7.5: Outras estratégias de integração
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- Use uma tabela de integrais para resolver problemas de integração.
- Use um sistema computacional de álgebra (CAS) para resolver problemas de integração.
Além das técnicas de integração que já vimos, várias outras ferramentas estão amplamente disponíveis para auxiliar no processo de integração. Entre essas ferramentas estão as tabelas de integração, que estão prontamente disponíveis em muitos livros, incluindo os apêndices deste. Também estão amplamente disponíveis os sistemas de álgebra computacional (CAS), encontrados em calculadoras e em muitos laboratórios de informática do campus, e são gratuitos on-line.
Tabelas de integrais
As tabelas de integração, se usadas da maneira correta, podem ser uma maneira prática de avaliar ou verificar rapidamente uma integral. Lembre-se de que, ao usar uma tabela para verificar uma resposta, é possível que duas soluções completamente corretas pareçam muito diferentes. Por exemplo, em Substituição trigonométrica, descobrimos que, usando a substituição,\(\displaystyle x=\tan θ,\) podemos chegar a
\(\displaystyle ∫\frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}=\ln \left| x+\sqrt{x^2+1}\right| +C.\)
No entanto, usando\(\displaystyle x=\sinh θ\), obtivemos uma solução diferente, a saber,
\(\displaystyle ∫\frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}=\sinh^{−1}x+C.\)
Posteriormente, mostramos algebricamente que as duas soluções são equivalentes. Ou seja, mostramos isso\(\displaystyle \sinh^{−1}x=\ln \left| x+\sqrt{x^2+1}\right| \). Nesse caso, as duas antiderivadas que encontramos eram realmente iguais. Isso não precisa ser o caso. No entanto, desde que a diferença entre as duas antiderivadas seja constante, elas são equivalentes.
Use a fórmula da tabela
\(\displaystyle ∫\frac{\sqrt{a^2−u^2}}{u^2}du=−\frac{\sqrt{a^2−u^2}}{u}−\sin^{−1}\frac{u}{a}+C\)
para avaliar\(\displaystyle ∫\frac{\sqrt{16−e^{2x}}}{e^x}dx.\)
Solução
Se observarmos as tabelas de integração, veremos que várias fórmulas contêm expressões do formato\(\displaystyle \sqrt{a^2−u^2}.\) Essa expressão é, na verdade, semelhante a\(\displaystyle \sqrt{16−e^{2x}},\) onde\(\displaystyle a=4\)\(\displaystyle u=e^x\) e. Lembre-se de que também devemos ter\(\displaystyle du=e^x\). Multiplicar o numerador e o denominador da integral dada por\(\displaystyle e^x\) deve ajudar a colocar essa integral em uma forma útil. Assim, agora temos
\(\displaystyle ∫\frac{\sqrt{16−e^{2x}}}{e^x}dx=∫\frac{\sqrt{16−e^{2x}}}{e^{2x}}e^xdx.\)
Substituindo\(\displaystyle u=e^x\) e\(\displaystyle du=e^x\,dx\) produzindo a\(\displaystyle ∫\frac{\sqrt{a^2−u^2}}{u^2}du.\) partir da tabela de integração (#88 no Apêndice A),
\(\displaystyle ∫\frac{\sqrt{a^2−u^2}}{u^2}du=−\frac{\sqrt{a^2−u^2}}{u}−\sin^{−1}\frac{u}{a}+C.\)
Assim,
\(\displaystyle ∫\frac{\sqrt{16−e^{2x}}}{e^x}dx=∫\frac{\sqrt{16−e^{2x}}}{e^{2x}}e^xdx\)Substituir\(\displaystyle u=e^x\) e\(\displaystyle du=e^xdx.\)
\(\displaystyle =∫\frac{\sqrt{4^2−u^2}}{u^2}du\)Aplique a fórmula usando\(\displaystyle a=4\).
\(\displaystyle =−\frac{\sqrt{4^2−u^2}}{u}−\sin^{−1}\frac{u}{4}+C\)Substituto\(\displaystyle u=e^x\).
\(\displaystyle =−\frac{\sqrt{16−e^{2x}}}{e^x}−\sin^{−1}(\frac{e^x}{4})+C\)
Sistemas de álgebra computacional
Se disponível, um CAS é uma alternativa mais rápida a uma tabela para resolver um problema de integração. Muitos desses sistemas estão amplamente disponíveis e, em geral, são muito fáceis de usar.
Use um sistema computacional de álgebra para avaliar\(\displaystyle ∫\frac{dx}{\sqrt{x^2−4}}.\) Compare esse resultado com\(\displaystyle \ln \left| \frac{\sqrt{x^2−4}}{2}+\frac{x}{2}\right| +C,\) um resultado que poderíamos ter obtido se tivéssemos usado a substituição trigonométrica.
Solução
Usando o Wolfram Alpha, obtemos
\(\displaystyle ∫\frac{dx}{\sqrt{x^2−4}}=\ln \left|\sqrt{x^2−4}+x\right| +C.\)
Observe que
\(\displaystyle \ln \left|\frac{\sqrt{x^2−4}}{2}+\frac{x}{2}\right| +C=\ln \left|\frac{\sqrt{x^2−4}+x}{2}\right| +C=\ln \left|\sqrt{x^2−4}+x\right| −\ln 2+C.\)
Como essas duas antiderivadas diferem apenas por uma constante, as soluções são equivalentes. Também poderíamos ter demonstrado que cada um desses antiderivados está correto ao diferenciá-los.
Você pode acessar uma calculadora integral para obter mais exemplos.
Avalie\(\displaystyle ∫ \sin^3x\,dx\) usando um CAS. Compare o resultado com\(\displaystyle \frac{1}{3}\cos^3x−\cos x+C\) o resultado que podemos ter obtido usando a técnica de integração de poderes estranhos\(\displaystyle \sin x\) discutida anteriormente neste capítulo.
Solução
Usando o Wolfram Alpha, obtemos
\(\displaystyle ∫\sin^3x\,dx=\frac{1}{12}(\cos(3x)−9\cos x)+C.\)
Isso parece bem diferente de\(\displaystyle \frac{1}{3}\cos^3x−\cos x+C.\) Para ver que essas antiderivadas são equivalentes, podemos fazer uso de algumas identidades trigonométricas:
\(\displaystyle \frac{1}{12}(\cos(3x)−9\cos x)=\frac{1}{12}(\cos(x+2x)−9\cos x)\)
\(\displaystyle =\frac{1}{12}(\cos(x)\cos(2x)−\sin(x)\sin(2x)−9\cos x)\)
\(\displaystyle =\frac{1}{12}(\cos x(2\cos^2x−1)−\sin x(2\sin x \cos x)−9\cos x)\)
\(\displaystyle =\frac{1}{12}(2\cos^3x−\cos x−2\cos x(1−\cos^2x)−9\cos x)\)
\(\displaystyle =\frac{1}{12}(4\cos^3x−12\cos x)\)
\(\displaystyle =\frac{1}{3}\cos^3x−\cos x.\)
Assim, as duas antiderivadas são idênticas.
Também podemos usar um CAS para comparar os gráficos das duas funções, conforme mostrado na figura a seguir.
Use um CAS para avaliar\(\displaystyle ∫\frac{dx}{\sqrt{x^2+4}}\).
- Dica
-
As respostas podem variar.
- Responda
-
As soluções possíveis incluem\(\displaystyle \sinh^{−1}\left(\frac{x}{2}\right) +C\) e\(\displaystyle \ln\left|\sqrt{x^2+4}+x\right| +C.\)
Conceitos-chave
- Uma tabela de integração pode ser usada para avaliar integrais indefinidas.
- Um CAS (ou sistema de álgebra computacional) pode ser usado para avaliar integrais indefinidos.
- Pode ser necessário algum esforço para reconciliar soluções equivalentes obtidas usando métodos diferentes.
Glossário
- sistema de álgebra computacional (CAS)
- tecnologia usada para realizar muitas tarefas matemáticas, incluindo integração
- tabela de integração
- uma tabela que lista as fórmulas de integração