5.6: Integrais envolvendo funções exponenciais e logarítmicas
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- Integre funções envolvendo funções exponenciais.
- Integre funções envolvendo funções logarítmicas.
As funções exponenciais e logarítmicas são usadas para modelar o crescimento populacional, o crescimento celular e o crescimento financeiro, bem como a depreciação, o decaimento radioativo e o consumo de recursos, para citar apenas algumas aplicações. Nesta seção, exploramos a integração envolvendo funções exponenciais e logarítmicas.
Integrais de funções exponenciais
A função exponencial é talvez a função mais eficiente em termos das operações de cálculo. A função exponencial,\(y=e^x\), é sua própria derivada e sua própria integral.
As funções exponenciais podem ser integradas usando as seguintes fórmulas.
\[ \begin{align} ∫e^x\,dx &= e^x+C \\[4pt] ∫a^x\,dx &=\dfrac{a^x}{\ln a}+C \end{align} \nonumber \]
Encontre a antiderivada da função exponencial\(e^{−x}\).
Solução
Use substituição, configuração\(u=−x,\) e depois\(du=−1\,dx\). Multiplique a\(du\) equação por\(−1\), então você tem agora\(−du=\,dx\). Então,
\[∫e^{−x}\,dx=−∫e^u\,du=−e^u+C=−e^{−x}+C. \nonumber \]
Encontre a antiderivada da função usando a substituição:\(x^2e^{−2x^3}\).
- Dica
-
Seja\(u\) igual ao expoente em\(e\).
- Responda
-
\(\displaystyle ∫x^2e^{−2x^3}\,dx=−\dfrac{1}{6}e^{−2x^3}+C\)
Um erro comum ao lidar com expressões exponenciais é tratar o expoente\(e\) da mesma forma que tratamos expoentes em expressões polinomiais. Não podemos usar a regra da potência para o expoente ligado\(e\). Isso pode ser especialmente confuso quando temos exponenciais e polinômios na mesma expressão, como no ponto de verificação anterior. Nesses casos, devemos sempre verificar se estamos usando as regras corretas para as funções que estamos integrando.
Encontre a antiderivada da função exponencial\(e^x\sqrt{1+e^x}\).
Solução
Primeiro, reescreva o problema usando um expoente racional:
\[∫e^x\sqrt{1+e^x}\,dx=∫e^x(1+e^x)^{1/2}\,dx.\nonumber \]
Usando a substituição, escolha\(u=1+e^x\). Então,\(du=e^x\,dx\). Nós temos
\[∫e^x(1+e^x)^{1/2}\,dx=∫u^{1/2}\,du.\nonumber \]
Então
\[∫u^{1/2}\,du=\dfrac{u^{3/2}}{3/2}+C=\dfrac{2}{3}u^{3/2}+C=\dfrac{2}{3}(1+e^x)^{3/2}+C\nonumber \]
![Um gráfico da função f (x) = e^x * sqrt (1 + e^x), que é uma curva ascendente côncava crescente, acima de [-3, 1]. Ele começa próximo ao eixo x no quadrante dois, cruza o eixo y em (0, sqrt (2)) e continua aumentando rapidamente.](https://math.libretexts.org/@api/deki/files/12432/5.6.1.png)
Encontre a antiderivada de\(e^x(3e^x−2)^2\).
- Dica
-
Deixe\(u=3e^x−2\).
- Responda
-
\(\displaystyle ∫e^x(3e^x−2)^2\,dx=\dfrac{1}{9}(3e^x−2)^3+C\)
Use a substituição para avaliar a integral indefinida\(\displaystyle ∫3x^2e^{2x^3}\,dx.\)
Solução
Aqui, escolhemos deixar\(u\) igualar a expressão no expoente on\(e\). Deixe\(u=2x^3\)\(du=6x^2\,dx\) e. Novamente,\(du\) está desativado por um multiplicador constante; a função original contém um fator de\(3x^2,\) não\(6x^2\). Multiplique os dois lados da equação por\(\dfrac{1}{2}\) para que o integrando in seja\(u\) igual ao integrando em\(x\). Assim,
\[∫3x^2e^{2x^3}\,dx=\frac{1}{2}∫e^u\,du. \nonumber \]
Integre a expressão em\(u\) e, em seguida, substitua a expressão original de\(x\) volta na\(u\) integral -:
\[\frac{1}{2}∫e^u\,du=\frac{1}{2}e^u+C=\frac{1}{2}e^2x^3+C. \nonumber \]
Avalie a integral indefinida\(\displaystyle ∫2x^3e^{x^4}\,dx\).
- Dica
-
Deixe\(u=x^4.\)
- Responda
-
\(\displaystyle ∫2x^3e^{x^4}\,dx=\frac{1}{2}e^{x^4}+C\)
Conforme mencionado no início desta seção, as funções exponenciais são usadas em muitas aplicações da vida real. O número geralmente\(e\) está associado a um crescimento composto ou acelerado, como vimos nas seções anteriores sobre a derivada. Embora a derivada represente uma taxa de variação ou uma taxa de crescimento, a integral representa a mudança total ou o crescimento total. Vejamos um exemplo em que a integração de uma função exponencial resolve um aplicativo comercial comum.
Uma função preço-demanda nos diz a relação entre a quantidade de um produto demandado e o preço do produto. Em geral, o preço diminui à medida que a quantidade exigida aumenta. A função preço-demanda marginal é a derivada da função preço-demanda e nos diz a rapidez com que o preço muda em um determinado nível de produção. Essas funções são usadas nos negócios para determinar o preço-elasticidade da demanda e para ajudar as empresas a determinar se a mudança nos níveis de produção seria lucrativa.
Encontre a equação preço-demanda de uma determinada marca de pasta de dente em uma rede de supermercados quando a demanda é de\(50\) tubos por semana a $2,35 por tubo, dado que a função preço-demanda marginal,\(p′(x),\) para o\(x\) número de tubos por semana, é dada como
\[p'(x)=−0.015e^{−0.01x}. \nonumber \]
Se a rede de supermercados vende\(100\) tubos por semana, qual preço ela deve definir?
Solução
Para encontrar a equação preço-demanda, integre a função preço-demanda marginal. Primeiro encontre a antiderivada e depois veja os detalhes. Assim,
\[p(x)=∫−0.015e^{−0.01x}\,dx=−0.015∫e^{−0.01x}\,dx. \nonumber \]
Usando a substituição, deixe\(u=−0.01x\)\(du=−0.01\,dx\) e. Em seguida, divida os dois lados da\(du\) equação por\(−0.01\). Isso dá
\[\dfrac{−0.015}{−0.01}∫e^u\,du=1.5∫e^u\,du=1.5e^u+C=1.5e^{−0.01}x+C. \nonumber \]
A próxima etapa é resolver\(C\) o. Sabemos que quando o preço é de $2,35 por tubo, a demanda é de\(50\) tubos por semana. Isso significa
\[p(50)=1.5e^{−0.01(50)}+C=2.35. \nonumber \]
Agora, basta resolver para\(C\):
\[C=2.35−1.5e^{−0.5}=2.35−0.91=1.44. \nonumber \]
Assim,
\[p(x)=1.5e^{−0.01x}+1.44. \nonumber \]
Se o supermercado vender\(100\) tubos de pasta de dente por semana, o preço seria
\[p(100)=1.5e−0.01(100)+1.44=1.5e−1+1.44≈1.99. \nonumber \]
O supermercado deve cobrar $1.99 por tubo se estiver vendendo\(100\) tubos por semana.
Avalie a integral definida\(\displaystyle ∫^2_1e^{1−x}\,dx.\)
Solução
Novamente, a substituição é o método a ser usado. Deixe\(u=1−x,\) assim\(\,du=−1\,dx\) ou\(−\,du=\,dx\). Então\(\displaystyle ∫e^{1−x}\,dx=−∫e^u\,du.\)
Em seguida, altere os limites da integração. Usando a equação\(u=1−x\), temos:
\[\text{When }x = 1, \quad u=1−(1)=0, \nonumber \]
\[\text{and when }x = 2, \quad u=1−(2)=−1. \nonumber \]
A integral então se torna
\[\begin{align*} ∫^2_1e^{1−x}\,\,dx &= −∫^{−1}_0e^u\,\,du \\[4pt] &=∫^0_{−1}e^u\,\,du \\[4pt] &=e^u\bigg|^0_{−1}=e^0−(e^{−1}) \\[4pt] &=−e^{−1}+1. \end{align*}\]
Veja a Figura\(\PageIndex{2}\).
![Um gráfico da função f (x) = e^ (1-x) sobre [0, 3]. Ele cruza o eixo y em (0, e) como uma curva ascendente côncava decrescente e se aproxima sintoticamente de 0 quando x vai para o infinito.](https://math.libretexts.org/@api/deki/files/12433/5.6.2.png)
Avalie\(\displaystyle ∫^2_0e^{2x}\,dx.\)
- Dica
-
Deixe\(u=2x.\)
- Responda
-
\(\displaystyle \frac{1}{2}∫^4_0e^u\,du=\dfrac{1}{2}(e^4−1)\)
Suponha que a taxa de crescimento de bactérias em uma placa de Petri seja dada por\(q(t)=3^t\), onde\(t\) é dada em horas e\(q(t)\) é dada em milhares de bactérias por hora. Se uma cultura começar com\(10,000\) bactérias, encontre uma função\(Q(t)\) que forneça o número de bactérias na placa de Petri a qualquer momento\(t\). Quantas bactérias estão no prato depois de\(2\) horas?
Solução
Nós temos
\[Q(t)=∫3^tdt=\dfrac{3^t}{\ln 3}+C. \nonumber \]
Então, em\(t=0\) nós temos\(Q(0)=10=\dfrac{1}{\ln 3}+C,\) isso\(C≈9.090\) e obtemos
\[Q(t)=\dfrac{3^t}{\ln 3}+9.090. \nonumber \]
No momento\(t=2\), temos
\[\begin{align*} Q(2) &=\dfrac{3^2}{\ln 3}+9.090 \\[4pt] &\approx 17.282. \end{align*}\]
Após 2 horas, existem 17.282 bactérias no prato.
Do exemplo, suponha que a bactéria cresça a uma taxa de\(q(t)=2^t\). Suponha que a cultura ainda comece com\(10,000\) bactérias. Encontre\(Q(t)\). Quantas bactérias estão no prato depois de\(3\) horas?
- Dica
-
Use o procedimento do Example\(\PageIndex{6}\) para resolver o problema
- Responda
-
\[\begin{align*} Q(t) &= \dfrac{2^t}{\ln 2} + 8.557. \\[4pt] Q(3) &\approx 20,099 \end{align*}\]
Então, há\(20,099\) bactérias no prato depois de\(3\) horas.
Suponha que uma população de moscas-das-frutas aumente a uma taxa de\(g(t)=2e^{0.02t}\), em moscas por dia. Se a população inicial de moscas da fruta for\(100\) moscas, quantas moscas estão na população depois de\(10\) dias?
Solução
Vamos\(G(t)\) representar o número de moscas na população por vez\(t\). Aplicando o teorema da mudança de rede, temos
\[ \begin{align*} G(10)=G(0)+∫^{10}_02e^{0.02t}\,dt \\[4pt] &=100+\left[\dfrac{2}{0.02}e^{0.02t}\right]∣^{10}_0 \\[4pt] &=100+\left[100e^{0.02t}\right]∣^{10}_0 \\[4pt] &=100+100e^{0.2}−100 \\[4pt] &≈122. \end{align*}\]
Depois de\(10\) dias, há\(122\) moscas na população.
Suponha que a taxa de crescimento da população de moscas seja dada por\(g(t)=e^{0.01t},\) e a população inicial de\(100\) moscas seja de moscas. Quantas moscas existem na população depois de\(15\) dias?
- Dica
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Use o processo do Example\(\PageIndex{7}\) para resolver o problema.
- Responda
-
Existem\(116\) moscas.
Avalie a integral definida usando a substituição:\[∫^2_1\dfrac{e^{1/x}}{x^2}\,dx.\nonumber \]
Solução
Esse problema requer alguma reescrita para simplificar a aplicação das propriedades. Primeiro, reescreva o expoente em e como uma potência de\(x\), depois leve o\(x^2\) no denominador até o numerador usando um expoente negativo. Nós temos
\[∫^2_1\dfrac{e^{1/x}}{x^2}\,\,dx=∫^2_1e^{x^{−1}}x^{−2}\,dx. \nonumber \]
Deixe\(u=x^{−1},\) o expoente acender\(e\). Então
\[du=−x^{−2}\,dx \nonumber \]
\[−du=x^{−2}\,dx. \nonumber \]
Trazendo o sinal negativo para fora do sinal integral, o problema agora é
\[−∫e^u\,du. \nonumber \]
Em seguida, altere os limites da integração:
\[u=(1)^{−1}=1 \nonumber \]
\[u=(2)^{−1}=\dfrac{1}{2}. \nonumber \]
Observe que agora os limites começam com o número maior, o que significa que podemos multiplicar\(−1\) e trocar os limites. Assim,
\[−∫^{1/2}_1e^u\,du=∫^1_{1/2}e^u\,du=e^u\big|^1_{1/2}=e−e^{1/2}=e−\sqrt{e}.\nonumber \]
Avalie a integral definida usando a substituição:\[∫^2_1\dfrac{1}{x^3}e^{4x^{−2}}\,dx.\nonumber \]
- Dica
-
Deixe\(u=4x^{−2}.\)
- Responda
-
\(\displaystyle ∫^2_1\dfrac{1}{x^3}e^{4x^{−2}}\,dx=\dfrac{1}{8}[e^4−e]\).
Integrais envolvendo funções logarítmicas
A integração de funções do formulário\(f(x)=x^{−1}\) resulta no valor absoluto da função logarítmica natural, conforme mostrado na regra a seguir. Fórmulas integrais para outras funções logarítmicas\(f(x)=\log_a x\), como\(f(x)=\ln x\) e, também estão incluídas na regra.
As fórmulas a seguir podem ser usadas para avaliar integrais envolvendo funções logarítmicas.
\[\begin{align*} ∫x^{−1}\,dx &=\ln |x|+C \\[4pt] ∫\ln x\,\,dx &= x\ln x−x+C =x (\ln x−1)+C \\[4pt] ∫\log_a x\,dx &=\dfrac{x}{\ln a}(\ln x−1)+C \end{align*}\]
Encontre a antiderivada da função\(\dfrac{3}{x−10}. \)
Solução
Primeiro fatore a parte\(3\) externa do símbolo integral. Em seguida, use a\(u^{−1}\) regra. Assim,
\[∫\dfrac{3}{x−10}\,dx=3∫\dfrac{1}{x−10}\,dx=3∫\dfrac{du}{u}=3\ln |u|+C=3\ln |x−10|+C,\quad x≠10. \nonumber \]
Veja a Figura\(\PageIndex{3}\).
Encontre a antiderivada de\(\dfrac{1}{x+2}.\)
- Dica
-
Siga o padrão do Exemplo\(\PageIndex{9}\) para resolver o problema.
- Responda
-
\(\displaystyle \int \dfrac{1}{x+2}\,dx = \ln |x+2|+C\)
Encontre a antiderivada de\(\dfrac{2x^3+3x}{x^4+3x^2}. \)
Solução
Isso pode ser reescrito como Substituição de\(\displaystyle ∫(2x^3+3x)(x^4+3x^2)^{−1}\,dx.\) uso.
Deixe\(u=x^4+3x^2\), então,\(du=(4x^3+6x)\,dx.\) alterar\(du\) considerando\(2\) o. Assim,
\[du=(4x^3+6x)\,dx=2(2x^3+3x)\,dx \nonumber \]
\[\dfrac{1}{2}\,du=(2x^3+3x)\,dx. \nonumber \]
Reescreva o integrando em\(u\):
\[∫(2x^3+3x)(x^4+3x^2)^{−1}\,dx=\dfrac{1}{2}∫u^{−1}\,du. \nonumber \]
Então nós temos
\[\dfrac{1}{2}∫u^{−1}\,du=\dfrac{1}{2}\ln |u|+C=\dfrac{1}{2}\ln ∣x^4+3x^2∣+C. \nonumber \]
Encontre a antiderivada da função log\(\log_2 x.\)
Solução
Siga o formato na fórmula listada na regra sobre fórmulas de integração envolvendo funções logarítmicas. Com base nesse formato, temos
\[∫\log_2 x\,dx=\dfrac{x}{\ln 2}(\ln x−1)+C.\nonumber \]
Encontre a antiderivada de\(\log_3 x\).
- Dica
-
Siga o exemplo\(\PageIndex{11}\) e consulte a regra sobre fórmulas de integração envolvendo funções logarítmicas.
- Responda
-
\(\displaystyle ∫\log_3 x\,dx=\dfrac{x}{\ln 3}(\ln x−1)+C\)
\(\PageIndex{12}\)O exemplo é uma integral definida de uma função trigonométrica. Com funções trigonométricas, muitas vezes precisamos aplicar uma propriedade trigonométrica ou uma identidade antes de podermos seguir em frente. Encontrar a forma correta do integrando geralmente é a chave para uma integração suave.
Avalie a integral definida\[∫^{π/2}_0\dfrac{\sin x}{1+\cos x}\,dx.\nonumber \]
Solução
Precisamos de substituição para avaliar esse problema. Deixe que\(u=1+\cos x\) assim\(du=−\sin x\,\,dx.\)
Reescreva a integral em termos de\(u\), alterando também os limites da integração. Assim,
\[ \begin{align*} u &= 1+\cos(0)=2 \\[4pt] u &=1+\cos \left(\dfrac{π}{2}\right)=1.\end{align*}\]
Então
\[ \begin{align*}∫^{π/2}_0\dfrac{\sin x}{1+\cos x} &=−∫^1_2 u^{−1}\,du \\[4pt] &=∫^2_1u^{−1}\,du \\[4pt] &=\ln |u|\,\bigg|^2_1 \\[4pt] &=[\ln 2−\ln 1]=\ln 2 \end{align*}\]
Conceitos-chave
- As funções exponenciais e logarítmicas surgem em muitas aplicações do mundo real, especialmente aquelas que envolvem crescimento e decadência.
- A substituição é frequentemente usada para avaliar integrais envolvendo funções exponenciais ou logaritmos.
Equações-chave
- Integrais de funções exponenciais
\[∫e^x\,dx=e^x+C \nonumber \]
\[\int a^x\,dx=\dfrac{a^x}{\ln a}+C \nonumber \]
- Fórmulas de integração envolvendo funções logarítmicas
\[∫x^{−1}\,dx=\ln |x|+C \nonumber \]
\[∫\ln x\,dx=x\ln x−x+C=x(\ln x−1)+C \nonumber \]
\[∫\log_a x\,dx=\dfrac{x}{\ln a}(\ln x−1)+C \nonumber \]