5.6E: Exercícios para a Seção 5.6

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Para os exercícios 1 a 8, calcule cada integral indefinida.

1)$\displaystyle ∫e^{2x}\,dx$

2)$\displaystyle ∫e^{−3x}\,dx$

Responda: $\displaystyle ∫e^{−3x}\,dx \quad = \quad \frac{−1}{3}e^{−3x}+C$

3)$\displaystyle ∫2^x\,dx$

4)$\displaystyle ∫3^{−x}\,dx$

Responda: $\displaystyle ∫3^{−x}\,dx \quad = \quad −\frac{3^{−x}}{\ln 3}+C$

5)$\displaystyle ∫\frac{1}{2x}\,dx$

6)$\displaystyle ∫\frac{2}{x}\,dx$

Responda: $\displaystyle ∫\frac{2}{x}\,dx \quad = \quad 2\ln x+C \quad = \quad \ln(x^2)+C$

7)$\displaystyle ∫\frac{1}{x^2}\,dx$

8)$\displaystyle ∫\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$

Responda: $\displaystyle ∫\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx \quad = \quad 2\sqrt{x}+C$

Nos exercícios 9 a 16, encontre cada integral indefinida usando as substituições apropriadas.

9)$\displaystyle ∫\frac{\ln x}{x}\,dx$

10)$\displaystyle ∫\frac{dx}{x(\ln x)^2}$

Responda: $\displaystyle ∫\frac{dx}{x(\ln x)^2} \quad = \quad −\frac{1}{\ln x}+C$

11)$\displaystyle ∫\frac{dx}{x\ln x}\quad (x>1)$

12)$\displaystyle ∫\frac{dx}{x\ln x\ln(\ln x)}$

Responda: $\displaystyle ∫\frac{dx}{x\ln x\ln(\ln x)} \quad = \quad \ln(\ln(\ln x))+C$

13)$\displaystyle ∫\tan θ\,dθ$

14)$\displaystyle ∫\frac{\cos x−x\sin x}{x\cos x}\,dx$

Responda: $\displaystyle ∫\frac{\cos x−x\sin x}{x\cos x}\,dx \quad = \quad \ln(x\cos x)+C$

15)$\displaystyle ∫\frac{\ln(\sin x)}{\tan x}\,dx$

16)$\displaystyle ∫\ln(\cos x)\tan x\,dx$

Responda: $\displaystyle ∫\ln(\cos x)\tan x\,dx \quad = \quad −\dfrac{1}{2}(\ln(\cos(x)))^2+C$

17)$\displaystyle ∫xe^{−x^2}\,dx$

18)$\displaystyle ∫x^2e^{−x^3}\,dx$

Responda: $\displaystyle ∫x^2e^{−x^3}\,dx \quad = \quad \dfrac{−e^{−x^3}}{3}+C$

19)$\displaystyle ∫e^{\sin x}\cos x\,dx$

20)$\displaystyle ∫e^{\tan x}\sec^2 x\,dx$

Responda: $\displaystyle ∫e^{\tan x}\sec^2 x\,dx\quad = \quad e^{\tan x}+C$

21)$\displaystyle ∫\frac{e^{\ln x}}{x}\,dx $

22)$\displaystyle ∫\frac{e^{\ln(1−t)}}{1−t}\,dt$

Responda: $\displaystyle ∫\frac{e^{\ln(1−t)}}{1−t}\,dt = \int \frac{1-t}{1-t}\,dt = \int 1\, dt \quad = \quad t+C$

Nos exercícios 23 a 28, verifique por diferenciação isso e$\displaystyle ∫\ln x\,dx=x(\ln x−1)+C$, em seguida, use as mudanças apropriadas das variáveis para calcular a integral.

23)$\displaystyle ∫\ln x\,dx$ (Dica:$\displaystyle ∫\ln x\,dx=\frac{1}{2}∫x\ln(x^2)\,dx$)

24)$\displaystyle ∫x^2\ln^2 x\,dx$

Responda: $\displaystyle ∫x^2\ln^2 x\,dx \quad = \quad \dfrac{1}{9}x^3(\ln(x^3)−1)+C$

25)$\displaystyle ∫\frac{\ln x}{x^2}\,dx$ (Dica: Set$u=\dfrac{1}{x}.)$

26)$\displaystyle ∫\frac{\ln x}{\sqrt{x}}\,dx$ (Dica: Set$u=\sqrt{x}.)$

Responda: $ \displaystyle ∫\frac{\ln x}{\sqrt{x}}\,dx \quad = \quad 2\sqrt{x}(\ln x−2)+C$

27) Escreva uma integral para expressar a área sob o gráfico$y=\dfrac{1}{t}$ de$ t=1$ até$e^x$ e calcule a integral.

28) Escreva uma integral para expressar a área sob o gráfico$y=e^t$ entre$t=0$ e e$t=\ln x$ calcule a integral.

Responda: $\displaystyle ∫^{\ln x}_0e^t\,dt=e^t\bigg|^{\ln x}_0=e^{\ln x}−e^0=x−1$

Nos exercícios 29 a 35, use substituições apropriadas para expressar as integrais trigonométricas em termos de composições com logaritmos.

29)$\displaystyle ∫\tan(2x)\,dx$

30)$\displaystyle ∫\frac{\sin(3x)−\cos(3x)}{\sin(3x)+\cos(3x)}\,dx$

Responda: $ \displaystyle ∫\frac{\sin(3x)−\cos(3x)}{\sin(3x)+\cos(3x)}\,dx \quad = \quad −\frac{1}{3}\ln|\sin(3x)+\cos(3x)| + C$

31)$\displaystyle ∫\frac{x\sin(x^2)}{\cos(x^2)}\,dx$

32)$\displaystyle ∫x\csc(x^2)\,dx$

Responda: $ \displaystyle ∫x\csc(x^2)\,dx \quad = \quad −\frac{1}{2}\ln∣\csc(x^2)+\cot(x^2)∣+C$

33)$\displaystyle ∫\ln(\cos x)\tan x\,dx$

34)$\displaystyle ∫\ln(\csc x)\cot x\,dx$

Responda: $ \displaystyle ∫\ln(\csc x)\cot x\,dx \quad = \quad −\frac{1}{2}(\ln(\csc x))^2+C$

(35)$\displaystyle ∫\frac{e^x−e^{−x}}{e^x+e^{−x}}\,dx$

Nos exercícios 36 a 40, avalie a integral definida.

36)$\displaystyle ∫^2_1\frac{1+2x+x^2}{3x+3x^2+x^3}\,dx$

Responda: $\displaystyle ∫^2_1\frac{1+2x+x^2}{3x+3x^2+x^3}\,dx \quad = \quad \frac{1}{3}\ln\left(\tfrac{26}{7}\right)$

37)$\displaystyle ∫^{π/4}_0\tan x\,dx$

38)$\displaystyle ∫^{π/3}_0\frac{\sin x−\cos x}{\sin x+\cos x}\,dx$

Responda: $\displaystyle ∫^{π/3}_0\frac{\sin x−\cos x}{\sin x+\cos x}\,dx \quad = \quad \ln(\sqrt{3}−1)$

39)$\displaystyle ∫^{π/2}_{π/6}\csc x\,dx$

40)$\displaystyle ∫^{π/3}_{π/4}\cot x\,dx$

Responda: $\displaystyle ∫^{π/3}_{π/4}\cot x\,dx \quad = \quad \frac{1}{2}\ln\frac{3}{2}$

Nos exercícios 41 a 46, integre usando a substituição indicada.

41)$\displaystyle ∫\frac{x}{x−100}\,dx;\quad u=x−100$

(42)$\displaystyle ∫\frac{y−1}{y+1}\,dy;\quad u=y+1$

Responda: $ \displaystyle ∫\frac{y−1}{y+1}\,dy \quad = \quad y−2\ln|y+1|+C$

43)$\displaystyle ∫\frac{1−x^2}{3x−x^3}\,dx;\quad u=3x−x^3$

44)$\displaystyle ∫\frac{\sin x+\cos x}{\sin x−\cos x}\,dx;\quad u=\sin x−\cos x$

Responda: $\displaystyle ∫\frac{\sin x+\cos x}{\sin x−\cos x}\,dx \quad=\quad \ln|\sin x−\cos x|+C$

45)$\displaystyle ∫e^{2x}\sqrt{1−e^{2x}}\,dx;\quad u=e^{2x}$

(46)$\displaystyle ∫\ln(x)\frac{\sqrt{1−(\ln x)^2}}{x}\,dx;\quad u=\ln x$

Responda: $\displaystyle ∫\ln(x)\frac{\sqrt{1−(\ln x)^2}}{x}\,dx \quad = \quad −\frac{1}{3}(1−(\ln x^2))^{3/2}+C$

47)$\displaystyle \int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2}\,dx; \quad u = \sqrt{x} + 2$

Responda: $\displaystyle \int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2}\,dx \quad = \quad \left( \sqrt{x} + 2 \right)^2 - 8\left( \sqrt{x} + 2 \right) + 8\ln\left( \sqrt{x} + 2 \right) + C$

48)$\displaystyle \int e^x\sec(e^x+1)\tan(e^x+1)\,dx; \quad u = e^{x} + 1$

Responda: $\displaystyle \int e^x\sec(e^x+1)\tan(e^x+1)\,dx \quad = \quad \sec(e^x+1) + C$

Nos exercícios 49 a 54, indique se a aproximação do ponto final à direita superestima ou subestima a área exata. Em seguida, calcule a estimativa do ponto final correto$R_{50}$ e resolva a área exata.

49) [T]$y=e^x$ acabou$[0,1]$

50) [T]$ y=e^{−x}$ mais$[0,1]$

Responda: Como$f$ está diminuindo, a estimativa do ponto final correto subestima a área.
Solução exata:$\dfrac{e−1}{e},\quad R_{50}=0.6258$.

51) [T]$y=\ln(x)$ acabou$[1,2]$

52) [T]$y=\dfrac{x+1}{x^2+2x+6}$ acabou$ [0,1]$

Responda: Como$f$ está aumentando, a estimativa do ponto final correto superestima a área.
Solução exata:$\dfrac{2\ln(3)−\ln(6)}{2},\quad R_{50}=0.2033.$

53) [T]$y=2^x$ acabou$[−1,0]$

54) [T]$ y=−2^{−x}$ acabou$ [0,1]$

Responda: Como$f$ está aumentando, a estimativa do ponto final direito superestima a área (a área real é um número negativo maior).
Solução exata:$−\dfrac{1}{\ln(4)},\quad R_{50}=−0.7164.$

Nos exercícios 55 - 58,$f(x)≥0$ para$a≤x≤b$. Encontre a área abaixo do gráfico$f(x)$ entre os valores fornecidos$a$ e$b$ integrando.

55)$f(x)=\dfrac{\log_{10}(x)}{x};\quad a=10,b=100$

56)$f(x)=\dfrac{\log_2(x)}{x};\quad a=32,b=64$

Responda: $\dfrac{11}{2}\ln 2$

57)$f(x)=2^{−x};\quad a=1,b=2$

(58)$f(x)=2^{−x};\quad a=3,b=4$

Responda: $\dfrac{1}{\ln(65,536)}$

59) Encontre a área abaixo do gráfico da função$ f(x)=xe^{−x^2}$ entre$x=0$$x=5$ e.

60) Calcule a integral de$f(x)=xe^{−x^2}$ e encontre o menor valor de$N$ tal forma que a área sob o gráfico$f(x)=xe^{−x^2}$ entre$ x=N$ e$x=N+10$ seja, no máximo,$0.01$.

Responda: $\displaystyle ∫^{N+1}_Nxe^{−x^2}\,dx=\frac{1}{2}(e^{−N^2}−e^{−(N+1)^2}).$A quantidade é menor do que$0.01$ quando$N=2$.

61) Encontre o limite, como$N$ tende ao infinito, da área sob o gráfico de$f(x)=xe^{−x^2}$ entre$x=0$$x=5$ e.

62) Mostre isso$\displaystyle ∫^b_a\frac{dt}{t}=∫^{1/a}_{1/b}\frac{dt}{t}$ quando$0<a≤b$.

Responda: $\displaystyle ∫^b_a\frac{dx}{x}=\ln(b)−\ln(a)=\ln(\frac{1}{a})−\ln(\frac{1}{b})=∫^{1/a}_{1/b}\frac{dx}{x}$

63) Suponha que,$f(x)>0$ para todos$x$ e para isso$f$,$g$ sejam diferenciáveis. Use a identidade$ f^g=e^{g\ln f}$ e a regra da cadeia para encontrar a derivada de$ f^g$.

64) Use o exercício anterior para encontrar a antiderivada$h(x)=x^x(1+\ln x)$ e avaliar$\displaystyle ∫^3_2x^x(1+\ln x)\,dx$.

Responda: 23

65) Mostre que se$c>0$, então a integral$\frac{1}{x}$ de de$ac$ para$bc$ $(\text{for}\,0<a<b)$é a mesma que a integral de$\frac{1}{x}$ de$a$ para $b$.

Os exercícios a seguir têm como objetivo derivar as propriedades fundamentais do log natural a partir da definição$\displaystyle \ln(x)=∫^x_1\frac{dt}{t}$, usando propriedades da integral definida e sem fazer mais suposições.

66) Use a identidade$\displaystyle \ln(x)=∫^x_1\frac{dt}{t}$ para derivar a identidade$\ln\left(\dfrac{1}{x}\right)=−\ln x$.

Responda: Podemos supor que$x>1$,$\dfrac{1}{x}<1.$ então,$\displaystyle ∫^{1/x}_{1}\frac{dt}{t}$. Agora faça a substituição$u=\dfrac{1}{t}$, so$du=−\dfrac{dt}{t^2}$ e$\dfrac{du}{u}=−\dfrac{dt}{t}$, e altere os endpoints:$\displaystyle ∫^{1/x}_1\frac{dt}{t}=−∫^x_1\frac{du}{u}=−\ln x.$

67) Use uma mudança de variável na integral$\displaystyle ∫^{xy}_1\frac{1}{t}\,dt$ para mostrar isso$\ln xy=\ln x+\ln y$ para$ x,y>0$.

68) Use a identidade$\displaystyle \ln x=∫^x_1\frac{dt}{x}$ para mostrar que$\ln(x)$ é uma função crescente de$x$ on$[0,∞)$ e use os exercícios anteriores para mostrar que o alcance de$\ln(x)$ é$(−∞,∞)$. Sem quaisquer outras suposições, conclua que$\ln(x)$ tem uma função inversa definida em$ (−∞,∞).$

69) Finja, no momento, que não sabemos que essa$e^x$ é a função inversa de$\ln(x)$, mas tenha em mente que$\ln(x)$ tem uma função inversa definida em$ (−∞,∞)$. Ligue para isso$E$. Use a identidade$\ln xy=\ln x+\ln y$ para deduzir isso$E(a+b)=E(a)E(b)$ para qualquer número real$a$,$b$.

70) Finja, no momento, que não sabemos que essa$ e^x$ é a função inversa de$\ln x$, mas tenha em mente que$ \ln x$ tem uma função inversa definida em$(−∞,∞)$. Ligue para isso$E$. Mostre isso$E'(t)=E(t).$

Responda: $x=E(\ln(x)).$Então,$1=\dfrac{E'(\ln x)}{x}$ ou$x=E'(\ln x)$. Como qualquer número$t$ pode ser escrito$t=\ln x$ para alguns$x$, e para tal$t$ nós temos$x=E(t)$, segue-se que para qualquer$t,\,E'(t)=E(t).$

71) A integral senoidal, definida como$\displaystyle S(x)=∫^x_0\frac{\sin t}{t}\,dt$ é uma quantidade importante em engenharia. Embora não tenha uma fórmula fechada simples, é possível estimar seu comportamento em grande escala$x$. Mostre isso para$k≥1,\quad |S(2πk)−S(2π(k+1))|≤\dfrac{1}{k(2k+1)π}.$ (Dica:$ \sin(t+π)=−\sin t$)

72) [T] A distribuição normal em probabilidade é dada por$p(x)=\dfrac{1}{σ\sqrt{2π}}e^{−(x−μ)^2/2σ^2}$, onde$σ$ é o desvio padrão e$μ$ é a média. A distribuição normal padrão em probabilidade$p_s$,, corresponde a$ μ=0$$σ=1$ e. Calcule as estimativas do ponto final esquerdo$R_{10}$ e$R_{100}$ de$\displaystyle ∫^1_{−1}\frac{1}{\sqrt{2π}}e^{−x^{2/2}}\,dx.$

Responda: $R_{10}=0.6811,\quad R_{100}=0.6827$

$Um gráfico da função f (x) = .5 * (sqrt (2) *e^ (-.5x^2))/sqrt (pi). É uma curva de abertura descendente que é simétrica em todo o eixo y, cruzando cerca de (0, .4). Ele se aproxima de 0 quando x vai para o infinito positivo e negativo. Entre 1 e -1, dez retângulos são desenhados para uma estimativa do ponto final direito da área sob a curva.$

73) [T] Calcule as estimativas corretas do ponto final$R_{50}$ e$R_{100}$ de$\displaystyle ∫^5_{−3}\frac{1}{2\sqrt{2π}}e^{−(x−1)^2/8}$.

Contribuidores e atribuições

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Paul Seeburger (Monroe Community College) added problems 47-48 to Section 5.6 exercises.