5.8: Exercícios de revisão do capítulo 5
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Nos exercícios 1 a 4, responda Verdadeiro ou Falso. Justifique sua resposta com uma prova ou um contra-exemplo. Assuma todas as funções\(f\) e\( g\) seja contínuo em seus domínios.
1) Se for\( f(x)>0,\;f′(x)>0\) para todos\( x\), a regra da direita subestima a integral.\(\displaystyle ∫^b_af(x)\,dx.\) Use um gráfico para justificar sua resposta.
- Responda
- Falso
2)\(\displaystyle ∫^b_af(x)^2\,dx=∫^b_af(x)\,dx\)
3) Se for\( f(x)≤g(x)\) para todos\( x∈[a,b]\), então\(\displaystyle ∫^b_af(x)\,dx≤∫^b_ag(x)\,dx.\)
- Responda
- É verdade
4) Todas as funções contínuas têm uma antiderivada.
Nos exercícios 5 a 8, avalie as somas de Riemann\( L_4\) e\( R_4\) as funções dadas no intervalo especificado. Compare sua resposta com a resposta exata, quando possível, ou use uma calculadora para determinar a resposta.
5)\( y=3x^2−2x+1)\) acabou\( [−1,1]\)
- Responda
- \( L_4=5.25, \;R_4=3.25,\)resposta exata: 4
6)\( y=\ln(x^2+1)\) acabou\( [0,e]\)
7)\( y=x^2\sin x\) acabou\( [0,π]\)
- Responda
- \( L_4=5.364,\;R_4=5.364,\)resposta exata:\( 5.870\)
8)\( y=\sqrt{x}+\frac{1}{x}\) acabou\( [1,4]\)
Nos exercícios 9 a 12, avalie as integrais.
9)\(\displaystyle ∫^1_{−1}(x^3−2x^2+4x)\,dx\)
- Responda
- \( −\frac{4}{3}\)
10)\(\displaystyle ∫^4_0\frac{3t}{\sqrt{1+6t^2}}\,dt\)
11)\(\displaystyle ∫^{π/2}_{π/3}2\sec(2θ)\tan(2θ)\,dθ\)
- Responda
- \(1\)
12)\(\displaystyle ∫^{π/4}_0e^{\cos^2x}\sin x\cos x\,dx\)
Nos exercícios 13 a 16, encontre a antiderivada.
13)\(\displaystyle ∫\frac{dx}{(x+4)^3}\)
- Responda
- \( −\dfrac{1}{2(x+4)^2}+C\)
14)\(\displaystyle ∫x\ln(x^2)\,dx\)
15)\(\displaystyle ∫\frac{4x^2}{\sqrt{1−x^6}}\,dx\)
- Responda
- \(\displaystyle \frac{4}{3}\sin^{−1}(x^3)+C\)
16)\(\displaystyle ∫\frac{e^{2x}}{1+e^{4x}}\,dx\)
Nos exercícios 17 a 20, encontre a derivada.
17)\(\displaystyle \frac{d}{dt}∫^t_0\frac{\sin x}{\sqrt{1+x^2}}\,dx\)
- Responda
- \( \dfrac{\sin t}{\sqrt{1+t^2}}\)
18)\(\displaystyle \frac{d}{dx}∫^{x^3}_1\sqrt{4−t^2}\,dt\)
19)\(\displaystyle \frac{d}{dx}∫^{\ln(x)}_1(4t+e^t)\,dt\)
- Responda
- \( 4\dfrac{\ln x}{x}+1\)
20)\(\displaystyle \frac{d}{dx}∫^{\cos x}_0e^{t^2}\,dt\)
Nos exercícios 21 a 23, considere o custo médio histórico por gigabyte de RAM em um computador.
| Ano | Mudança de 5 anos ($) |
| 1980 | \(0\) |
| 1985 | \(−5,468,750\) |
| 1990 | \(-755,495\) |
| 1995 | \(−73,005\) |
| 2000 | \(−29,768\) |
| 2005 | \(−918\) |
| 2010 | \(−177\) |
21) Se o custo médio por gigabyte de RAM em 2010 for\($12\), encontre o custo médio por gigabyte de RAM em 1980.
- Responda
- \($6,328,113\)
Solução: $6,328,113
22) O custo médio por gigabyte de RAM pode ser aproximado pela função\( C(t)=8,500,000(0.65)^t\), que\( t\) é medido em anos desde 1980, e\( C\) é custo em dólares americanos. Encontre o custo médio por gigabyte de RAM para o período de 1980 a 2010.
23) Encontre o custo médio de\(1\) GB de RAM de 2005 a 2010.
- Responda
- \($73.36\)
24) A velocidade de uma bala de um rifle pode ser aproximada por\( v(t)=6400t^2−6505t+2686,\) onde\( t\) está segundos após o tiro e v é a velocidade medida em pés por segundo. Essa equação modela apenas a velocidade no primeiro meio segundo após o disparo:\( 0≤t≤0.5.\) Qual é a distância total que a bala percorre em\(0.5\) segundos?
25) Qual é a velocidade média da bala no primeiro meio segundo?
- Responda
- \( \frac{19117}{12}\)pés/seg, ou cerca de\(1593\) pés/seg