5.7: Integrais que resultam em funções trigonométricas inversas
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- Integre funções resultando em funções trigonométricas inversas
Nesta seção, focamos em integrais que resultam em funções trigonométricas inversas. Já trabalhamos com essas funções antes. Lembre-se de que as funções trigonométricas não são individuais, a menos que os domínios sejam restritos. Ao trabalhar com inversas de funções trigonométricas, sempre precisamos ter o cuidado de levar em consideração essas restrições. Além disso, desenvolvemos anteriormente fórmulas para derivadas de funções trigonométricas inversas. As fórmulas desenvolvidas lá dão origem diretamente a fórmulas de integração envolvendo funções trigonométricas inversas.
Integrais que resultam em funções trigonométricas inversas
Vamos começar esta última seção do capítulo com as três fórmulas. Junto com essas fórmulas, usamos a substituição para avaliar as integrais. Nós provamos a fórmula para a integral inversa do seno.
As seguintes fórmulas de integração produzem funções trigonométricas inversas:
\[ \begin{align} ∫\dfrac{du}{\sqrt{a^2−u^2}} =\sin^{−1}\left(\dfrac{u}{a}\right)+C \\ ∫\dfrac{du}{a^2+u^2} =\dfrac{1}{a}\tan^{−1}\left(\dfrac{u}{a}\right)+C \\ ∫\dfrac{du}{u\sqrt{u^2−a^2}} =\dfrac{1}{a}\sec^{−1}\left(\dfrac{|u|}{a}\right)+C \end{align} \nonumber \]
Deixe\( y=\sin^{−1}\frac{x}{a}\). Então\( a \sin y=x\). Agora, usando a diferenciação implícita, obtemos
\[ \dfrac{d}{dx}(a \sin y)=\dfrac{d}{dx}(x) \nonumber \]
\[ a\cos y\dfrac{dy}{dx}=1 \nonumber \]
\[ \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{a\cos y}. \nonumber \]
\( −\dfrac{π}{2}≤y≤\dfrac{π}{2},\cos y≥0.\)Pois Assim, aplicando a identidade pitagórica\( \sin^2y+\cos^2y=1\), temos\( \cos y=\sqrt{1-\sin^2y}.\) Isso dá
\[ \begin{align} \dfrac{1}{a \cos y} =\dfrac{1}{a\sqrt{1−\sin^2y}} \\ =\dfrac{1}{\sqrt{a^2−a^2 \sin^2y}} \\ =\dfrac{1}{\sqrt{a^2−x^2}}. \end{align} \nonumber \]
Então,\( −a≤x≤a,\) pois temos
\[ ∫\dfrac{1}{\sqrt{a^2−u^2}}\,du=\sin^{−1}\left(\frac{u}{a}\right)+C. \nonumber \]
□
Avalie a integral definida
\[ ∫^{1/2}_0\dfrac{dx}{\sqrt{1−x^2}}. \nonumber \]
Solução
Podemos ir diretamente para a fórmula da antiderivada na regra sobre fórmulas de integração que resultam em funções trigonométricas inversas e, em seguida, calcular a integral definida. Nós temos
\[\int_0^{1/2}\dfrac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \sin^{-1} x \,\bigg|_0^{1/2} = \sin^{-1} \tfrac{1}{2} - \sin^{-1} 0 = \dfrac{\pi}{6}-0 = \dfrac{\pi}{6}. \nonumber \]
Observe que, como o integrando é simplesmente a derivada de\(\sin^{-1} x\), na verdade estamos apenas usando esse fato para encontrar a antiderivada aqui.
Encontre a integral indefinida usando uma função trigonométrica inversa e substituindo\(\displaystyle ∫\dfrac{dx}{\sqrt{9−x^2}}\).
- Dica
-
Use a fórmula na regra sobre fórmulas de integração que resultam em funções trigonométricas inversas.
- Responda
-
\( \displaystyle ∫\dfrac{dx}{\sqrt{9−x^2}} \quad=\quad \sin^{−1}\left(\dfrac{x}{3}\right)+C \)
Em muitas integrais que resultam em funções trigonométricas inversas na antiderivada, talvez precisemos usar a substituição para ver como usar as fórmulas de integração fornecidas acima.
Avalie a integral
\[ ∫\dfrac{dx}{\sqrt{4−9x^2}}.\nonumber \]
Solução
Substituto\( u=3x\). Então,\( du=3\,dx\) e nós temos
\[ ∫\dfrac{dx}{\sqrt{4−9x^2}}=\dfrac{1}{3}∫\dfrac{du}{\sqrt{4−u^2}}.\nonumber \]
Aplicando a fórmula com\( a=2,\) obtemos
\[ ∫\dfrac{dx}{\sqrt{4−9x^2}}=\dfrac{1}{3}∫\dfrac{du}{\sqrt{4−u^2}}=\dfrac{1}{3}\sin^{−1}\left(\dfrac{u}{2}\right)+C=\dfrac{1}{3}\sin^{−1}\left(\dfrac{3x}{2}\right)+C.\nonumber \]
Encontre a antiderivada de\(\displaystyle ∫\dfrac{dx}{\sqrt{1−16x^2}}.\)
- Dica
-
Substituto\( u=4x\).
- Responda
-
\( \displaystyle ∫\dfrac{dx}{\sqrt{1−16x^2}} = \dfrac{1}{4}\sin^{−1}(4x)+C\)
Avalie a integral definida
\[ ∫^{\sqrt{3}/2}_0\dfrac{du}{\sqrt{1−u^2}}\nonumber. \nonumber \]
Solução
O formato do problema corresponde à fórmula do seno inverso. Assim,
\[ ∫^{\sqrt{3}/2}_0\dfrac{du}{\sqrt{1−u^2}}=\sin^{−1}u\,\bigg|^{\sqrt{3}/2}_0=[\sin^{−1}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)]−[\sin^{−1}(0)]=\dfrac{π}{3}.\nonumber \]
Integrais que resultam em outras funções trigonométricas inversas
Existem seis funções trigonométricas inversas. No entanto, apenas três fórmulas de integração são anotadas na regra sobre fórmulas de integração, resultando em funções trigonométricas inversas porque as três restantes são versões negativas das que usamos. A única diferença é se o integrando é positivo ou negativo. Em vez de memorizar mais três fórmulas, se o integrando for negativo, basta fatorar −1 e calcular a integral usando uma das fórmulas já fornecidas. Para fechar esta seção, examinamos mais uma fórmula: a integral que resulta na função tangente inversa.
Encontre a antiderivada de\(\displaystyle ∫\dfrac{1}{9+x^2}\,dx.\)
Solução
Aplique a fórmula com\( a=3\). Em seguida,
\[ ∫\dfrac{dx}{9+x^2}=\dfrac{1}{3}\tan^{−1}\left(\dfrac{x}{3}\right)+C. \nonumber \]
Encontre a antiderivada de\(\displaystyle ∫\dfrac{dx}{16+x^2}\).
- Dica
-
Siga as etapas em Exemplo\( \PageIndex{4}\).
- Responda
-
\(\displaystyle ∫\dfrac{dx}{16+x^2} = \frac{1}{4}\tan^{−1}\left(\dfrac{x}{4}\right)+C \)
Encontre uma antiderivada de\(\displaystyle ∫\dfrac{1}{1+4x^2}\,dx.\)
Solução
Comparando esse problema com as fórmulas declaradas na regra sobre fórmulas de integração que resultam em funções trigonométricas inversas, o integrando é semelhante à fórmula para\( \tan^{−1} u+C\). Então, usamos substituição, deixando\( u=2x\), então\( du=2\,dx\) e\( \dfrac{1}{2}\,du=dx.\) então, temos
\[ \dfrac{1}{2}∫\dfrac{1}{1+u^2}\,du=\dfrac{1}{2}\tan^{−1}u+C=\dfrac{1}{2}\tan^{−1}(2x)+C. \nonumber \]
Use a substituição para encontrar a antiderivada de\(\displaystyle ∫\dfrac{dx}{25+4x^2}.\)
- Dica
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Use a estratégia de resolução do Example\( \PageIndex{5}\) e a regra sobre fórmulas de integração que resultam em funções trigonométricas inversas.
- Responda
-
\(\displaystyle ∫\dfrac{dx}{25+4x^2} = \dfrac{1}{10}\tan^{−1}\left(\dfrac{2x}{5}\right)+C \)
Avalie a integral definida\(\displaystyle ∫^{\sqrt{3}}_{\sqrt{3}/3}\dfrac{dx}{1+x^2}\).
Solução
Use a fórmula para a tangente inversa. Nós temos
\[\int_{\sqrt{3}/3}^{\sqrt{3}} \frac{dx}{1+x^2} = \tan^{-1}x\,\bigg|_{\sqrt{3}/3}^{\sqrt{3}} = [\tan^{-1}\left(\sqrt{3}\right)] - [\tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)] =\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} =\frac{\pi}{6}.\nonumber \]
Avalie a integral definida\(\displaystyle ∫^2_0\dfrac{dx}{4+x^2}\).
- Dica
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Siga os procedimentos do Example\(\PageIndex{6}\) para resolver o problema.
- Responda
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\(\displaystyle ∫^2_0\dfrac{dx}{4+x^2} = \dfrac{π}{8} \)
Conceitos-chave
- Fórmulas para derivadas de funções trigonométricas inversas desenvolvidas em Derivadas de funções exponenciais e logarítmicas levam diretamente a fórmulas de integração envolvendo funções trigonométricas inversas.
- Use as fórmulas listadas na regra sobre fórmulas de integração que resultam em funções trigonométricas inversas para combinar o formato correto e fazer as alterações necessárias para resolver o problema.
- Muitas vezes, a substituição é necessária para colocar o integrando na forma correta.
Equações-chave
- Integrais que produzem funções trigonométricas inversas
\(\displaystyle ∫\dfrac{du}{\sqrt{a^2−u^2}}=\sin^{−1}\left(\dfrac{u}{a}\right)+C\)
\(\displaystyle ∫\dfrac{du}{a^2+u^2}=\dfrac{1}{a}\tan^{−1}\left(\dfrac{u}{a}\right)+C\)
\(\displaystyle ∫\dfrac{du}{u\sqrt{u^2−a^2}}=\dfrac{1}{a}\sec^{−1}\left(\dfrac{|u|}{a}\right)+C\)
Contribuidores e atribuições
- Template:ContribOpenStaxCalc
- Includes some added textual clarifications and edits by Paul Seeburger (Monroe Community College)