5.3: O Teorema Fundamental do Cálculo

Objetivos de

• Descreva o significado do teorema do valor médio para integrais.
• Declare o significado do Teorema Fundamental do Cálculo, Parte 1.
• Use o Teorema Fundamental do Cálculo, Parte 1, para avaliar derivadas de integrais.
• Declare o significado do Teorema Fundamental do Cálculo, Parte 2.
• Use o Teorema Fundamental do Cálculo, Parte 2, para avaliar integrais definidas.
• Explique a relação entre diferenciação e integração.

Nas duas seções anteriores, analisamos a integral definida e sua relação com a área sob a curva de uma função. Infelizmente, até agora, as únicas ferramentas que temos disponíveis para calcular o valor de uma integral definida são as fórmulas de área geométrica e os limites das somas de Riemann, e ambas as abordagens são extremamente complicadas. Nesta seção, examinamos algumas técnicas mais poderosas e úteis para avaliar integrais definidos.

Essas novas técnicas dependem da relação entre diferenciação e integração. Essa relação foi descoberta e explorada por Sir Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz (entre outros) durante o final dos anos 1600 e início de 1700, e está codificada no que hoje chamamos de Teorema Fundamental do Cálculo, que tem duas partes que examinamos nesta seção. Seu próprio nome indica o quão central esse teorema é para todo o desenvolvimento do cálculo.

As contribuições de Isaac Newton à matemática e à física mudaram a forma como vemos o mundo. As relações que ele descobriu, codificadas como as leis de Newton e a lei da gravitação universal, ainda são ensinadas como material fundamental na física hoje, e seu cálculo gerou campos inteiros da matemática.

Antes de chegarmos a esse teorema crucial, no entanto, vamos examinar outro teorema importante, o Teorema do Valor Médio para Integrais, que é necessário para provar o Teorema Fundamental do Cálculo.

O teorema do valor médio para integrais

O Teorema do Valor Médio para Integrais afirma que uma função contínua em um intervalo fechado assume seu valor médio no mesmo ponto desse intervalo. O teorema garante que, se\(f(x)\) for contínuo,\(c\) existe um ponto em um intervalo\([a,b]\) tal que o valor da função em\(c\) seja igual ao valor médio de\(f(x)\) over\([a,b]\). Declaramos esse teorema matematicamente com a ajuda da fórmula para o valor médio de uma função que apresentamos no final da seção anterior.

Teorema\(\PageIndex{1}\): The Mean Value Theorem for Integrals

Se\(f(x)\) for contínuo ao longo de um intervalo\([a,b]\), então há pelo menos um ponto\(c∈[a,b]\) tal que

\[f(c)=\dfrac{1}{b−a}∫^b_af(x)\,dx. \nonumber \]

Essa fórmula também pode ser declarada como

\[∫^b_af(x)\,dx=f(c)(b−a). \label{meanvaluetheorem} \]

Uma vez que\(f(x)\) é contínuo\([a,b]\), pelo teorema do valor extremo (veja a seção sobre Máximos e Mínimos), ele assume valores mínimos\(m\) e máximos — e\(M\), respectivamente — em\([a,b]\). Então, para todos\(x\)\([a,b]\), temos\(m≤f(x)≤M.\) Portanto, pelo teorema de comparação (veja Seção sobre A Integral Definida), temos

\[ m(b−a)≤∫^b_af(x)\,dx≤M(b−a). \nonumber \]

Prova

Uma vez que\(f(x)\) é contínuo\([a,b]\), pelo teorema do valor extremo (veja a seção sobre Máximos e Mínimos), ele assume valores mínimos\(m\) e máximos — e\(M\), respectivamente — em\([a,b]\). Então, para todos\(x\)\([a,b]\), temos\(m≤f(x)≤M.\) Portanto, pelo teorema de comparação (veja Seção sobre A Integral Definida), temos

\[ m(b−a)≤∫^b_af(x)\,dx≤M(b−a). \nonumber \]

Dividir por nos\(b−a\) dá

\[ m≤\frac{1}{b−a}∫^b_af(x)\,dx≤M. \nonumber \]

Como\(\displaystyle \frac{1}{b−a}∫^b_a f(x)\,dx\) é um número entre\(m\) e\(M\), e uma vez que\(f(x)\) é contínuo e assume os valores\(m\) e\(M\) mais\([a,b]\), pelo Teorema do Valor Intermediário, há um número\(c\) acima\([a,b]\) desse

\[ f(c)=\frac{1}{b−a}∫^b_a f(x)\,dx, \nonumber \]

e a prova está completa.

□

Exemplo\(\PageIndex{1}\): Finding the Average Value of a Function

Encontre o valor médio da função\(f(x)=8−2x\) ao longo do intervalo\([0,4]\) e descubra de\(c\) forma que seja\(f(c)\) igual ao valor médio da função\([0,4].\)

Solução

A fórmula indica o valor médio de\(f(x)\) is given by

\[\displaystyle \frac{1}{4−0}∫^4_0(8−2x)\,dx. \nonumber \]

Podemos ver na Figura\(\PageIndex{1}\) que a função representa uma linha reta e forma um triângulo reto limitado pelo\(x\)- and \(y\)-axes. The area of the triangle is \(A=\frac{1}{2}(base)(height).\) We have

\[A=\dfrac{1}{2}(4)(8)=16. \nonumber \]

O valor médio é encontrado multiplicando a área por\(1/(4−0).\) Thus, the average value of the function is

\[\dfrac{1}{4}(16)=4 \nonumber \]

Defina o valor médio igual a\(f(c)\) and solve for \(c\).

\[ \begin{align*} 8−2c =4 \nonumber \\[4pt] c =2 \end{align*}\]

Em\(c=2,f(2)=4\).

Figura\(\PageIndex{1}\): Pelo Teorema do Valor Médio, a função contínua\(f(x)\) assume seu valor médio pelo\(c\) menos uma vez em um intervalo fechado.

Exercício\(\PageIndex{1}\)

Encontre o valor médio da função\(f(x)=\dfrac{x}{2}\) ao longo do intervalo\([0,6]\) e encontre c de forma que seja\(f(c)\) igual ao valor médio da função over\([0,6].\)

Dica

Use os procedimentos do Example\(\PageIndex{1}\) para resolver o problema

Responda

O valor médio é\(1.5\)\(c=3\) e.

Exemplo\(\PageIndex{2}\): Finding the Point Where a Function Takes on Its Average Value

Dado\(\displaystyle ∫^3_0x^2\,dx=9\), encontre\(c\) um valor que seja\(f(c)\) igual ao valor médio de\(f(x)=x^2\) mais\([0,3]\).

Solução

Estamos procurando o valor de\(c\) tal coisa

\[f(c)=\frac{1}{3−0}∫^3_0x^2\,\,dx=\frac{1}{3}(9)=3. \nonumber \]

\(f(c)\)Substituindo\(c^2\) por, temos

\[ \begin{align*} c^2 &=3 \\[4pt] c &= ±\sqrt{3}. \end{align*}\]

Como\(−\sqrt{3}\) está fora do intervalo, pegue apenas o valor positivo. Portanto,\(c=\sqrt{3}\) (Figura\(\PageIndex{2}\)).

Figura\(\PageIndex{2}\): Ao longo do intervalo\([0,3]\), a função\(f(x)=x^2\) assume seu valor médio em\(c=\sqrt{3}\).

Exercício\(\PageIndex{2}\)

Dado\(\displaystyle ∫^3_0(2x^2−1)\,dx=15\), encontre\(c\) um valor que seja\(f(c)\) igual ao valor médio de\(f(x)=2x^2−1\) mais\([0,3]\).

Dica

Use os procedimentos do Example\(\PageIndex{2}\) para resolver o problema.

Responda

\(c=\sqrt{3}\)

Teorema fundamental do cálculo, parte 1: integrais e antiderivadas

Como mencionado anteriormente, o Teorema Fundamental do Cálculo é um teorema extremamente poderoso que estabelece a relação entre diferenciação e integração e nos dá uma maneira de calcular integrais definidas sem usar somas de Riemann ou calcular áreas. O teorema é composto por duas partes, a primeira das quais, o Teorema Fundamental do Cálculo, Parte 1, é declarada aqui. A parte 1 estabelece a relação entre diferenciação e integração.

Teorema\(\PageIndex{2}\): The Fundamental Theorem of Calculus, Part 1

Se\(f(x)\) for contínuo em um intervalo\([a,b]\) e a função\(F(x)\) for definida por

\[F(x)=∫^x_af(t)\,dt, \nonumber \]

depois\(F′(x)=f(x)\) acabou\([a,b]\).

Antes de nos aprofundarmos na prova, vale a pena mencionar algumas sutilezas aqui. Primeiro, um comentário sobre a notação. Observe que definimos uma função,\(F(x)\), como a integral definida de outra função\(f(t)\),, do ponto a ao ponto\(x\). À primeira vista, isso é confuso, porque já dissemos várias vezes que uma integral definida é um número, e aqui parece que é uma função. A chave aqui é observar que, para qualquer valor específico de\(x\), a integral definida é um número. Portanto, a função\(F(x)\) retorna um número (o valor da integral definida) para cada valor de\(x\).

Em segundo lugar, vale a pena comentar sobre algumas das principais implicações desse teorema. Há uma razão pela qual é chamado de Teorema Fundamental do Cálculo. Não apenas estabelece uma relação entre integração e diferenciação, mas também garante que qualquer função integrável tenha uma antiderivada. Especificamente, ele garante que qualquer função contínua tenha uma antiderivada.

Prova: Teorema Fundamental do Cálculo, Parte 1

Aplicando a definição da derivada, temos

\[ \begin{align*} F′(x) &=\lim_{h→0}\frac{F(x+h)−F(x)}{h} \\[4pt] &=\lim_{h→0}\frac{1}{h} \left[∫^{x+h}_af(t)dt−∫^x_af(t)\,dt \right] \\[4pt] &=\lim_{h→0}\frac{1}{h}\left[∫^{x+h}_af(t)\,dt+∫^a_xf(t)\,dt \right] \\[4pt] &=\lim_{h→0}\frac{1}{h}∫^{x+h}_xf(t)\,dt. \end{align*}\]

Examinando cuidadosamente essa última expressão, vemos que\(\displaystyle \frac{1}{h}∫^{x+h}_x f(t)\,dt\) é apenas o valor médio da função\(f(x)\) ao longo do intervalo\([x,x+h]\). Portanto, pela Equação\ ref {meanvaluetheorem}, há algum número\(c\) em\([x,x+h]\) tal que

\[ \frac{1}{h}∫^{x+h}_x f(t)\,dt=f(c). \nonumber \]

Além disso, uma vez que\(c\) está entre\(x\) e\(h\),\(c\) se aproxima\(x\) quando se\(h\) aproxima de zero. Além disso, como\(f(x)\) é contínuo, temos

\[ \lim_{h→0}f(c)=\lim_{c→x}f(c)=f(x) \nonumber \]

Juntando todas essas peças, temos

\[ F′(x)=\lim_{h→0}\frac{1}{h}∫^{x+h}_x f(t)\,dt=\lim_{h→0}f(c)=f(x), \nonumber \]

e a prova está completa.

□

Exemplo\(\PageIndex{3}\): Finding a Derivative with the Fundamental Theorem of Calculus

Use o Teorema Fundamental do Cálculo, Parte 1 para encontrar a derivada de

\[g(x)=∫^x_1\frac{1}{t^3+1}\,dt. \nonumber \]

Solução

De acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada é dada por

\[g′(x)=\frac{1}{x^3+1}. \nonumber \]

Exercício\(\PageIndex{3}\)

Use o Teorema Fundamental do Cálculo, Parte 1 para encontrar a derivada de\(\displaystyle g(r)=∫^r_0\sqrt{x^2+4}\,dx\).

Dica

Siga os procedimentos do Example\(\PageIndex{3}\) para resolver o problema.

Responda

\(g′(r)=\sqrt{r^2+4}\)

Exemplo\(\PageIndex{4}\): Using the Fundamental Theorem and the Chain Rule to Calculate Derivatives

Deixe\(\displaystyle F(x)=∫^{\sqrt{x}}_1 \sin t \,dt.\) encontrar\(F′(x)\).

Solução

Deixando\(u(x)=\sqrt{x}\), nós temos\(\displaystyle F(x)=∫^{u(x)}_1 \sin t \,dt\).

Assim, pelo Teorema Fundamental do Cálculo e pela regra da cadeia,

\[ F′(x)=\sin(u(x))\frac{du}{\,dx}=\sin(u(x))⋅\left(\dfrac{1}{2}x^{−1/2}\right)=\dfrac{\sin\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}. \nonumber \]

Exercício\(\PageIndex{4}\)

Deixe\(\displaystyle F(x)=∫^{x^3}_1 \cos t\,dt\). Encontre\(F′(x)\).

Dica

Use a regra da cadeia para resolver o problema.

Responda

\(F′(x)=3x^2\cos x^3\)

Exemplo\(\PageIndex{5}\): Using the Fundamental Theorem of Calculus with Two Variable Limits of Integration

Deixe\(\displaystyle F(x)=∫^{2x}_x t^3\,dt\). Encontre\(F′(x)\).

Solução

Nós temos\(\displaystyle F(x)=∫^{2x}_x t^3\,dt\). Ambos os limites de integração são variáveis, então precisamos dividir isso em duas integrais. Nós recebemos

\[\begin{align*} F(x) &=∫^{2x}_xt^3\,dt =∫^0_xt^3\,dt+∫^{2x}_0t^3\,dt \\[4pt] &=−∫^x_0t^3\,dt+∫^{2x}_0t^3\,dt. \end{align*}\]

Diferenciando o primeiro termo, obtemos

\[ \frac{d}{\,dx} \left[−∫^x_0t^3\, dt\right]=−x^3 . \nonumber \]

Diferenciando o segundo termo, primeiro deixamos\((x)=2x.\) Então,

\[\begin{align*} \frac{d}{dx} \left[∫^{2x}_0t^3\,dt\right] &=\frac{d}{dx} \left[∫^{u(x)}_0t^3\,dt \right] \\[4pt] &=(u(x))^3\,du\,\,dx \\[4pt] &=(2x)^3⋅2=16x^3.\end{align*}\]

Assim,

\[\begin{align*} F′(x) &=\frac{d}{dx} \left[−∫^x_0t^3\,dt \right]+\frac{d}{dx} \left[∫^{2x}_0t^3\,dt\right] \\[4pt] &=−x^3+16x^3=15x^3 \end{align*}\]

Exercício\(\PageIndex{5}\)

Deixe\(\displaystyle F(x)=∫^{x^2}_x \cos t \, dt.\) encontrar\(F′(x)\).

Dica

Use os procedimentos do Example\(\PageIndex{5}\) para resolver o problema

Responda

\(F′(x)=2x\cos x^2−\cos x\)

Teorema fundamental do cálculo, parte 2: O teorema da avaliação

O Teorema Fundamental do Cálculo, Parte 2, é talvez o teorema mais importante do cálculo. Após esforços incansáveis de matemáticos por aproximadamente 500 anos, surgiram novas técnicas que forneceram aos cientistas as ferramentas necessárias para explicar muitos fenômenos. Usando o cálculo, os astrônomos puderam finalmente determinar distâncias no espaço e mapear órbitas planetárias. Problemas financeiros diários, como calcular custos marginais ou prever o lucro total, agora podem ser tratados com simplicidade e precisão. Os engenheiros poderiam calcular a resistência à flexão dos materiais ou o movimento tridimensional dos objetos. Nossa visão do mundo mudou para sempre com o cálculo.

Depois de encontrar áreas aproximadas adicionando as áreas de n retângulos, a aplicação desse teorema é simples por comparação. Parece quase simples demais que a área de uma região curva inteira possa ser calculada apenas avaliando uma antiderivada na primeira e na última extremidade de um intervalo.

Teorema\(\PageIndex{3}\): The Fundamental Theorem of Calculus, Part 2

Se\(f(x)\) é contínuo ao longo do intervalo\([a,b]\) e\(F(x)\) é qualquer antiderivada de\(f(x),\) então

\[ ∫^b_af(x)\,dx=F(b)−F(a). \label{FTC2} \]

Muitas vezes vemos a notação\(\displaystyle F(x)|^b_a\) para denotar a expressão\(F(b)−F(a)\). Usamos essa barra vertical e os limites associados\(a\) e\(b\) para indicar que devemos avaliar a função\(F(x)\) no limite superior (neste caso,\(b\)) e subtrair o valor da função\(F(x)\) avaliada no limite inferior (neste caso,\(a\)).

O Teorema Fundamental do Cálculo, Parte 2 (também conhecido como teorema da avaliação) afirma que, se pudermos encontrar uma antiderivada para o integrando, podemos calcular a integral definida avaliando a antiderivada nos pontos finais do intervalo e subtraindo.

Prova

\(P={x_i},i=0,1,…,n\)Seja uma partição regular de\([a,b].\) Então, podemos escrever

\[ \begin{align*} F(b)−F(a) &=F(x_n)−F(x_0) \\[4pt] &=[F(x_n)−F(x_{n−1})]+[F(x_{n−1})−F(x_{n−2})] + … + [F(x_1)−F(x_0)] \\[4pt] &=\sum^n_{i=1}[F(x_i)−F(x_{i−1})]. \end{align*} \nonumber \]

Agora, sabemos que\(F\) é uma antiderivada de\(f\) mais do\([a,b],\) que isso pelo Teorema do Valor Médio (veja O Teorema do Valor Médio), pois\(i=0,1,…,n\) podemos encontrar de\(c_i\)\([x_{i−1},x_i]\) forma que

\[F(x_i)−F(x_{i−1})=F′(c_i)(x_i−x_{i−1})=f(c_i)\,Δx. \nonumber \]

Então, substituindo a equação anterior, temos

\[ F(b)−F(a)=\sum_{i=1}^nf(c_i)\,Δx. \nonumber \]

Tomando o limite de ambos os lados à medida\(n→∞,\) que obtemos

\[ F(b)−F(a)=\lim_{n→∞}\sum_{i=1}^nf(c_i)Δx=∫^b_af(x)\,dx. \nonumber \]

□

Exemplo\(\PageIndex{6}\): Evaluating an Integral with the Fundamental Theorem of Calculus

Use a Equação\ ref {FTC2} para avaliar

\[ ∫^2_{−2}(t^2−4)\,dt. \nonumber \]

Solução

Lembre-se da regra de poder para antiderivadas:

Se\(y=x^n\),

\[∫x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C. \nonumber \]

Use essa regra para encontrar a antiderivada da função e, em seguida, aplicar o teorema. Nós temos

\[ \begin{align*} ∫^2_{−2}(t^2−4)dt &=\left( \frac{t^3}{3}−4t \right)∣^2_{−2} \\[4pt] &=\left[\frac{(2)^3}{3}−4(2)\right]−\left[\frac{(−2)^3}{3}−4(−2)\right] \\[4pt] &=\left[\frac{8}{3}−8\right] − \left[−\frac{8}{3}+8 \right] \\[4pt] &=\frac{8}{3}−8+\frac{8}{3}−8 \\[4pt] &=\frac{16}{3}−16=−\frac{32}{3}.\end{align*} \nonumber \]

Análise

Observe que não incluímos o termo “\(+ C\)” quando escrevemos a antiderivada. A razão é que, de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo, Parte 2 (Equação\ ref {FTC2}), qualquer antiderivada funciona. Então, por conveniência, escolhemos a antiderivada com\(C=0\). Se tivéssemos escolhido outra antiderivada, o termo constante teria sido cancelado. Isso sempre acontece quando se avalia uma integral definida.

A região da área que acabamos de calcular é mostrada na Figura\(\PageIndex{3}\). Observe que a região entre a curva e o\(x\) eixo -está toda abaixo do\(x\) eixo -. A área é sempre positiva, mas uma integral definida ainda pode produzir um número negativo (uma área líquida assinada). Por exemplo, se essa fosse uma função de lucro, um número negativo indica que a empresa está operando com prejuízo no intervalo determinado.

Figura\(\PageIndex{3}\): A avaliação de uma integral definida pode produzir um valor negativo, mesmo que a área seja sempre positiva.

Exemplo\(\PageIndex{7}\): Evaluating a Definite Integral Using the Fundamental Theorem of Calculus, Part 2

Calcule a seguinte integral usando o Teorema Fundamental do Cálculo, Parte 2 (Equação\ ref {FTC2}):

\[ ∫^9_1\frac{x−1}{\sqrt{x}}dx. \nonumber \]

Solução

Primeiro, elimine o radical reescrevendo a integral usando expoentes racionais. Em seguida, separe os termos do numerador escrevendo cada um sobre o denominador:

\[ ∫^9_1\frac{x−1}{x^{1/2}}\,dx=∫^9_1 \left(\frac{x}{x^{1/2}}−\frac{1}{x^{1/2}} \right)\,dx. \nonumber \]

Use as propriedades dos expoentes para simplificar:

\[ ∫^9_1 \left(\frac{x}{x^{1/2}}−\frac{1}{x^{1/2}}\right)\,dx=∫^9_1(x^{1/2}−x^{−1/2})\,dx. \nonumber \]

Agora, integre usando a regra de potência:

\[ \begin{align*} ∫^9_1(x^{1/2}−x^{−1/2})\,dx &= \left(\frac{x^{3/2}}{\frac{3}{2}}−\frac{x^{1/2}}{\frac{1}{2}}\right)∣^9_1 \\[4pt] &= \left[\frac{(9)^{3/2}}{\frac{3}{2}}−\frac{(9)^{1/2}}{\frac{1}{2}}\right]− \left[\frac{(1)^{3/2}}{\frac{3}{2}}−\frac{(1)^{1/2}}{\frac{1}{2}} \right] \\[4pt] &= \left[\frac{2}{3}(27)−2(3)\right]−\left[\frac{2}{3}(1)−2(1)\right] \\[4pt] &=18−6−\frac{2}{3}+2=\frac{40}{3}. \end{align*} \nonumber \]

Veja a Figura\(\PageIndex{4}\).

Figura\(\PageIndex{4}\): A área sob a curva de\(x=1\) até\(x=9\) pode ser calculada avaliando uma integral definida.

Exercício\(\PageIndex{6}\)

Use o Note para avaliar\(\displaystyle ∫^2_1x^{−4}\,dx.\)

Dica

Use a regra de potência.

Responda

\(\frac{7}{24}\)

Exemplo\(\PageIndex{8}\): A Roller-Skating Race

James e Kathy estão correndo em patins. Eles correm por uma pista longa e reta, e quem tiver ido mais longe após 5 segundos ganha um prêmio. Se James sabe patinar a uma velocidade de\(f(t)=5+2t\) pés/seg e Kathy pode patinar a uma velocidade de\(g(t)=10+\cos\left(\frac{π}{2}t\right)\) pés/seg, quem vencerá a corrida?

Solução

Precisamos integrar as duas funções ao longo do intervalo\([0,5]\) e ver qual valor é maior. Para James, queremos calcular

\[ ∫^5_0(5+2t)\,dt. \nonumber \]

Usando a regra do poder, temos

\[ \begin {align*} ∫^5_0(5+2t)\,dt &= \left(5t+t^2\right)∣^5_0 \\[4pt] &=(25+25) \\[4pt] &=50. \end{align*}\]

Assim, James patinou 50 pés após 5 s. Passando agora para Kathy, queremos calcular

\[∫^5_010 + \cos \left(\frac{π}{2}t\right)\, dt. \nonumber \]

Sabemos que\(\sin t\) é uma antiderivada de\(\cos t\), então é razoável esperar que uma antiderivada de\(\cos\left(\frac{π}{2}t\right)\) envolva\(\sin\left(\frac{π}{2}t\right)\). No entanto, quando nos diferenciamos\(\sin \left(π^2t\right)\), obtemos\(π^2 \cos\left(π^2t\right)\) como resultado da regra da cadeia, então temos que considerar esse coeficiente adicional quando integramos. Nós obtemos

\[ \begin{align*} ∫^5_010+\cos \left(\frac{π}{2}t\right)\,dt &= \left(10t+\frac{2}{π} \sin \left(\frac{π}{2}t\right)\right)∣^5_0 \\[4pt] &=\left(50+\frac{2}{π}\right)−\left(0−\frac{2}{π} \sin 0\right )≈50.6. \end{align*}\]

Kathy patinou aproximadamente 50,6 pés após 5 s. Kathy vence, mas não muito!

Exercício\(\PageIndex{7}\)

Suponha que James e Kathy tenham uma revanche, mas desta vez o oficial interrompe a competição depois de apenas 3 segundos. Isso muda o resultado?

Dica

Altere os limites de integração dos do Example\(\PageIndex{7}\).

Responda

Kathy ainda vence, mas por uma margem muito maior: James patina 24 pés em 3 segundos, mas Kathy patina 29,3634 pés em 3 segundos.

Um paraquedista em queda livre

Julie é uma ávida paraquedista com mais de 300 saltos e domina a arte de fazer ajustes na posição do corpo no ar para controlar a rapidez com que ela cai. Se ela arquear as costas e apontar a barriga para o chão, ela atinge uma velocidade terminal de aproximadamente 120 mph (176 pés/seg). Se, em vez disso, ela orientar o corpo com a cabeça para baixo, ela cai mais rápido, atingindo uma velocidade terminal de 150 mph (220 pés/seg).

Figura\(\PageIndex{5}\): Os paraquedistas podem ajustar a velocidade do mergulho mudando a posição do corpo durante a queda livre. (crédito: Jeremy T. Lock)

Como Julie estará se movendo (caindo) em uma direção descendente, presumimos que a direção descendente seja positiva para simplificar nossos cálculos. Julie executa seus saltos de uma altitude de 12.500 pés. Depois de sair da aeronave, ela imediatamente começa a cair a uma velocidade dada por\(v(t)=32t.\)

Ela continua acelerando de acordo com essa função de velocidade até atingir a velocidade terminal. Depois de atingir a velocidade terminal, sua velocidade permanece constante até que ela puxa a corda e desacelera até pousar.

Em seu primeiro salto do dia, Julie se orienta na posição mais lenta de “barriga para baixo” (a velocidade terminal é de 176 pés/seg). Usando essas informações, responda às seguintes perguntas.

1. Quanto tempo depois de sair da aeronave, Julie atinge a velocidade terminal?
2. Com base na sua resposta à pergunta 1, configure uma expressão envolvendo uma ou mais integrais que represente a distância que Julie percorre após 30 segundos.
3. Se Julie puxar sua corda a uma altitude de 3000 pés, quanto tempo ela passa em uma queda livre?
4. Julie puxa sua corda a 3000 pés. Demora 5 segundos para que seu paraquedas se abra completamente e para que ela diminua a velocidade, período durante o qual ela cai mais 400 pés. Depois que seu dossel estiver totalmente aberto, sua velocidade é reduzida para 16 pés/seg. Descubra o tempo total que Julie passa no ar, desde o momento em que ela sai do avião até o momento em que seus pés tocam o chão. No segundo salto do dia de Julie, ela decide que quer cair um pouco mais rápido e se orienta na posição “de cabeça para baixo”. Sua velocidade terminal nessa posição é de 220 pés/seg. Responda a essas perguntas com base nessa velocidade:
5. Quanto tempo Julie leva para atingir a velocidade terminal nesse caso?
6. Antes de puxar sua corda, Julie reorienta seu corpo na posição “barriga para baixo” para que ela não se mova tão rápido quando o paraquedas se abre. Se ela começar essa manobra a uma altitude de 4000 pés, quanto tempo ela passará em queda livre antes de iniciar a reorientação?

Alguns suéteres usam “wingsuits” (Figura\(\PageIndex{6}\)). Esses trajes têm painéis de tecido entre os braços e as pernas e permitem que o usuário deslize em uma queda livre, como um esquilo voador. (Na verdade, os trajes às vezes são chamados de “trajes de esquilo voador”.) Ao usar esses trajes, a velocidade terminal pode ser reduzida para cerca de 30 mph (44 pés/seg), permitindo que os usuários fiquem muito mais tempo no ar. Os pilotos da Wingsuit ainda usam paraquedas para pousar; embora as velocidades verticais estejam dentro da margem de segurança, as velocidades horizontais podem exceder 70 mph, muito rápido para pousar com segurança.

Figura\(\PageIndex{6}\): Os painéis de tecido nos braços e pernas de um wingsuit reduzem a velocidade vertical da queda de um paraquedista. (crédito: Richard Schneider)

Responda à seguinte pergunta com base na velocidade de uma roupa de asa.

7. Se Julie veste uma roupa de asa antes do terceiro salto do dia e puxa sua corda a uma altitude de 3000 pés, quanto tempo ela passa planando no ar?

Conceitos-chave

• O Teorema do Valor Médio para Integrais afirma que, para uma função contínua em um intervalo fechado, existe um valor c tal que é\(f(c)\) igual ao valor médio da função.
• O Teorema Fundamental do Cálculo, Parte 1, mostra a relação entre a derivada e a integral.
• O Teorema Fundamental do Cálculo, Parte 2, é uma fórmula para avaliar uma integral definida em termos de uma antiderivada de seu integrando. A área total sob uma curva pode ser encontrada usando esta fórmula.

Equações-chave

• Teorema do valor médio para integrais

Se\(f(x)\) for contínuo ao longo de um intervalo\([a,b]\), então há pelo menos um ponto\(c∈[a,b]\) tal que\[f(c)=\frac{1}{b−a}∫^b_af(x)\,dx.\nonumber \]

• Teorema fundamental do cálculo, parte 1

Se\(f(x)\) for contínuo em um intervalo\([a,b]\) e a função\(F(x)\) for definida por\[ F(x)=∫^x_af(t)\,dt,\nonumber \]

então\[F′(x)=f(x).\nonumber \]

• Teorema fundamental do cálculo, parte 2

Se\(f\) for contínuo ao longo do intervalo\([a,b]\) e\(F(x)\) for qualquer antiderivada de\(f(x)\), então\[∫^b_af(x)\,dx=F(b)−F(a).\nonumber \]

Glossário

teorema fundamental do cálculo

o teorema, central para todo o desenvolvimento do cálculo, que estabelece a relação entre diferenciação e integração

teorema fundamental do cálculo, parte 1

usa uma integral definida para definir uma antiderivada de uma função

teorema fundamental do cálculo, parte 2

(também, teorema de avaliação) podemos calcular uma integral definida avaliando a antiderivada do integrando nos pontos finais do intervalo e subtraindo

teorema do valor médio para integrais

garante que\(c\) exista um ponto que\(f(c)\) seja igual ao valor médio da função