6.9E: Exercícios para a Seção 6.9
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1) [T] Encontre expressões para\(\cosh x+\sinh x\) e\(\cosh x−\sinh x.\) use uma calculadora para representar graficamente essas funções e garantir que sua expressão esteja correta.
- Responda
- \(e^x\)e\(e^{−x}\)
2) A partir das definições de\(\cosh(x)\) e\(\sinh(x)\), encontre suas antiderivadas.
3)\(\cosh(x)\) Mostre isso e\(\sinh(x)\) satisfaça\( y''=y\).
- Responda
- As respostas podem variar
4) Use a regra do quociente para verificar se\(\dfrac{d}{dx}\big(\tanh(x)\big)=\text{sech}^2(x).\)
5) Derive\(\cosh^2(x)+\sinh^2(x)=\cosh(2x)\) da definição.
- Responda
- As respostas podem variar
6) Pegue a derivada da expressão anterior para encontrar uma expressão para\(\sinh(2x)\).
7) Prove\(\sinh(x+y)=\sinh(x)\cosh(y)+\cosh(x)\sinh(y)\) alterando a expressão para exponenciais.
- Responda
- As respostas podem variar
8) Pegue a derivada da expressão anterior para encontrar uma expressão para\(\cosh(x+y).\)
Nos exercícios 9 a 18, encontre as derivadas das funções dadas e faça um gráfico junto com a função para garantir que sua resposta esteja correta.
9) [T]\(\cosh(3x+1)\)
- Responda
- \(3\sinh(3x+1)\)
10) [T]\(\sinh(x^2)\)
11) [T]\(\dfrac{1}{\cosh(x)}\)
- Responda
- \(−\tanh(x)\text{sech}(x)\)
12) [T]\(\sinh(\ln(x))\)
13) [T]\(\cosh^2(x)+\sinh^2(x)\)
- Responda
- \(4\cosh(x)\sinh(x)\)
14) [T]\(\cosh^2(x)−\sinh^2(x)\)
15) [T]\(\tanh(\sqrt{x^2+1})\)
- Responda
- \(\dfrac{x\text{sech}^2(\sqrt{x^2+1})}{\sqrt{x^2+1}}\)
16) [T]\(\dfrac{1+\tanh(x)}{1−\tanh(x)}\)
17) [T]\(\sinh^6(x)\)
- Responda
- \(6\sinh^5(x)\cosh(x)\)
18) [T]\(\ln(\text{sech}(x)+\tanh(x))\)
Nos exercícios 19 a 28, encontre as antiderivadas para as funções dadas.
19)\(\cosh(2x+1)\)
- Responda
- \(\frac{1}{2}\sinh(2x+1)+C\)
20)\(\tanh(3x+2)\)
21)\(x\cosh(x^2)\)
- Responda
- \(\frac{1}{2}\sinh^2(x^2)+C\)
22)\(3x^3\tanh(x^4)\)
23)\(\cosh^2(x)\sinh(x)\)
- Responda
- \(\frac{1}{3}\cosh^3(x)+C\)
24)\(\tanh^2(x)\text{sech}^2(x)\)
25)\(\dfrac{\sinh(x)}{1+\cosh(x)}\)
- Responda
- \(\ln(1+\cosh(x))+C\)
26)\(\coth(x)\)
27)\(\cosh(x)+\sinh(x)\)
- Responda
- \(\cosh(x)+\sinh(x)+C\)
28)\((\cosh(x)+\sinh(x))^n\)
Nos exercícios 29 a 35, encontre as derivadas das funções.
29)\(\tanh^{−1}(4x)\)
- Responda
- \(\dfrac{4}{1−16x^2}\)
30)\(\sinh^{−1}(x^2)\)
31)\(\sinh^{−1}(\cosh(x))\)
- Responda
- \(\dfrac{\sinh(x)}{\sqrt{\cosh^2(x)+1}}\)
32)\(\cosh^{−1}(x^3)\)
33)\(\tanh^{−1}(\cos(x))\)
- Responda
- \(−\csc(x)\)
34)\(e^{\sinh^{−1}(x)}\)
(35)\(\ln(\tanh^{−1}(x))\)
- Responda
- \(−\dfrac{1}{(x^2−1)\tanh^{−1}(x)}\)
Nos exercícios 36 a 42, encontre as antiderivadas para as funções.
36)\(\displaystyle ∫\frac{dx}{4−x^2}\)
37)\(\displaystyle ∫\frac{dx}{a^2−x^2}\)
- Responda
- \(\dfrac{1}{a}\tanh^{−1}\left(\dfrac{x}{a}\right)+C\)
38)\(\displaystyle ∫\frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}\)
39)\(\displaystyle ∫\frac{xdx}{\sqrt{x^2+1}}\)
- Responda
- \(\sqrt{x^2+1}+C\)
40)\(\displaystyle ∫−\frac{dx}{x\sqrt{1−x^2}}\)
41)\(\displaystyle ∫\frac{e^x}{\sqrt{e^{2x}−1}}\)
- Responda
- \(\cosh^{−1}(e^x)+C\)
(42)\(\displaystyle ∫−\frac{2x}{x^4−1}\)
Nos exercícios 43 a 45, use o fato de que um corpo em queda com atrito igual à velocidade ao quadrado obedece à equação\(\dfrac{dv}{dt}=g−v^2\).
43) Mostre que\(v(t)=\sqrt{g}\tanh(\sqrt{g}t)\) satisfaz essa equação.
- Responda
- As respostas podem variar
44) Derive a expressão anterior para\(v(t)\) integrando\(\dfrac{dv}{g−v^2}=dt\).
45) [T] Estime até onde um corpo caiu em\(12\) segundos, encontrando a área abaixo da curva de\(v(t)\).
- Responda
- \(37.30\)
Nos exercícios 46 a 48, use este cenário: um cabo pendurado sob seu próprio peso tem uma inclinação\(S=\dfrac{dy}{dx}\) satisfatória\(\dfrac{dS}{dx}=c\sqrt{1+S^2}\). A constante\(c\) é a relação entre a densidade do cabo e a tensão.
46) Mostre que\(S=\sinh(cx)\) satisfaz essa equação.
47) Integre\(\dfrac{dy}{dx}=\sinh(cx)\) para encontrar a altura do cabo\(y(x)\) se\(y(0)=1/c\).
- Responda
- \(y=\frac{1}{c}\cosh(cx)\)
48) Desenhe o cabo e determine a que distância ele cai\(x=0\).
Nos exercícios 49 a 52, resolva cada problema.
49) [T] Uma corrente está pendurada em dois postes com\(2\) m de distância para formar uma catenária descrita pela equação\(y=2\cosh(x/2)−1\). Encontre a inclinação da catenária no poste da cerca à esquerda.
- Responda
- \(−0.521095\)
50) [T] Uma corrente está pendurada em dois postes separados por quatro metros para formar uma catenária descrita pela equação\(y=4\cosh(x/4)−3.\) Encontre o comprimento total da catenária (comprimento do arco).
51) [T] Uma linha elétrica de alta tensão é uma catenária descrita por\(y=10\cosh(x/10)\). Encontre a razão entre a área abaixo da catenária e o comprimento do arco. O que você percebe?
- Responda
- \(10\)
52) Uma linha telefônica é uma catenária descrita por\(y=a\cosh(x/a).\) Encontre a razão entre a área sob a catenária e o comprimento do arco. Isso confirma sua resposta para a pergunta anterior?
53) Prove a fórmula para a\(y=\sinh^{−1}(x)\) derivada de diferenciando\(x=\sinh(y).\)
(Dica: use identidades trigonométricas hiperbólicas.)
54) Prove a fórmula para a\(y=\cosh^{−1}(x)\) derivada de diferenciando\(x=\cosh(y).\)
(Dica: use identidades trigonométricas hiperbólicas.)
55) Prove a fórmula para a\(y=\text{sech}^{−1}(x)\) derivada de diferenciando\(x=\text{sech}(y).\)
(Dica: use identidades trigonométricas hiperbólicas.)
56) Prove isso\(\cosh(x)+\sinh(x))^n=\cosh(nx)+\sinh(nx).\)
57) Prove a expressão para\(\sinh^{−1}(x).\) Multiplique\(x=\sinh(y)=\dfrac{e^y−e^{−y}}{2}\) por\(2e^y\) e resolva por\(y\). Sua expressão combina com o livro didático?
58) Prove a expressão para\(\cosh^{−1}(x).\) Multiplique\(x=\cosh(y)=\dfrac{e^y+e^{−y}}{2}\) por\(2e^y\) e resolva por\(y\). Sua expressão combina com o livro didático?