5.5: Substituição

Objetivos de

• Use a substituição para avaliar integrais indefinidas.
• Use a substituição para avaliar integrais definidos.

O Teorema Fundamental do Cálculo nos deu um método para calcular integrais sem usar somas de Riemann. A desvantagem desse método, porém, é que devemos ser capazes de encontrar uma antiderivada, e isso nem sempre é fácil. Nesta seção, examinamos uma técnica, chamada integração por substituição, para nos ajudar a encontrar antiderivadas. Especificamente, esse método nos ajuda a encontrar antiderivadas quando o integrando é o resultado de uma derivada de regra em cadeia.

No início, a abordagem do procedimento de substituição pode não parecer muito óbvia. No entanto, é principalmente uma tarefa visual, ou seja, o integrando mostra o que fazer; é uma questão de reconhecer a forma da função. Então, o que devemos ver? Estamos procurando um integrando do formulário$f\big[g(x)\big]g′(x)\,dx$. Por exemplo, na integral

$$∫(x^2−3)^3 \, 2x \, dx. \label{eq1}$$

nós temos

$$f(x)=x^3 \nonumber$$

e

$$g(x)=x^2−3.\nonumber$$

Então

$$g'(x)=2x.\nonumber$$

e

$$f[g(x)]g′(x)=(x^2−3)^3(2x),\nonumber$$

e vemos que nosso integrando está na forma correta. O método é chamado de substituição porque substituímos parte do integrando pela variável$u$ e parte do integrando por$du$. Também é chamada de mudança de variáveis porque estamos alterando variáveis para obter uma expressão com a qual seja mais fácil trabalhar para aplicar as regras de integração.

Substituição por integrais indefinidos

Seja$u=g(x)$,, onde$g′(x)$ é contínuo ao longo de um intervalo,$f(x)$ seja contínuo na faixa correspondente de$g$, e$F(x)$ seja uma antiderivada de$f(x).$ Então,

$$\begin{align*} ∫f[g(x)]g′(x)\,dx &=∫f(u)\,du \\[4pt] &=F(u)+C \\[4pt] &= F(g(x))+C \end{align*}$$

Prova

Seja$f$,$g$$u$, e$F$ seja conforme especificado no teorema. Então

$$\dfrac{d}{dx}\big[F(g(x))\big]=F′(g(x))g′(x)=f[g(x)]g′(x). \nonumber$$

Integrando os dois lados em relação a$x$, vemos que

$$∫f[g(x)]g′(x)\,dx=F(g(x))+C. \nonumber$$

Se agora substituirmos$u=g(x)$$du=g'(x)\,dx$, e obtivermos

$$∫f[g(x)]g′(x)\,dx=∫f(u)\,du=F(u)+C=F(g(x))+C. \nonumber$$

□

Voltando ao problema que analisamos originalmente, deixamos$u=x^2−3$ e depois$du=2x\,dx$.

Reescreva a integral (Equação\ ref {eq1}) em termos de$u$:

$$∫(x^2−3)^3(2x\,dx)=∫u^3\,du. \nonumber$$

Usando a regra de potência para integrais, temos

$$∫u^3\,du=\dfrac{u^4}{4}+C. \nonumber$$

Substitua a expressão original por$x$ voltar à solução:

$$\dfrac{u^4}{4}+C=\dfrac{(x^2−3)^4}{4}+C.\nonumber$$

Podemos generalizar o procedimento na seguinte estratégia de resolução de problemas.

Estratégia de resolução de problemas: integração por substituição

1. Examine cuidadosamente o integrando e selecione uma expressão$g(x)$ dentro do integrando para definir igual a u. Vamos selecionar$g(x)$. de forma$g′(x)$ que também faça parte do integrando.
2. Substitua$u=g(x)$ e$du=g′(x)dx.$ entre na integral.
3. Agora devemos ser capazes de avaliar a integral em relação$u$ a. Se a integral não puder ser avaliada, precisamos voltar e selecionar uma expressão diferente para usar como$u$.
4. Avalie a integral em termos de$u$.
5. Escreva o resultado em termos de$x$ e a expressão$g(x).$

Exemplo$\PageIndex{1}$: Using Substitution to Find an Antiderivative

Use a substituição para encontrar a antiderivada de$\displaystyle ∫6x(3x^2+4)^4\,dx.$

Solução

O primeiro passo é escolher uma expressão para$u$. Escolhemos$u=3x^2+4$ porque então$du=6x\,dx$ e já temos$du$ no integrando. Escreva a integral em termos de$u$:

$$∫6x(3x^2+4)^4\,dx=∫u^4\,du. \nonumber$$

Lembre-se de que$du$ é a derivada da expressão escolhida para$u$, independentemente do que está dentro do integrando. Agora podemos avaliar a integral em relação a$u$:

$$∫u^4\,du=\dfrac{u^5}{5}+C=\dfrac{(3x^2+4)^5}{5}+C.\nonumber$$

Análise

Podemos verificar nossa resposta tomando a derivada do resultado da integração. Devemos obter o integrando. Escolhendo um valor para$C$ de$1$, deixamos$y=\dfrac{1}{5}(3x^2+4)^5+1.$ que tenhamos

$$y=\dfrac{1}{5}(3x^2+4)^5+1,\nonumber$$

então

$$\begin{align*} y′ &=\left(\dfrac{1}{5}\right)5(3x^2+4)^46x \\[4pt] &=6x(3x^2+4)^4.\end{align*}$$

Essa é exatamente a expressão com a qual começamos dentro do integrando.

Exercício$\PageIndex{1}$

Use a substituição para encontrar a antiderivada de$\displaystyle ∫3x^2(x^3−3)^2\,dx.$

Dica

Deixe$u=x^3−3.$

Responda

$\displaystyle ∫3x^2(x^3−3)^2\,dx=\dfrac{1}{3}(x^3−3)^3+C$

Às vezes, precisamos ajustar as constantes em nossa integral se elas não corresponderem exatamente às expressões que estamos substituindo.

Exemplo$\PageIndex{2}$: Using Substitution with Alteration

Use a substituição para encontrar a antiderivada de $$∫z\sqrt{z^2−5}\,dz. \nonumber$$

Solução

Reescreva a integral como$\displaystyle ∫z(z^2−5)^{1/2}\,dz.$ Let$u=z^2−5$ e$du=2z\,dz.$ Now temos um problema porque$du=2z\,dz$ e a expressão original tem apenas$z\,dz.$ Nós temos que alterar nossa expressão para$du$ ou a integral em$u$ será duas vezes maior do que deveria ser. Se multiplicarmos os dois lados da$du$ equação por$\dfrac{1}{2}$., podemos resolver esse problema. Assim,

$$u=z^2−5\nonumber$$

$$du=2z\,dz \nonumber$$

$$\dfrac{1}{2}du=\dfrac{1}{2}(2z)\,dz=z\,dz. \nonumber$$

Escreva a integral em termos de$u$, mas puxe a$\dfrac{1}{2}$ parte externa do símbolo de integração:

$$∫z(z^2−5)^{1/2}\,dz=\dfrac{1}{2}∫u^{1/2}\,du.\nonumber$$

Integre a expressão em$u$:

$$\begin{align*} \dfrac{1}{2}∫u^{1/2}\,du &= \left(\dfrac{1}{2}\right)\dfrac{u^{3/2}}{\dfrac{3}{2}}+C \\[4pt] &= \left(\dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{2}{3}\right)u^{3/2}+C \\[4pt] &=\dfrac{1}{3}u^{3/2}+C \\[4pt] &=\dfrac{1}{3}(z^2−5)^{3/2}+C \end{align*}$$

Exercício$\PageIndex{2}$

Use a substituição para encontrar a antiderivada de$\displaystyle ∫x^2(x^3+5)^9\,dx.$

Dica

Multiplique a equação du por$\dfrac{1}{3}$.

Responda

$\displaystyle ∫x^2(x^3+5)^9\,dx = \dfrac{(x^3+5)^{10}}{30}+C$

Exemplo$\PageIndex{3}$: Using Substitution with Integrals of Trigonometric Functions

Use a substituição para avaliar a integral$\displaystyle ∫\dfrac{\sin t}{\cos^3t}\,dt.$

Solução

Sabemos a derivada de$\cos t$ is$−\sin t$, então definimos$u=\cos t$. Então$du=−\sin t\,dt.$

Substituindo na integral, temos

$$∫\dfrac{\sin t}{\cos^3t}\,dt=−∫\dfrac{du}{u^3}.\nonumber$$

Avaliando a integral, obtemos

$$−∫\dfrac{du}{u^3}=−∫u^{−3}\,du=−\left(−\dfrac{1}{2}\right)u^{−2}+C.\nonumber$$

Colocando a resposta de volta em termos de t, obtemos

$$∫\dfrac{\sin t}{\cos^3t}\,dt=\dfrac{1}{2u^2}+C=\dfrac{1}{2\cos^2t}+C.\nonumber$$

Exercício$\PageIndex{3}$

Use a substituição para avaliar a integral$\displaystyle ∫\dfrac{\cos t}{\sin^2t}\,dt.$

Dica

Use o processo do Example$\PageIndex{3}$ para resolver o problema.

Resposta

$\displaystyle ∫\dfrac{\cos t}{\sin^2t}\,dt = −\dfrac{1}{\sin t}+C$

Exercício$\PageIndex{4}$

Use a substituição para avaliar a integral indefinida$\displaystyle ∫\cos^3t\sin t\,dt.$

Dica

Use o processo do Example$\PageIndex{3}$ para resolver o problema.

Resposta

$\displaystyle ∫\cos^3t\sin t\,dt = −\dfrac{\cos^4t}{4}+C$

Às vezes, precisamos manipular uma integral de maneiras mais complicadas do que simplesmente multiplicar ou dividir por uma constante. Precisamos eliminar todas as expressões dentro do integrando que estão em termos da variável original. Quando terminarmos,$u$ deve ser a única variável no integrando. Em alguns casos, isso significa resolver a variável original em termos de$u$. Essa técnica deve ficar clara no próximo exemplo.

Exemplo$\PageIndex{4}$: Finding an Antiderivative Using $u$-Substitution

Use a substituição para encontrar a antiderivada de $$∫\dfrac{x}{\sqrt{x−1}}\,dx. \nonumber$$

Solução

Se deixarmos$u=x−1,$, então$du=dx$. Mas isso não explica o número$x$ no numerador do integrando. Precisamos expressar$x$ em termos de$u.$ If$u=x−1$, então$x=u+1.$ Agora podemos reescrever a integral em termos de$u:$

$$∫\dfrac{x}{\sqrt{x−1}}\,dx=∫\dfrac{u+1}{\sqrt{u}}\,du=∫\left(\sqrt{u}+\dfrac{1}{\sqrt{u}}\right)\,du=∫\left(u^{1/2}+u^{−1/2}\right)\,du.\nonumber$$

Em seguida, integramos da maneira usual,$u$ substituímos pela expressão original e fatoramos e simplificamos o resultado. Assim,

$$\begin{align*} ∫(u^{1/2}+u^{−1/2})\,du &=\dfrac{2}{3}u^{3/2}+2u^{1/2}+C \\[4pt] &= \dfrac{2}{3}(x−1)^{3/2}+2(x−1)^{1/2}+C \\[4pt] &= (x−1)^{1/2}\left[\dfrac{2}{3}(x−1)+2\right]+C \\[4pt] &= (x−1)^{1/2}\left(\dfrac{2}{3}x−\dfrac{2}{3}+\dfrac{6}{3}\right) \\[4pt] &= (x−1)^{1/2}\left(\dfrac{2}{3}x+\dfrac{4}{3}\right) \\[4pt] &= \dfrac{2}{3}(x−1)^{1/2}(x+2)+C. \end{align*}$$

Substituição por integrais definidas

A substituição também pode ser usada com integrais definidas. No entanto, usar a substituição para avaliar uma integral definida requer uma mudança nos limites da integração. Se mudarmos as variáveis no integrando, os limites da integração também mudam.

Substituição por integrais definidos

Seja$u=g(x)$ e deixe$g'$ ser contínuo em um intervalo$[a,b]$, e$f$ seja contínuo na faixa de$u=g(x).$ Então,

$$∫^b_af(g(x))g′(x)\,dx=∫^{g(b)}_{g(a)}f(u)\,du. \nonumber$$

Embora não provemos formalmente esse teorema, nós o justificamos com alguns cálculos aqui. Da regra de substituição para integrais indefinidas, if$F(x)$ é uma antiderivada de$f(x),$ nós temos

$$∫f(g(x))g′(x)\,dx=F(g(x))+C. \nonumber$$

Então

$$\begin{align*} ∫^b_af[g(x)]g′(x)\,dx &= F(g(x))\bigg|^{x=b}_{x=a} \\[4pt] &=F(g(b))−F(g(a)) \\[4pt] &= F(u) \bigg|^{u=g(b)}_{u=g(a)} \\[4pt] &=∫^{g(b)}_{g(a)}f(u)\,du \end{align*}$$

e temos o resultado desejado.

Exemplo$\PageIndex{5}$: Using Substitution to Evaluate a Definite Integral

Use a substituição para avaliar $$∫^1_0x^2(1+2x^3)^5\,dx. \nonumber$$

Solução

Deixe$u=1+2x^3$, então$du=6x^2\,dx$. Como a função original inclui um fator de$x^2$ e$du=6x^2\,dx$, multiplique os dois lados da$du$ equação por$1/6.$ Then,

$$\begin{align*} du &=6x^2\,dx \\[4pt] \text{becomes}\quad \dfrac{1}{6}du &=x^2\,dx. \end{align*}$$

Para ajustar os limites da integração, observe que quando$x=0,u=1+2(0)=1,$ e quando$x=1,\;u=1+2(1)=3.$

Então

$$∫^1_0x^2(1+2x^3)^5dx=\dfrac{1}{6}∫^3_1u^5\,du. \nonumber$$

Avaliando essa expressão, obtemos

$$\begin{align*} \dfrac{1}{6}∫^3_1u^5\,du &=\left(\dfrac{1}{6}\right)\left(\dfrac{u^6}{6}\right)\Big|^3_1 \\[4pt] &=\dfrac{1}{36}\big[(3)^6−(1)^6\big] \\[4pt] &=\dfrac{182}{9}. \end{align*}$$

Exercício$\PageIndex{5}$

Use a substituição para avaliar a integral definida$\displaystyle ∫^0_{−1}y(2y^2−3)^5\,dy.$

Dica

Use as etapas do Exemplo$\PageIndex{5}$ para resolver o problema.

Resposta

$\displaystyle ∫^0_{−1}y(2y^2−3)^5\,dy = \dfrac{91}{3}$

Exercício$\PageIndex{6}$

Use a substituição para avaliar$\displaystyle ∫^1_0x^2 \cos \left(\dfrac{π}{2}x^3\right)\,dx.$

Dica

Use o processo do Example$\PageIndex{5}$ para resolver o problema.

Resposta

$\displaystyle ∫^1_0x^2 \cos \left(\dfrac{π}{2}x^3\right)\,dx = \dfrac{2}{3π}≈0.2122$

Exemplo$\PageIndex{6}$: Using Substitution with an Exponential Function

Use a substituição para avaliar $$∫^1_0xe^{4x^2+3}\,dx. \nonumber$$

Solução

Deixe$u=4x^3+3.$ então,$du=8x\,dx.$ Para ajustar os limites da integração, notamos que quando$x=0,\,u=3$ e quando$x=1,\,u=7$. Então, nossa substituição dá

$$\begin{align*} ∫^1_0xe^{4x^2+3}\,dx &= \dfrac{1}{8}∫^7_3e^u\,du \\[4pt] &=\dfrac{1}{8}e^u\Big|^7_3 \\[4pt] &=\dfrac{e^7−e^3}{8} \\[4pt] &≈134.568 \end{align*}$$

A substituição pode ser apenas uma das técnicas necessárias para avaliar uma integral definida. Todas as propriedades e regras de integração se aplicam de forma independente, e as funções trigonométricas podem precisar ser reescritas usando uma identidade trigonométrica antes de podermos aplicar a substituição. Além disso, temos a opção de substituir a expressão original por$u$ depois de encontrarmos a antiderivada, o que significa que não precisamos alterar os limites da integração. Essas duas abordagens são mostradas em Exemplo$\PageIndex{7}$.

Exemplo$\PageIndex{7}$: Using Substitution to Evaluate a Trigonometric Integral

Use a substituição para avaliar $$∫^{π/2}_0\cos^2θ\,dθ. \nonumber$$

Solução

Vamos primeiro usar uma identidade trigonométrica para reescrever a integral. A identidade$\cos^2θ=\dfrac{1+\cos 2θ}{2}$ trigonométrica nos permite reescrever a integral como

$$∫^{π/2}_0\cos^2θ\,dθ=∫^{π/2}_0\dfrac{1+\cos2θ}{2}\,dθ. \nonumber$$

Então,

$$\begin{align*} ∫^{π/2}_0\left(\dfrac{1+\cos2θ}{2}\right)\,dθ &=∫^{π/2}_0\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\cos 2θ\right)\,dθ \\[4pt] &=\dfrac{1}{2}∫^{π/2}_0\,dθ+∫^{π/2}_0\cos2θ\,dθ. \end{align*}$$

Podemos calcular a primeira integral como ela é, mas precisamos fazer uma substituição para avaliar a segunda integral. Deixe$u=2θ.$ então,$du=2\,dθ,$ ou$\dfrac{1}{2}\,du=dθ$. Além disso, quando$θ=0,\,u=0,$ e quando$θ=π/2,\,u=π.$ Expressamos a segunda integral em termos de$u$, temos

$$\begin{align*}\dfrac{1}{2}∫^{π/2}_0\,dθ+\dfrac{1}{2}∫^{π/2}_0 \cos 2θ\,dθ &=\dfrac{1}{2}∫^{π/2}_0\,dθ+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}\right)∫^π_0 \cos u \,du \\[4pt] &=\dfrac{θ}{2}\,\bigg|^{θ=π/2}_{θ=0}+\dfrac{1}{4}\sin u\,\bigg|^{u=θ}_{u=0} \\[4pt] &=\left(\dfrac{π}{4}−0\right)+(0−0)=\dfrac{π}{4} \end{align*}$$

Conceitos-chave

• A substituição é uma técnica que simplifica a integração de funções que são o resultado de uma derivada de uma regra em cadeia. O termo “substituição” se refere à alteração de variáveis ou substituição da variável$u$ e$du$ por expressões apropriadas no integrando.
• Ao usar a substituição por uma integral definida, também precisamos alterar os limites da integração.

Equações-chave

• Substituição por integrais indefinidos $$∫f[g(x)]g′(x)\,dx=∫f(u)\,du=F(u)+C=F(g(x))+C \nonumber$$
• Substituição por integrais definidos $$∫^b_af(g(x))g'(x)\,dx=∫^{g(b)}_{g(a)}f(u)\,du \nonumber$$

Glossário

mudança de variáveis

a substituição de uma variável, como$u$, por uma expressão no integrando

integração por substituição

uma técnica de integração que permite a integração de funções que são o resultado de uma derivada de regra em cadeia