Determinar a distância da velocidade é apenas uma das muitas aplicações da integração. Na verdade, as integrais são usadas em uma ampla variedade de aplicações mecânicas e físicas. Neste capítulo, primeiro apresentamos a teoria por trás da integração e usamos integrais para calcular áreas. A partir daí, desenvolvemos o Teorema Fundamental do Cálculo, que relaciona diferenciação e integração. Em seguida, estudamos algumas técnicas básicas de integração e examinamos brevemente algumas aplicações.
Nesta seção, desenvolvemos técnicas para aproximar a área entre uma curva, definida por uma função f (x), e o eixo x em um intervalo fechado [a, b]. Como Arquimedes, primeiro aproximamos a área abaixo da curva usando formas de área conhecida (ou seja, retângulos). Usando retângulos cada vez menores, aproximamos cada vez mais a área. Tomar um limite nos permite calcular a área exata abaixo da curva.
Se f (x) é uma função definida em um intervalo [a, b], a integral definida de f de a a b é dada∫baf(x)dx=limn→∞n∑i=1f(x∗i)Δx, desde que o limite exista. Se esse limite existir, diz-se que a função f (x) é integrável em [a, b] ou é uma função integrável. Os números a e b são chamados de limites de integração; especificamente, a é o limite inferior e b é o limite superior. A função f (x) é o integrando e x é a variável de integração.
O Teorema Fundamental do Cálculo nos deu um método para calcular integrais sem usar somas de Riemann. A desvantagem desse método, porém, é que devemos ser capazes de encontrar uma antiderivada, e isso nem sempre é fácil.
O teorema da mudança líquida afirma que quando uma quantidade muda, o valor final é igual ao valor inicial mais a integral da taxa de variação. A variação líquida pode ser um número positivo, um número negativo ou zero. A área sob uma função uniforme em um intervalo simétrico pode ser calculada dobrando a área sobre o eixo x positivo. Para uma função ímpar, a integral em um intervalo simétrico é igual a zero, porque metade da área é negativa.
Nesta seção, examinamos uma técnica, chamada integração por substituição, para nos ajudar a encontrar antiderivadas. Especificamente, esse método nos ajuda a encontrar antiderivadas quando o integrando é o resultado de uma derivada de regra em cadeia.
As funções exponenciais e logarítmicas surgem em muitas aplicações do mundo real, especialmente aquelas que envolvem crescimento e decadência. A substituição é frequentemente usada para avaliar integrais envolvendo funções exponenciais ou logaritmos.
Lembre-se de que as funções trigonométricas não são individuais, a menos que os domínios sejam restritos. Ao trabalhar com inversas de funções trigonométricas, sempre precisamos ter o cuidado de levar em consideração essas restrições. Também em Derivadas, desenvolvemos fórmulas para derivadas de funções trigonométricas inversas. As fórmulas desenvolvidas lá dão origem diretamente a fórmulas de integração envolvendo funções trigonométricas inversas.
