5.2E: Exercícios para a Seção 5.2

Nos exercícios 1 a 4, expresse os limites como integrais.

1)\(\displaystyle \lim_{n→∞}\sum_{i=1}^n(x^∗_i)Δx\) acabou\([1,3]\)

2)\(\displaystyle \lim_{n→∞}\sum_{i=1}^n(5(x^∗_i)^2−3(x^∗_i)^3)Δx\) acabou\([0,2]\)

Responda

\(\displaystyle ∫^2_0(5x^2−3x^3)\,dx\)

3)\(\displaystyle \lim_{n→∞}\sum_{i=1}^n\sin^2(2πx^∗_i)Δx\) acabou\([0,1]\)

4)\(\displaystyle \lim_{n→∞}\sum_{i=1}^n\cos^2(2πx^∗_i)Δx\) acabou\([0,1]\)

Responda

\(\displaystyle ∫^1_0\cos^2(2πx)\,dx\)

Nos exercícios 5 a 10, dados\(L_n\) ou\(R_n\) conforme indicado, expresse seus limites\(n→∞\) como integrais definidos, identificando os intervalos corretos.

5)\(\displaystyle L_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\frac{i−1}{n}\)

6)\(\displaystyle R_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\frac{i}{n}\)

Responda

\(\displaystyle ∫^1_0x\,dx\)

7)\(\displaystyle Ln=\frac{2}{n}\sum_{i=1}^n(1+2\frac{i−1}{n})\)

8)\(\displaystyle R_n=\frac{3}{n}\sum_{i=1}^n(3+3\frac{i}{n})\)

Responda

\(\displaystyle ∫^6_3x\,dx\)

9)\(\displaystyle L_n=\frac{2π}{n}\sum_{i=1}^n2π\frac{i−1}{n}\cos(2π\frac{i−1}{n})\)

10\(\displaystyle R_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(1+\frac{i}{n})\log((1+\frac{i}{n})^2)\)

Responda

\(\displaystyle ∫^2_1x\log(x^2)\,dx\)

Nos exercícios 11 a 16, avalie as integrais das funções representadas graficamente usando as fórmulas para áreas de triângulos e círculos e subtraindo as áreas abaixo do\(x\) eixo.

11)

12)

Responda

\( 1+2⋅2+3⋅3=14\)

13)

14)

Responda

\(1−4+9=6\)

15)

16)

Responda

\(1−2π+9=10−2π\)

Nos exercícios 17 a 24, avalie a integral usando fórmulas de área.

17)\(\displaystyle ∫^3_0(3−x)\,dx\)

18)\(\displaystyle ∫^3_2(3−x)\,dx\)

Responda

A integral é a área do triângulo,\(\frac{1}{2}.\)

19)\(\displaystyle ∫^3_{−3}(3−|x|)\,dx\)

20)\(\displaystyle ∫^6_0(3−|x−3|)\,dx\)

Responda

A integral é a área do triângulo,\(9.\)

21)\(\displaystyle ∫^2_{−2}\sqrt{4−x^2}\,dx\)

22)\(\displaystyle ∫^5_1\sqrt{4−(x−3)^2}\,dx\)

Responda

A integral é a área\(\frac{1}{2}πr^2=2π.\)

23)\(\displaystyle ∫^{12}_0\sqrt{36−(x−6)^2}\,dx\)

24)\(\displaystyle ∫^3_{−2}(3−|x|)\,dx\)

Responda

A integral é a área do triângulo “grande” menos o triângulo “ausente”,\(9−\frac{1}{2}.\)

Nos exercícios 25 a 28, use médias dos valores nas extremidades esquerda (L) e direita (R) para calcular as integrais das funções lineares por partes com gráficos que passam pela lista de pontos fornecida nos intervalos indicados.

25)\( {(0,0),(2,1),(4,3),(5,0),(6,0),(8,3)}\) mais\( [0,8]\)

26)\({(0,2),(1,0),(3,5),(5,5),(6,2),(8,0)}\) acabou\([0,8]\)

Responda

\( L=2+0+10+5+4=21,\; R=0+10+10+2+0=22,\; \dfrac{L+R}{2}=21.5\)

27)\( {(−4,−4),(−2,0),(0,−2),(3,3),(4,3)}\) mais\( [−4,4]\)

28)\( {(−4,0),(−2,2),(0,0),(1,2),(3,2),(4,0)}\) acabou\( [−4,4]\)

Responda

\( L=0+4+0+4+2=10,\;R=4+0+2+4+0=10,\;\dfrac{L+R}{2}=10\)

Suponha que\(\displaystyle ∫^4_0f(x)\,dx=5\) e\(\displaystyle ∫^2_0f(x)\,dx=−3\),\(\displaystyle ∫^4_0g(x)\,dx=−1\) e\(\displaystyle ∫^2_0g(x)\,dx=2\) e. Nos exercícios 29 a 34, calcule as integrais.

29)\(\displaystyle ∫^4_0(f(x)+g(x))\,dx\)

30)\(\displaystyle ∫^4_2(f(x)+g(x))\,dx\)

Responda

\(\displaystyle ∫^4_2f(x)\,dx+∫^4_2g(x)\,dx=8−3=5\)

31)\(\displaystyle ∫^2_0(f(x)−g(x))\,dx\)

32)\(\displaystyle ∫^4_2(f(x)−g(x))\,dx\)

Responda

\(\displaystyle ∫^4_2f(x)\,dx−∫^4_2g(x)\,dx=8+3=11\)

33)\(\displaystyle ∫^2_0(3f(x)−4g(x))\,dx\)

34)\(\displaystyle ∫^4_2(4f(x)−3g(x))\,dx\)

Responda

\(\displaystyle 4∫^4_2f(x)\,dx−3∫^4_2g(x)\,dx=32+9=41\)

Nos exercícios 35 a 38, use a identidade\(\displaystyle ∫^A_{−A}f(x)\,dx=∫^0_{−A}f(x)\,dx+∫^A_0f(x)\,dx\) para computar as integrais.

35)\(\displaystyle ∫^π_{−π}\frac{\sin t}{1+t^2}dt\) (Dica:\(\displaystyle \sin(−t)=−\sin(t))\)

36)\(\displaystyle ∫^{\sqrt{π}}_\sqrt{−π}\frac{t}{1+\cos t}dt\)

Responda

O integrando é ímpar; o integral é zero.

37)\(\displaystyle ∫^3_1(2−x)\,dx\) (Dica: veja o gráfico de\(f\).)

38)\(\displaystyle ∫^4_2(x−3)^3\,dx\) (Dica: veja o gráfico de\(f\).)

Responda

O integrando é antisimétrico em relação a\(x=3.\) A integral é zero.

Nos exercícios 39 a 44, considerando isso\(\displaystyle ∫^1_0x\,dx=\frac{1}{2},\;∫^1_0x^2\,dx=\frac{1}{3},\) e\(\displaystyle ∫^1_0x^3\,dx=\frac{1}{4}\), calcule as integrais.

39)\(\displaystyle ∫^1_0(1+x+x^2+x^3)\,dx\)

40)\(\displaystyle ∫^1_0(1−x+x^2−x^3)\,dx\)

Responda

\(\displaystyle 1−\frac{1}{2}+\frac{1}{3}−\frac{1}{4}=\frac{7}{12}\)

41)\(\displaystyle ∫^1_0(1−x)^2\,dx\)

(42)\(\displaystyle ∫^1_0(1−2x)^3\,dx\)

Responda

\(\displaystyle ∫^1_0(1−6x+12x^2−8x^3)\,dx=1−6\left( \frac{1}{2} \right)+12\left(\frac{1}{3}\right)−8\left(\frac{1}{4}\right)=1-3+4-2=0\)

43)\(\displaystyle ∫^1_0\left(6x−\tfrac{4}{3}x^2\right)\,dx\)

44)\(\displaystyle ∫^1_0(7−5x^3)\,dx\)

Responda

\(7−\frac{5}{4}=\frac{23}{4}\)

Nos exercícios 45 a 50, use o teorema da comparação.

45) Mostre que\(\displaystyle ∫^3_0(x^2−6x+9)\,dx≥0.\)

46) Mostre que\(\displaystyle ∫^3_{−2}(x−3)(x+2)\,dx≤0.\)

Responda

O integrando é negativo sobre\([−2,3].\)

47) Mostre isso\(\displaystyle ∫^1_0\sqrt{1+x^3}\,dx≤∫^1_0\sqrt{1+x^2}\,dx\).

48) Mostre que\(\displaystyle ∫^2_1\sqrt{1+x}\,dx≤∫^2_1\sqrt{1+x^2}\,dx.\)

Responda

\(x≤x^2\)acabou\([1,2]\), então\(\sqrt{1+x}≤\sqrt{1+x^2}\) acabou\([1,2].\)

49) Mostre isso\(\displaystyle ∫^{π/2}_0\sin tdt≥\frac{π}{4}\) (Dica:\(\sin t≥\frac{2t}{π}\) acabou)\( [0,\frac{π}{2}])\)

50) Mostre isso\(\displaystyle ∫^{π/4}_{−π/4}\cos t\,dt≥π\sqrt{2}/4\).

Responda

\(\cos(t)≥\dfrac{\sqrt{2}}{2}\). Multiplique pelo comprimento do intervalo para obter a desigualdade.

Nos exercícios 51 a 56, encontre o valor\(f_{ave}\) médio\(f\) entre\(a\) e e\(b\) e encontre um ponto\(c\), onde\(f(c)=f_{ave}\)

51)\( f(x)=x^2,\; a=−1,\; b=1\)

52)\( f(x)=x^5,\; a=−1,\; b=1\)

Responda

\(f_{ave}=0;\; c=0\)

53)\( f(x)=\sqrt{4−x^2},\; a=0,\; b=2\)

54)\(f(x)=3−|x|,\; a=−3,\; b=3\)

Responda

\(\frac{3}{2}\)quando\(c=±\frac{3}{2}\)

55)\(f(x)=\sin x,\; a=0,\; b=2π\)

(56)\( f(x)=\cos x,\; a=0,\; b=2π\)

Responda

\(f_{ave}=0;\; c=\dfrac{π}{2},\; \dfrac{3π}{2}\)

Nos exercícios 57 a 60, aproxime o valor médio usando somas de Riemann\(L_{100}\)\(R_{100}\) e. Como sua resposta se compara com a resposta exata dada?

57) [T]\(y=\ln(x)\) ao longo do intervalo\( [1,4]\); a solução exata é\(\dfrac{\ln(256)}{3}−1.\)

58) [T]\(y=e^{x/2}\) ao longo do intervalo\([0,1]\); a solução exata é\( 2(\sqrt{e}−1).\)

Responda

\(L_{100}=1.294,\; R_{100}=1.301;\)a média exata está entre esses valores.

59) [T]\(y=\tan x\) ao longo do intervalo\([0,\frac{π}{4}]\); a solução exata é\(\dfrac{2\ln(2)}{π}\).

60) [T]\(y=\dfrac{x+1}{\sqrt{4−x^2}}\) ao longo do intervalo\([−1,1]\); a solução exata é\(\dfrac{π}{6}\).

Responda

\(L_{100}×(\dfrac{1}{2})=0.5178,\; R_{100}×(\dfrac{1}{2})=0.5294\)

Nos exercícios 61 a 64, calcule o valor médio usando as somas de Riemann à esquerda\(L_N\) para\(N=1,10,100\). Como a precisão se compara com o valor exato fornecido?

61) [T]\(y=x^2−4\) ao longo do intervalo\([0,2]\); a solução exata é\(−\frac{8}{3}\).

62) [T]\(y=xe^{x^2}\) ao longo do intervalo\([0,2]\); a solução exata é\(\frac{1}{4}(e^4−1).\)

Responda

\(L_1=0,\; L_{10}×(\frac{1}{2})=8.743493,\; L_{100}×(\frac{1}{2})=12.861728.\)A resposta exata\(≈26.799,\), portanto, não\(L_{100}\) é precisa.

63) [T]\(y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^x\) ao longo do intervalo\([0,4]\); a solução exata é\(\dfrac{15}{64\ln(2)}\).

64) [T]\( y=x\sin(x^2)\) ao longo do intervalo\( [−π,0]\); a solução exata é\( \dfrac{\cos(π^2)−1}{2π.}\)

Responda

\(L_1×(\frac{1}{π})=1.352,L_{10}×(\frac{1}{π})=−0.1837,L_{100}×(1π)=−0.2956.\)A resposta exata\(≈−0.303,\), portanto, não\(L_{100}\) é precisa para o primeiro decimal.

65) Suponha isso\(\displaystyle A=∫^{2π}_0\sin^2t\,dt\) e\(\displaystyle B=∫^{2π}_0\cos^2t\,dt.\) mostre isso\(A+B=2π\) e\(A=B.\)

66) Suponha isso\(\displaystyle A=∫^{π/4}_{−π/4}\sec^2 t\,dt=π\) e\(\displaystyle B=∫^{π/4}_{−π/}4\tan^2 t\,dt.\) mostre isso\(A−B=\dfrac{π}{2}\).

Responda

Use\(\tan^2 θ+1=\sec^2 θ.\) então,\(\displaystyle B−A=∫^{π/4}_{−π/4}1\,dx=\frac{π}{2}.\)

67) Mostre que o valor médio de\(\sin^2 t\) mais\([0,2π]\) é igual a\(1/2.\) Sem cálculos adicionais, determine se o valor médio de\(\sin^2 t\) mais também\([0,π]\) é igual a\(1/2.\)

68) Mostre que o valor médio de\(\cos^2 t\) mais\([0,2π]\) é igual a\(1/2.\) Sem cálculos adicionais, determine se o valor médio de\(\cos^2(t)\) mais também\([0,π]\) é igual a\(1/2.\)

Responda

\(\displaystyle ∫^{2π}_0\cos^2t\,dt=π,\)então divida pela duração\(2π\) do intervalo. \(\cos^2t\)tem período\(π\), então sim, é verdade.

69) Explique por que os gráficos de uma função quadrática (parábola)\(p(x)\) e uma função linear\(ℓ(x)\) podem se cruzar em no máximo dois pontos. Suponha isso\(p(a)=ℓ(a)\) e\(p(b)=ℓ(b)\) aquilo\(\displaystyle ∫^b_ap(t)\,dt>∫^b_aℓ(t)dt\). Explique por que\(\displaystyle ∫^d_cp(t)>∫^d_cℓ(t)\,dt\) sempre\( a≤c<d≤b.\)

70) Suponha que a parábola\(p(x)=ax^2+bx+c\) se abra para baixo\((a<0)\) e tenha um vértice de\(y=\dfrac{−b}{2a}>0\). Para qual intervalo\([A,B]\) é\(\displaystyle ∫^B_A(ax^2+bx+c)\,dx\) o maior possível?

Responda

A integral é maximizada quando se usa o maior intervalo no qual não\(p\) é negativo. Assim,\(A=\frac{−b−\sqrt{b^2−4ac}}{2a}\) e\(B=\frac{−b+\sqrt{b^2−4ac}}{2a}.\)

71) Suponha que\([a,b]\) possa ser subdividido em subintervalos de\(a=a_0<a_1<a_2<⋯<a_N=b\) tal forma que\(f≥0\) acima\([a_{i−1},a_i]\) ou\(f≤0\) mais\([a_{i−1},a_i]\). Definir\(\displaystyle A_i=∫^{a_i}_{a_{i−1}}f(t)\,dt.\)

a. Explique o porquê\(\displaystyle ∫^b_af(t)\,dt=A_1+A_2+⋯+A_N.\)

b. Então, explique o porquê\(\displaystyle ∫^b_af(t)\,dt≤∫^b_a|f(t)|\,dt.\)

72) Suponha\(f\) e\(g\) sejam funções contínuas tais que\(\displaystyle ∫^d_cf(t)\,dt≤∫^d_cg(t)\,dt\) para cada subintervalo\([c,d]\) de\([a,b]\). Explique por que,\( f(x)≤g(x)\) para todos os valores de\(x.\)

Responda

Se\(f(t_0)>g(t_0)\) para alguns\(t_0∈[a,b]\), então, uma vez\(f−g\) é contínuo, há um intervalo contendo\(t_0\) tal que\( f(t)>g(t)\) sobre o intervalo e\([c,d]\), em seguida,\(\displaystyle ∫^d_df(t)\,dt>∫^d_cg(t)\,dt\) sobre esse intervalo.

73) Suponha que o valor médio de\(f\) over\([a,b]\) seja\(1\) e o valor médio de\(f\) over\([b,c]\) seja\(1\) onde\(a<c<b\). Mostre que o valor médio de\(f\) mais também\([a,c]\) é\(1.\)

74) Suponha que\([a,b]\) possa ser particionado. considerando\(a=a_0<a_1<⋯<a_N=b\) que o valor médio\(f\) de cada subintervalo\([a_{i−1},a_i]=1\) seja igual a 1 para cada um\( i=1,…,N\). Explique por que o valor médio de f sobre também\( [a,b]\) é igual a\(1.\)

Responda

A integral de f em um intervalo é igual à integral da média de f nesse intervalo. Assim,\(\displaystyle ∫^b_af(t)\,dt=∫^{a_1}_{a_0}f(t)\,dt+∫^{a_2}_a{1_f}(t)\,dt+⋯+∫^{a_N}_{a_{N+1}}f(t)\,dt=∫^{a_1}_{a_0}1\,dt+∫^{a_2}_{a_1}1\,dt+⋯+∫^{a_N}_{a_{N+1}}1\,dt\)
\( =(a_1−a_0)+(a_2−a_1)+⋯+(a_N−a_{N−1})=a_N−a_0=b−a\).
Dividir por\(b−a\) dá a identidade desejada.

75) Suponha que para cada\(i\)\( 1≤i≤N\) um deles tenha\(\displaystyle ∫^i_{i−1}f(t)\,dt=i\). Mostre isso\(\displaystyle ∫^N_0f(t)\,dt=\frac{N(N+1)}{2}.\)

76) Suponha que para cada\(i\)\(1≤i≤N\) um deles tenha\(\displaystyle ∫^i_{i−1}f(t)\,dt=i^2\). Mostre isso\(\displaystyle ∫^N_0f(t)\,dt=\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}\).

Responda

\(\displaystyle ∫^N_0f(t)\,dt=\sum_{i=1}^N∫^i_{i−1}f(t)\,dt=\sum_{i=1}^Ni^2=\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}\)

77) [T] Calcule as somas de Riemann esquerda\(\displaystyle L_{10}\) e direita\(R_{10}\) e sua média\(\dfrac{L_{10}+R_{10}}{2}\) para\( f(t)=t^2\) mais\( [0,1]\). Diante disso\(\displaystyle ∫^1_0t^2\,dt=1/3\), quantas casas decimais é\( \dfrac{L_{10}+R_{10}}{2}\) preciso?

78) [T] Calcule as somas de Riemann esquerda e direita\(L_10\) e\(R_{10}\), e sua média\(\dfrac{L_{10}+R_{10}}{2}\) para\( f(t)=(4−t^2)\) mais de\([1,2]\). Diante disso\(\displaystyle ∫^2_1(4−t^2)\,dt=1.66\), quantas casas decimais é\(\dfrac{L_{10}+R_{10}}{2}\) preciso?

Responda

\( L_{10}=1.815,\;R_{10}=1.515,\;\frac{L_{10}+R_{10}}{2}=1.665,\)então a estimativa é precisa em duas casas decimais.

79) Se\(\displaystyle ∫^5_1\sqrt{1+t^4}\,dt=41.7133...,\) o que é\(\displaystyle ∫^5_1\sqrt{1+u^4}\,du?\)

80) Faça uma estimativa\(\displaystyle ∫^1_0t\,dt\) usando as somas das extremidades esquerda e direita, cada uma com um único retângulo. Como a média dessas somas dos pontos finais esquerdo e direito se compara com o valor real?\(\displaystyle ∫^1_0t\,dt?\)

Responda

A média é\(1/2,\) o que é igual à integral nesse caso.

81) Estime\(\displaystyle ∫^1_0t\,dt\) por comparação com a área de um único retângulo com altura igual ao valor de\(t\) no ponto médio\(t=\dfrac{1}{2}\). Como essa estimativa do ponto médio se compara com o valor real?\(\displaystyle ∫^1_0t\,dt?\)

82) Do gráfico\(\sin(2πx)\) mostrado:

a. Explique o porquê\(\displaystyle ∫^1_0\sin(2πt)\,dt=0.\)

b. Explique por que, em geral,\(\displaystyle ∫^{a+1}_a\sin(2πt)\,dt=0\) para qualquer valor de\(a\).

Responda

a. O gráfico é antissimétrico em relação a\(t=\frac{1}{2}\) mais\([0,1]\), então o valor médio é zero.
b. Para qualquer valor de\(a\), o gráfico entre\([a,a+1]\) é um deslocamento do gráfico acima\([0,1]\), então as áreas líquidas acima e abaixo do eixo não mudam e a média permanece zero.

83) Se f é 1 periódico\((f(t+1)=f(t))\), ímpar e integrável\([0,1]\), é sempre verdade que\(\displaystyle ∫^1_0f(t)\,dt=0?\)

84) Se f é 1-periódico e\(\displaystyle ∫10f(t)\,dt=A,\) é necessariamente verdade que\(\displaystyle ∫^{1+a}_af(t)\,dt=A\) para todos\(A\)?

Responda

Sim, a integral em qualquer intervalo de comprimento 1 é a mesma.