cima com uma velocidade de\(a=25\) m/s em Marte, onde a força da gravidade é\(g=−3.711\) m/s ². Use sua calculadora para aproximar quanto tempo a bola fica no ar em Marte.

57) [T] Para o problema anterior, use sua calculadora para aproximar o quanto a bola subiu em Marte.

Responda

\(4.86\)metros

58) [T] Um carro na rodovia acelera de acordo com\(a=15\cos(πt),\) onde\(t\) é medido em horas. Configure e resolva a equação diferencial para determinar a velocidade do carro se ele tiver uma velocidade inicial de\(51\) mph. Depois de\(40\) minutos dirigindo, qual é a velocidade do motorista?

59) [T] Para o carro no problema anterior, encontre a expressão para a distância que o carro percorreu no tempo\(t\), assumindo uma distância inicial de\(0\). Quanto tempo o carro leva para percorrer\(100\) milhas? Arredonde sua resposta para horas e minutos.

Responda

\(x=50t−\frac{15}{π^2}\cos(πt)+\frac{3}{π^2},2\)horas,\(1\) minuto

60) [T] Para o problema anterior, determine a distância total percorrida na primeira hora.

61)\(y′−y=8e^{3t}\) Substitua\(y=Be^{3t}\) em para encontrar uma solução específica.

Responda

\(y=4e^{3t}\)

62)\(y′+y=4\sin(2t)\) Substitua\(y=a\cos(2t)+b\sin(2t)\) em para encontrar uma solução específica.

63)\(y′+y=1+t^2\) Substitua\(y=a+bt+ct^2\) em para encontrar uma solução específica.

Responda

\(y=1−2t+t^2\)

64)\(y′=2e^t\cos t\) Substitua\(y=ae^t\cos t+be^t\sin t\) em para encontrar uma solução específica.

65) Resolva\(y′=e^{kt}\) com a condição inicial\(y(0)=0\) e resolva\(y′=1\) com a mesma condição inicial. À medida que\(k\) se aproxima\(0\), o que você percebe?

Responda

\(y=\frac{1}{k}(e^{kt}−1)\)e\(y=t\)